Kvalitetskontroll av klasseinndelte statistiske kart - Norsk Nettskole

Innledning
Kvalitetskontroll av klasseinndelte statistiske kart
Jan Ketil Rød
Institutt for Geomatikk
NTNU
jan.rod@geomatikk.ntnu.no
Statistiske kart er en type tematiske kart som fremstiller en eller et fåtall antall
variabler. Variabelen(e) finnes lagret i en tabell som kobles mot et grensekart. Én rad i
tabellen korresponderer vanligvis med én geografisk enhet i kartet. Både enhetens
nivå, for eksempel fylke eller kommune, og geografisk område, for eksempel
Trøndelag, korresponderer både for tabell og kart slik som vist i figur 1.
KOMMUNE Navn Instpl67
1601 Trondheim 59,6
1612 Hemne 59,9
1613 Snillfjord 130,6
1617 Hitra 90,9
1620 Frøya 63,6
1621 Ørland 59
1622 Agdenes 85,5
1624 Rissa 82,7
1627 Bjugn 93,6
1630 Åfjord 120
1632 Roan 67,5
1633 Osen 75,9
1634 Oppdal 51,3
1635 Rennebu 70,1
1636 Meldal 67,7
1638 Orkdal 70,5
1640 Røros 80,2
1644 Holtålen 101,7
1648 MidtreGaul 118,7
1653 Melhus 85,3
1657 Skaun 97,4
1662 Klæbu 245
1663 Malvik 74,5
1664 Selbu 57,2
1665 Tydal 161,8
1702 Steinkjer 54,8
1703 Namsos 46,4
1711 Meråker 130
1714 Stjørdal 77,3
1717 Frosta 64,8
1718 Leksvik 78,8
1719 Levanger 53,2
1721 Verdal 75,7
1723 Mosvik 125
1724 Verran 61,1
1725 Namdalsei 74,7
1729 Inderøy 76,1
1736 Snåsa 90,5
1738 Lierne 116
1739 Røyrvik 371,8
1740 Namsskog 109,3
1742 Grong 101,5
1743 Høylandet 105
1744 Overhalla 91,9
1748 Fosnes 118,9
1749 Flatanger 115,7
1750 Vikna 106,5
1751 Nærøy 75,7
1755 Leka 103,2
KOMMUNE Navn Instpl67
1601 Trondheim 59,6
Figur 1: Kobling av tabell og kart for produksjon av statistiske kart.
Grensekartet blir symbolisert med tegn hvis uttrykk (størrelsesvariasjon eller
lyshetsvariasjon) korresponderer, mer eller mindre, med variabelens verdibredde.
Fordelen med statistiske kart er at det ofte er lettere, eller kanskje først da blir mulig, å
1

oppdage eventuelle geografiske mønstre; hvor det er høye verdier og hvor det er lave
verdier av en bestemt variabel. Det er vanlig å skille mellom absolutte og relative
variabelverdier. Størrelsesproporsjonale kart anbefales benyttes for å fremstille
absolutte tallverdier mens skravurkart anbefales for å fremstille relative tallverdier.
Absolutte tallverdier kan for eksempel være:
• Antall individer som utgjør befolkningsmengden
• Antall individer i en bestemt aldersgruppe eller av et bestemt kjønn
• Antall sysselsatte totalt eller antall sysselsatte innen en bestemt sektor
Relative verdier utrykkes ofte som prosenter og er utledede verdier fra absolutte
verdier, som for eksempel:
• Befolkningstetthet der absolutte befolkningstall er dividert med bebodd
areal
• Befolkningsandel der en bestemt gruppe av befolkningen, som for
eksempel befolkningen over 67 år, er dividert med total befolkning
• Sysselsetting innen en bestemt sektor dividert med total sysselsetting.
I skravurkartet fremstilles variabelverdiene etter metaforen desto mørkere
symbolisering desto høyere verdi. For eksempel: lys blåfarge – lav verdi, mørk
blåfarge – høy verdi. Begrunnet ut fra øyets begrensede mulighet til å differensiere
mellom et større antall lyshetsvariasjoner, er det blitt en kartografisk tradisjon å vise
variabelverdiene i skravurkartet med et lavt antall klasser, typisk fire til seks klasser.
Klasseløse eller klasseinndelte skravurkart
Hvordan en skal klasseinndele et større antall variabelverdier til et mindre antall
klasser er et problem som er behørig diskutert innenfor den kartografiske litteratur. De
fleste mente det var best å ha et begrenset antall klasser, men Waldo Tobler mente at
vi ikke burde klasseinndele overhode (Tobler, 1973). Tobler fremhevet at for
klasseløse skravurkart korresponderer symboliseringen (‘the visual intensity’) med de
underliggende dataverdier (‘the data intensity’) og at disse kartene dermed ikke har
klassifikasjonsfeil (Tobler 1973, 262). Dobson kritiserte Tobler’s løsning og hevdet at
den ikke hadde noen tilfredstillende løsning med hensyn til ”persepsjonsfeil”
(‘perceptual error’) som var en funksjon som økte med et økende antall klasser
(Dobson 1973, 359).
2

