Practicum 1

De comfortabele auto1e Matlab practicumInleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056)(inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009,via Teletop).• Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica voor het vak InleidingWiskundige Systeemtheorie (IWS).• Op vrijdag 6 maart (1+2 uren) kan er onder begeleiding aan worden gewerkt (Zilverling,ZI 4054a,b,c). De week daarop dient het practicum in eigen tijd te wordenafgerond.• Miklós Vajta begeleidt de practica.• Voor deze practica is Matlab noodzakelijk (Simulink komt pas in de tweede opdrachtaan bod). Pas op: Maple kan niet gebruikt worden.• Op TeleTop (Archief) staan enkele beknopte handleidingen Matlab.• De practica mag in groepjes van hooguit twee personen worden uitgevoerd (enper groepje één verslag).• Maak een voorpagina met titel, practicumnummer, uw naam (of namen), datum,studentnummer. Houd het verslag bondig, maar wel met inleiding, duidelijke beschrijvingvan de door jullie gemaakte stappen inclusief wiskundige afleiding en plotsen Matlab-code. Geef een duidelijke uitleg van de verschillende stappen inclusiefvergelijkingen.• Het verslag moet uiterlijk op vrijdag 13 maart (2009) worden ingeleverd via TeleTop(als word of pdf).• De practica worden beoordeeld (van 0 t/m 10) en de beoordeling beïnvloedt je eindcijfer(zie Teletop).1

1 De comfortabele autoFiguur 1 geeft in drie niveaus van abstractie een rijdende auto weer. In dit practicumgaat het over de analyse van het gedrag van deze auto, in het bijzonder hoe de auto(carrosserie) en de stoel reageren (trillen) als gevolg van een hobbelig wegdek. We vattende auto in dit verband op als opgebouwd uit twee componenten: de carrosserie en destoel. De positie (hoogte) van het wegdek geven we aan met u(t) – dat is de ingang vanons systeem – de positie van de carrosserie geven we aan met ȳ 1 + y 1 (t) en de positie vande stoel met ȳ 2 + y 2 (t). Hierbij zijnȳ 1 = 0.3, ȳ 2 = 0.6de evenwichtsposities voor het geval dat u(t) ≡ 0. De y 1 (t) en y 2 (t) geven derhalve deafwijking t.o.v. deze evenwichtsposities weer.m 2k 2m 1k 1d 2d 1y 1 (t)y 2 (t)ȳ 2 = 0.6u(t)ȳ 1 = 0.3(c)Figuur 1: De comfortabele autoDe carrosserie modelleren we als een zware massa m 1 die via demper d 1 en veer k 1contact maakt met het wegdek. Netzo modelleren we de stoel (inclusief passagier) als eenmassa m 2 die via demper d 2 en veer k 2 verbonden is met de carrosserie. Dit geeft, analoogaan voorbeeld 2.1.1 (p.25), de systeemvergelijkingenm 1 ÿ 1 + d 1 (ẏ 1 − ˙u) + k 1 (y 1 − u) − d 2 (ẏ 2 − ẏ 1 ) − k 2 (y 2 − y 1 ) = 0,m 2 ÿ 2 + d 2 (ẏ 2 − ẏ 1 ) + k 2 (y 2 − y 1 ) = 0.(1)2

