vektorregning uke 12

VEKTORREGNING
Per
80
UKE 12
SIRKELBEVEGELSE
Vi veier
begge
80 kg
I alle oppgaver
og eksempler
Pål

Sirkelbevegelse
Per
For at noe skal bevege seg i sirkel må vi ha en
kraft som holder det på plass i sirkelen, i dette
tilfellet er det kraften i snora.
Fartens retning er til enhver tid
vinkelrett på radien i sirkelen.
Fartsvektoren endrer altså retning
hele tiden.
Fartsvektor
Når kula er her har fartsvektoren
denne retningen.
Kraften som gjør
at fartsvektoren
skifter retning.
Per og Pål har hver sin kule i en snor som
de svinger rundt i en sirkel.
Pål
Påls snor ryker.
Da forsvinner snorkraften
og kula fortsetter rett fram i den
retningen farten har i øyeblikket.
2

Sentripetalkraft
…er navnet på den kraften som holder noe i sirkelbevegelse.
r
Når man kjører karusell, må man ha en sentripetalkraft
for å være med rundt. Den kraften får man ved å holde
seg fast, eller ha noe å støtte seg til.
S
m
Månen går i sirkelbane rundt jorda.
Her er det gravitasjonen som er
sentripetalkraft.
v
Dette kan være forskjellige typer krefter.
Vi må i hvert tilfelle finne ut hvilken kraft
som fungerer som sentripetalkraft.
v
m S
Per
Her er det snorkraften som
er sentripetalkraft.
Jorda
3

Formelen for sentripetalkraft
Pål
r
S
m
v
Hvis farten
dobles, trengs
en sentripetalkraft
som er
4-dobbel!
Sentripetal betyr ”som er rettet mot
sentrum”. Det er altså en kraft som
virker på et objekt som beveger seg i
sirkelbane og er rettet mot sentrum av
sirkelen.
Det må også virke en sentripetalkraft
når et kjøretøy tar en sving. En sving
er en del av en sirkel og kraften gjelder
så lenge kjøretøyet svinger.
Sentripetalkraften S
er avhengig av disse størrelsene:
v : kulas fart
r: radien i sirkelen
m: kulas masse
Sammenhengen gis av denne formelen
S =
mv 2
Vi ser av formelen at vi må ha større
sentripetalkraft hvis farten øker og/eller hvis
radien sirkelen blir mindre.
r
Hvis radien
halveres, må
sentripetal-kraften
dobles.
Per

Hva er sentrifugalkraft?
Sentrifugal betyr ”som fjerner seg fra sentrum”. Sentrifugalkraft
betyr altså en kraft i retning fra sentrum i sirkelen.
Når du kjører karusell utfører du en sirkelbevegelse. Da føler du at du
trekkes utover. Denne følte kraften kalles sentrifugalkraft.
Men det er ingen kraft som
trekker deg utover.
Det du egentlig føler er
sentripetalkraften som
holder deg på plass i
sirkelen.
Bulle
Sentrifugalkraften
finnes altså ikke.
Det er bare en
følelse.
Det er det samme som når du sitter i en bil som
akselerer kraftig. Du føler at det er en kraft som
presser deg bakover mot seteryggen.
Men det du føler er seteryggen som presser deg
forover for å gi deg samme akselerasjon som bilen.
5

Karusell
Krefter som virker på Per er tyngden
(grønn) og normalkraften fra setet (grå).
Når karusellen er i ro, er disse like store.
Når farten øker
svinger gondolen
lenger ut. Da blir
horisontalkomponenten
større.
Og det er nødvendig
når farten øker.
Karusell i fart
Karusell i ro
Når karusellen roterer må Pål ha en
sentripetalkraft for å rotere med .
N er alltid vinkelrett på setet så når
gondolen svinger ut får normalkraften
en horisontal komponent (rød).
Denne fungerer som sentripetalkraft.
G
N
Per
6