Mange år senere revitaliserte Kennedy (1994) denne debatten og utfordret
hovedargumentet for å klasseinndele, nemlig for å unngå en degenerert lesbarhet.
Kennedy utfordret dermed påstanden om at den høye nøyaktigheten for klasseløse
skravurkart kun var av matematisk og ikke perseptuell art. Hun konkluderte med at en
er i stand til å regionalisere romlige mønstre i klasseløse skravurkart selv på grunn av
det store antall klasser, samt at en er i ganske bra stand til å skille mellom
lyshetsvariasjoner i klasseløse kart (Kennedy 1994, 19). Det siste kan dessuten enkelt
forbedres med å implementere interaktivitet i programpakken slik at brukeren ved en
musbevegelse over de geografiske enheter i et klasseløst kart, får frem de
underliggende dataverdien relatert til denne enhet. Slik kan en sammenlikne
dataverdier mellom tilgrensende enheter (nabo kommuner). En er dermed ikke
avhengig av å diskriminere lyshetsvariasjonene for å verdi sammenlikne områder.
Kennedy’s motivasjon for å gjenoppta debatten om klasseløse skravurkart synes å
være at ikke alle kartprodusenter har kartografisk opplæring, noe som hun mener gjør
debatten enda mer aktuell i dag siden tilgjengelig teknologi gjør det mulig for
nærmest hvem som helst å produsere kart (Kennedy 1994, 16). Kartene produsert av
slike ”nye” kartprodusenter kan være estetisk attraktive, men meget unøyaktige.
Følgelig fremhever hun at det er en forpliktelse å kommunisere strukturen til de
underliggende data (Kennedy 1994, 20), eller sagt på en annen måte: vi har en
forpliktelse til å lage nøyaktige skravurkart. Jeg vil legge til at selv erfarne kart
produsenter kan ha vanskelig å oppfylle dette, simpelthen fordi det ikke er vanlig i
GIS eller kartografiske programpakker og ha noe system for kvalitetsrapportering.
Dermed vet en ikke om de aktuelle skravurkart en måtte produsere kommuniserer
strukturen til de underliggende data.
Behov for kvalitetsrapport
Denne presentasjonen er om kvalitetskontroll av klasseinndelte statistiske kart. Det er
flere av de typer kart som kommer innunder benevnelsen statistiske kart hvor
utformingen av disse kart innebærer en klasseinndeling. Imidlertid skal jeg begrense
meg her til den mest vanlige type statistiske kart hvor klasseinndeling inngår; nemlig
skravurkartet. Kvalitet er en viktig egenskap for alle kartografiske produkter og det
stilles etter hvert krav til leverandører av geodata at disse skal rapportere kvaliteten på
sine data. Dette er blitt særlig gjeldende som en følge av internasjonalt
3