uy 1 y 2Σy carrosserie Σ stoel2Figuur 2: Schematische weergave van “de comfortable auto”De evenwichten ȳ 1 en ȳ 2 komen in deze vergelijkingen niet voor. We gaan ervan uit datde autobanden altijd contact houden met het wegdek.Opdracht-1 Schrijf het systeem in de vorm[P11 ( d dt ) P 12( d dt )] [y1 ] [Q11 ( d dtP 21 ( d dt ) P 22( d dt ) =)]u (2)y 2 0en ga na m.b.v. lemma 3.4.4 (p.76) dat het systeem asymptotisch stabiel is voorm 1 = d 1 = k 1 = 4 en m 2 = d 2 = k 2 = 1.[Hint: in Matlab kun je nulpunten van een polynoom p(s) = 2s 2 +10s+12 uitrekenenm.b.v. het commando roots([2 10 12]). Afhankelijk van de aanwezige toolboxenkun je ook s=tf(’s’); zero(2*s^2+10*s+12) proberen. Je mag natuurlijkook Routh-Hurwitz gebruiken.]Opdracht-2 Het is prettig om het systeem opgebouwd te denken uit twee deelsystemen,namelijk de carrosserie en de stoel, zie figuur 2. De stoel vatten we hier op alseen systeem met ingang y 1 (t) en als uitgang y 2 (t). De carrosserie vatten we op alseen systeem met ingang u(t) en y 2 (t). Voor deze twee deelsystemen kunnen we dewaarnemercanonieke vormen bepalen (lemma 3.2.3, p.66):⎧ ] [ ]⎪⎨[ẋ1 0 − k [x11+k 2] [ ]k1 k 2 [ ]=m 1Σ carrosserie : ẋ 2 1 − d 1+d 2+m 1 m 1 um ⎪⎩1xd 1 d 22 m 1 m 1y 2y 1 = x 2⎧ ] [ ]⎪⎨[ẋ3 0 − k [x3 ] [ ](3)2k2=m 2Σ stoel : ẋ 4 1 − d +m 22m ⎪⎩2xd 2y 14 m 2y 2 = x 4Elimineer y 1 en y 2 uit deze vergelijkingen en bepaal daarmee de totale toestandsrepresentatie(d.w.z. bepaal A,B,C):ẋ = Ax + Bu,y = Cx(4)met x = [x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ] T en y = [y 1 ,y 2 ] T .[Hint: ter controle: de eigenwaarden van de A-matrix moeten gelijk zijn aan denulpunten van det(P(s)) van de vorige opgave. In Matlab bepaal je eigenwaardenmet eig(A).]3

Opdracht-3 Franse auto – slappe stoel. Neem als constantenm 1 = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000,m 2 = 100, d 2 = 50, k 2 = 50.en simuleer nu de toestand x(t) voor u(t) ≡ 0 [vlakke weg] en begintoestandx(0) = (0, −0.2,0,0)“carrosserie begint laag”en daarna voorx(0) = (0,0,0, −0.2)“stoel begint laag”In beide gevallen plot de posities ȳ 1 +y 1 (t) en ȳ 2 +y 2 (t) in één figuur voor t ∈ [0,20].Is het verschil in reactie op de twee begintoestanden logisch?Bepaal vervolgens de eigenwaarden van de matrix A en relateer dit aan de gesimuleerdebewegingen van stoel-carrosserie.[Hint: zie appendix A.4 (p.169) van het dictaat.][Hint: in Matlab kun je meerdere grafieken in een plot bijv. zo maken:plot(t,sin(t),t,cos(t),’rg’) of zo:plot(t,sin(t),’r’); hold on; plot(t,cos(t),’g’); hold off.]Opdracht-4 De stugge stoel. Verhoog de demper en veerconstante van de stoel:m 1 = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000,m 2 = 100, d 2 = 200 , k 2 = 100Als in de vorige opgave simuleer de toestand x(t) voor u(t) ≡ 0 en begintoestandx(0) = (0, −0.2,0,0) en plot ȳ 1 +y 1 (t) en ȳ 2 +y 2 (t) in één figuur. Relateer wederomde bewegingen aan de eigenwaarden van de A-matrix.[Opmerking: tegenwoordig kun je in de duurste klasse auto’s de hardheid van deschokdempers tijdens het rijden aanpassen met een zgn. sportknop.]Opdracht-5 Oplossing met de exponentiaalmatrix. In het dictaat is afgeleid (p.31) dat deoplossing van de toestandsvergelijking∫ tx(t) = e A(t−t0) x 0 + e A(t−τ) Bu(τ)dτt 0(5)waar x 0 = x(0). Bereken m.b.v. Matlab de toestand x(t), t ∈ [0,20] voor begintoestandx(0) = (0, −0.2,0,0) met t 0 = 0 en u(t) ≡ 0. Plot alle toestandsvariabelenvoor t ∈ [0,20].[Pas op: matrix A hoeft niet gediagonaliseerd te worden.],[Hint: in Matlab kun je de exponentiaalmatrix berekenen met expm. Zie ook dictaat,p.169.]4