Karusell - regneeksempel
Pål kjører karusell. Han veier 80 kg,
radien i sirkelbanen er 6,0 m og
rundetiden er 4,5 s.
Vi skal først regne ut banefarten og
sentripetalakselerasjonen.
En runde: 2r = vT (T er rundetid)
Sentripetalakselerasjon:
2r
2
6,
0
v 8,
4m
T 4,
5
Vi skal beregne N og tegner vektorskjema. Vektorsummen av G og N er
sentripetalkraften S (rød). Vi ser at sentripetalkraften er normalkraftens
horisontalkomponent. Vertikalkomponenten balanserer tyngden.
Vektorskjema
G
N
S
s
2 2
v 8,
4
a
r 6,
0
Sentripetalkraft:
11,
7
Normalkraft: N 2 = G 2 + S 2 = 784 2 + 1220 2 N = 1450 N
m
Tyngden: G = mg = 809,8=784N
r
S = ma = 80 11,7 = 1220 N
S 1220
cos
N 1450
s
2
32,
7

Kjeglependel
En snor med en kule er hengt opp i punkt T. Kula
har masse m og lengden av pendelen er l.
Vi trekker kula ut til siden og gir
den horisontal fart slik at den
følger en sirkelbue med radius r.
Krefter som virker
på kula er
gravitasjon (grønn)
og snorkraft (blå).
Kulas fart er v.
Vi dekomponerer snorkraften:
Den grå vertikalkomponenten
balanserer tyngden, den røde
komponenten er sentripetalkraft.
Vi får en rettvinklet trekant
F
F
F
F x
sin F F sin
x
x
y
F
mg
cos
F
Gsin
G tan
cos
tan
y
mv
r
A
G
G
F cos
G F
cos
2
F
Setter inn
Finner farten:
v
T
Sentrum av
sirkelbanen
Vi kan finne vinkel :
F
F x
F y = G
Settes inn i ligningen for F x
F x
2
v
mv
r
rg
2
tan
r
l
r
sin
l
G mg
8

Fly i kurve
Når et fly flyr horisontalt og
rett frem, er flyets tyngde
balansert av løftekraften.
Sentrum i
svingsirkel
Sentripetalkraften er rød
F x = F sin
F y = F cos
Svingradius r
er krengevinkel
2
Sving
v
Løft
Tyngde
F x (rød) er sentripetalkraft og F y balanserer tyngden:
F x
mv
r
Når flyet skal svinge må det
krenge for at løftet skal få en
komponent i retning sentrum av
svingen.
Løftekraften er alltid vinkelrett på
vingenes plan. Vi dekomponerer
løftet i x- og y-retning.
F x
F sin
mg F cos
F
F y
9

Fly -- regneeksempel
Et fly som har fart 600 km/h skal svinge med en svingradius 10000 m,
hvor mye må det krenge?
Vi dekomponerer løftekraften
F x
F x = F sin
F y = F cos
mv
r
2
Vektorskjema
F sin
mg F cos
Det er fristende å dividere:
F
F
x
y
2
2
F sin
mv
v
: mg tan
F cos
r
rg
Farten må gis i m/s: 600 : 3,6 = 167m/s
2
2
v 167
tan
rg 10000
9,
8
Flyet har massen 10000 tonn = 10 7 kg
Da blir løftet F = G : cos = 1,02 10 8 N
15,
9
F
F x
G
F y

Bil i kurve
En kurve i veien kan ses
som en del av en sirkel.
For at bilen skal klare
kurven må det finnes en
sentripetalkraft.
Bildør
mv
R
r
Sentripetalkraft
Vei
Friksjonen fungerer som sentripetalkraft.
2
Sentrum i
sirkelen
På glatt føre kan friksjonen bli for liten til at bilen kan følge veien.
Når svingen er dossert gir normalkraften
bidrag til sentripetalkraften.
Hvis N sin =
mv 2
klarer vi svingen uten friksjon
r
Sentripetalkraft
Fartsretning
Når farten i svingen blir stor, må
sentripetalkraften på passasjeren
være stor.
N

