Inhoud - Pythagoras

De oplossing van de tweede vergelijking
zou een verbetering van de oplossing van
de eerste moeten zijn. Daarom schreef
Newton x = z + p en vulde hij dat in:
z = z+p-l(z + p)^ =
= z +p - ^z - zp- fp.
Wegstrepen van z en toepassing van de
aèc-formule geeft ons
;* = (l-2)± v'1-2^.
Nu moet x bijna O zijn als z dat is, dus moe­
ten we p = (1 - 2) - Vl - 2z hebben.
Newton had intussen al laten zien hoe je
VI - 2z tot een oneindige som kunt
ombouwen:
VT^^2l=l-2-i22-i2^ &C.
Daarmee vond hij p = jz^ -i- ^z? &c.
Opgave 2. Kwadrateer 1 -i- ax + bx^ -1- cx^,
stel het resultaat gelijk aan 1 - 2;c en bepaal
zo a, b en c.
Omdat hij met een kwadratische vergelij­
king begon, wist Newton dat hij de gz^ wel
kon vertrouwen, maar de ~z^ nog niet.
Daarom schreef hij p = g2^ + g (en dus x = z
-I- g2^ + q) en vulde dat in in de derde ver­
gelijking. Het werkt makkelijker als je eerst
X = z + p invult en de voorgaande stappen
over doet maar nu met j.r' erbij. Na invul­
len en wegstrepen hou je dan het volgende
over:
0=p- 52^ - 2P- ip^-H
+ lz^ + z^p + zp^ + lp^.
Als we nu p = ^z'^ + q invullen, valt de ^:^
weg en blijft het volgende over:
O = q - ^z^ - zq - IP^ +
+ \z^ + z'''p + zp^ -I- ip3,
we hebben alleen zp uitgewerkt omdat de
andere producten hogere machten van z
dan de derde opleveren. Dit wist Newton
ook en hij interpreteerde het resultaat daar­
om als volgt:
PYTHAGORAS FEBRUARI 2004
O = q - g2^ + de rest.
(De \z^ was inderdaad niet betrouwbaar.)
De volgende stap laat zich nu raden: stel
q = ^z^ + r en gebruik de vierde vergelij­
king. Het kost wat moeite, maar je vindt
dan
O = r — ^ 2 + rest.
Daarmee heb je dan al de volgende bena­
dering van X te pakken:
In zijn artikel ging Newton nog één stap
verder:
T.~~4.i-2.1^3J_^4J_5
X ^ ^ f 2^ ^6 24" 120
Hij moet op kladpapier nog een stuk door­
gerekend hebben, want even later
beschrijft hij hoe het verder zal gaan met
deze benaderingen: de «-de macht van z
moet gedeeld worden door het product van
de getallen 2, 3, tot en met n. Conclusie,
als je wilt weten bij welke x de oppervlakte
onder de grafiek van ^ gelijk is aan z, dan
is dat
x = z + \z^-¥\z^ + ^z" &c.
De e-macht
Als we de logaritme nog even bij ons verhaal
betrekken, dan zien we dat we de vergelij­
king ln(l + x) = z naar x hebben opgelost,
maar we weten nog een manier om die
oplossing op te schrijven, namelijk x = e^ - 1.
Newton had dus een oneindige som voor
e^ - 1 (en dus voor e^) gevonden. We weten
nu ook wanneer de oppervlakte precies 1
is, namelijk bij « = e - 1 en voor dat getal
hebben we nu ook een oneindige som
gevonden:
^-l = ^ " r 6^24^120 ^"^^
ofwel
1 1 1 1 1 1 *
'==^n^rr24^ï2ó ^'-