Opdracht-6 Parametervariaties – reverse engineering. Om realistische waarden voor dedemper d 1 van de carrosserie te vinden gaan we na hoe de carrosserie trilt voorverschillende d 1 als het wegdek ineens één eenheid toeneemt:h = 0.05; % simulatiestapt = 0:h:20; % d.w.z. dat t=[0 h 2h ... 20]u = real(t>1); % u=[0 ... 0 1 1 1 ... 1 1 1]plot(t,u); % laat wegdek zienBepaal de uitwijking y 1 (t) voor bovenstaande ingang en x(0) = (0,0,0,0) en de parameterwaardenvan opgave 4 maar varieer daarbij d 1 over alle d 1 ∈ {250,500,750,... ,2000}.Geef de 8 uitwijkingen y 1 (t) in één figuur weer voor t ∈ [0,20]. Is het gedrag vaneen zachte demper (d 1 klein) en hard demper (d 1 groot) naar verwachting?Opdracht-7 De verkeersdrempel. Tot dusver gingen we uit van een egaal vlakke weg(u(t) ≡ 0). We gaan nu onderzoeken wat er gebeurt als we over een verkeersdrempelrijden. Eerst nemen we aan dat de drempel een sinus-profiel heeft. Gebruik dehieronder aangegeven Matlab-code.h = 0.05; % simulatiestapt = 0:h:14; % d.w.z. dat t=[0 h 2h ... 14]v = 3.0; % snelheid in [m/sec] (=10.8km/uur)Lhob = 4.5;% lengte drempel in [m]Hhob = 0.20;% hoogte drempel in [m]ah = 2.0;% tijd begin drempel in [sec]bh = ah + Lhob/v; % tijd einde drempel in [sec]T = bh - ah; % tijd op drempelu = Hhob*sin(pi*(t-ah)/T).*(t > ah).*(t < bh);plot(t,u);Gebruik de parameters van opdracht 4 (stugge stoel):m 1 = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000,m 2 = 100, d 2 = 200, k 2 = 100met x(0) = (0,0,0,0) en laat in één plot de drie posities u(t),ȳ 1 + y 1 (t),ȳ 2 + y 2 (t)zien als functie van tijd t ∈ [0,14]. De hoogte van de drempel is 20 cm. Bepaal demaximale uitwijking van stoel en carrosserie ten opzichte van hun evenwichtspositie.Opdracht-8 Twee hobbels – de stuiterende passagier. In sommige gevallen zijn er tweehobbels (van de vorm zoals in de vorige opgave) achter mekaar, dus twee hobbelselk met amplitude 0.20, zoiets als dit:0.20zHerhaal de vorige opgave en neem eerst z = 1.5 [m]. Wat zien we? Wat is het effectvan de tweede hobbel? Bepaal de twee (lokaal) maximale afwijkingen van stoel encarosserie, en ook het tijdstip waarop dat gebeurt.De volgende vraag is: wat er gebeurt als de afstand tussen de hobbels korter wordt?Herhaal de simulatie met bijvoorbeeld z = 0. Bepaal nu de maximale afwijkingenvan carrosserie en stoel en vergelijk met de vorige simulatie (met z = 1.5).Wegens fysische redenen is de maximale uitrek (uitwijking) van een schokdempergelimiteerd. De schokdemper kan beschadigd raken als deze boven een maximale5

waarde wordt uitgerekt. Bepaal de minimale afstand (met simulatie) tussen tweehobbels als de maximale afwijking van de demper max(y 1 (t)) = 15 [cm] is. Wat zijnnu de (lokale) maximale afwijkingen van stoel en carrosserie?[Hint: maak een serie van simulatie met verschiellende afstand z tussen de tweehobbels an plot het simulatieresultaat op een plaatje.][Opmerking: Twee hobbels direct achter elkaar zijn geen uitzonderingen. Een goedevoorbeeld is te zien op de Zwavertsweg in Hengelo-Noord.]Opdracht-9 Langzaam of snel over de verkeersdrempel. Ga weer uit van de enkele sinushobbel(opdracht 7) maar verhoog nu de snelheid van v=3 [m/s] naar v=10 [m/s](≈ 36 [km/uur]). Toon weer het effect op carrosserie en stoel. Durf je de stellingaan dat hardrijden over een hobbel beter voor de bestuurder is dan langzaam?Opdracht-10 De snelheid van de stoel. Als ẋ = Ax + Bu en y = Cx dan volgt datẏ = Cẋ = CAx + CBu. (6)Gebruik dit om de snelheid van stoel en carrosserie te plotten voor de u(t) van devorige opgave. Is de snelheid van de carrosserie differentieerbaar (als functie vantijd)? Is de snelheid van de stoel differentieerbaar?6