Bil i kurve -- regneeksempel
En bil veier 800 kg. Bilen kjører på glatt
føre, friksjonsfaktor 0,12. Han kommer til
en sving med svingradius 35 m. Svingen
er dossert en vinkel 4,5
Krefter som virker på bilen er
tyngde, friksjon og normalkraft
G = mg = 800 9,8 = 7840 N
N cos = G N = 7864 N
R = N = 944 N
Sentripetalkraft er horisontalkomponent av N + friksjon:
S = N sin + R cos = 1558 N
Vi finner maksimal fart i svingen uten å gli ut:
mv 2
r
= 1558 v = 8,2 m/s = 29,7 km/s
Hvis det ikke var noen dossering?
S = R = N = mg = 941 N v = 6,4 m/s = 23,1 km/s
Hvilken dossering hvis vi skulle kunne kjøre i 45 km/h? 45 km/h = 12,5 m/s
S =
mv 2
r
= 3571 N = N sin + N cos N cos = G
mg
sin
mg
3571N
mg tan
3571
941
cos
N
R
G
= 18,5

Loop -- hvorfor faller de ikke ned?
Vogna må ha nok fart gjennom hele sirkelen. Farten er forskjellig i alle
punkter på sirkelen, størst nederst og reduseres oppover. Hvis farten blir
for liten faller den ned, så man sørger for å ha stor nok fart i bunnen av
sirkelen.
S = N - G
S = N + G
N
G
S = N
Det er to krefter som virker på vogna i hvert punkt: Tyngden og normalkraft
fra banen. Tyngden er lik i alle punkter, men normalkraften varierer.
Sentripetalkraften er også forskjellig i hvert punkt, siden farten varierer.
På figuren er satt opp sentripetalkraft, S i tre punkter.
I toppen har vi S = N + G. Dvs tyngden brukes til sentripetalkraft
og da er det ingen kraft til å trekke ned mot jorda.
Betingelsen for at vogna skal gå hele runden er at S > G
mv 2
r
> mg v 2 > gr

Beregning av farten til en satelitt
Anta at vi skal plassere en satelitt i
høyden h = 10 000 km.
Vi kan regne ut hvilken fart den skal ha i
en sirkulær bane.
Gravitasjonen fungerer som
sentripetalkraft
mM
F
r
2
mv
r
2
r er avstanden fra jordas sentrum til satelitten dvs r = r 0 + h
v
v
2
2
M
r h
0
11
6,
6710
6,
010
6
16,
410
3
v 4,
9410
m / s
Omløpstid
24
v
m
2,
4410
7
F
24,
410
6
6
2r
2
16,
410
2r = vT T
20852s
3
v 4,
9410
= 20852:3600 h = 5,79 h
M
Konstanter:
M = 6.010 22 kg
= 6,67 10 -11
r 0 = 6,4 10 6 m
Hvis farten er mindre kan
satelitten falle ned på jorda
Hvis farten er større kan den
forsvinne ut i rommet.
h
14

Sentrifugekarusell
Krefter som virker på Pål når han henger i
veggen er tyngden, friksjon og normalkraft fra
veggen
Kraften fra veggen, S, fungerer som sentripetalkraft:
S
mv
r
2
Når karusellen har fått fart , senkes
gulvet og Pål blir hengende igjen i
veggen.
For at Pål skal bli hengende i veggen, må R kunne balansere G.
Friksjonen kan skrives slik R =S fordi S er normalkraft.
mv
r
2
v
mg
r
2
g v
2
gr
Denne farten er den minste vi kan ha for at Pål ikke skal skli ned.
Er farten høyere vil ikke R øke, men innstille seg på samme verdi som tyngden.
Når karusellturen går mot slutten og farten reduseres, vil Pål gli langsomt ned.
S
Pål
R
G