standardiseringsarbeid; når data skal deles er dokumentasjon av kvalitet viktig.
Mindre aktivitet synes det å være rundt dokumentasjon av kartografiske
sluttprodukter. Det er ingen grunn til å la dette være ugjort når det gjelder
klasseinndelte skravurkart for her finnes det metoder for å dokumentere kvalitet av
klasseinndelte skravurkart (Jenks og Caspall, 1971).
Som allerede nevnt er det vanlig å klasseinndele variabelen som skal fremstilles i
skravurkart for å forenkle det visuelle uttrykket slik at kartet skal være et ”effektivt
kommunikasjonsmedium”. MacEachren kritiserer denne iveren etter forenkling, en
kritikk jeg deler:
‘In many cases we seem to have lost sight of the fact that maps are intended to communicate
something about geographic reality. We have instead limited our attention to evaluating the
reader’s ability to interpret the mapped representation of that reality. To evaluate
‘communication effectiveness’ of a thematic map, we must first know the underlying accuracy
of that map’ (MacEachren 1985, 38).
I følge MacEachren (1985, 39) vil den underliggende nøyaktighet til et hvilket som
helst kvantitativt statistisk kart være avhengig av fire faktorer:
1. Prosedyre for kartproduksjon,
2. Metoder for datainnsamling,
3. Strategier for data klassifikasjon, og
4. Symbolisering.
Mens MacEachren’s artikkel vier spesiell oppmerksomhet til nøyaktighet relatert til
symbolisering av skravurkart (den fjerde faktor), vies oppmerksomheten her til
nøyaktighet relatert til data klassifikasjon (den tredje faktor). Et mål for
klassifikasjonsnøyaktighet som er utviklet er GVF indeksen. GVF er en forkortelse
for Goodness of Variance Fit. Før jeg kommer inn på hva denne GVF indeksen kan
fortelle oss om klassifikasjonsnøyaktighet skal jeg motivere litt om hvorfor en bør
angi klassifikasjonsnøyaktigheten. Jeg skal gjennomføre denne motivasjonen med
utganspunkt i to ”case” som jeg har hentet fra programpakken Statistisk Sett – Utforsk
Norge på egen hånd som er utviklet av Statens Kartverk, Statistisk Sentralbyrå og
Geodata. Statistiske data og kartdata fra disse to ”case” er også benyttet i en
egenutviklet programpakke, GIB, for nettopp å kunne angi klassifikasjonsnøyaktighet.
4

I figur 2 ser vi to kart som er produsert i programpakken Statistisk Sett. Begge kartene
fremstiller variabelen befolkning per 1.1.1998, aldersgruppe 67 år og over, prosent av
total befolkning inndelt i det samme antall klasser og med lik symbolisering, men
metode for å klasseinndele dataverdiene er forskjellig. I kartet til venstre, som er
prototypekartet (”default” løsning), er ”kvantil” metoden benyttet og i kartet til høyre
er ”like intervall” metoden benyttet. Det geografiske mønsteret er ganske likt i begge
kartene, men kartet til venstre forsterker en kontrast mellom et ”fjordbelte” og innland
og forsterker dermed inntrykket av at de gamle bor i de grisgrendte bygdene mens de
unge bor i byer, bynære områder eller tettsteder. I kartet til høyre er det et ganske likt
bilde som dannes, men kontrastene er her mye mer dempet – bildet er mer nyansert.
Hvilke av kartene er det mest nøyaktige? Hvordan kan slik nøyaktighet angis?
Figur 2: Befolkning per 1.1.1998, aldersgruppe 67 år og over, prosent av total befolkning
fremstilt etter henholdsvis kvantil (venstre) og like intervall (høyre) inndeling.
I figur 3 vises også to kart produsert i programpakken Statistisk Sett. Her fremstilles
variabelen eldreomsorg 1997, institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over.
Igjen vises samme variabel inndelt i det samme antall klasser og med lik
symbolisering, men metode for å klasseinndele dataverdiene er forskjellig. Igjen er
kartet til venstre prototypeløsningen, en kvantilinndeling i fire klasser, mens for kartet
til venstre er metoden ”like intervall” benyttet. Kontrasten mellom disse to kartene er
betydelig. Hvilket av disse kartene som benyttes for å formidle nivået på
5

eldreomsorgen blant trøndelagskommunene vil resultere i to vidt forskjellige
tolkninger av velferdsnivået. Hvilket av kartene er nærmest virkeligheten? Igjen – vi
har behov for å kunne angi kvalitet.
Figur 3: Eldreomsorg 1997, institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over, fremstilt etter
henholdsvis kvantil (venstre) og like intervall (høyre) inndeling.
Visualisering og nummerisk angivelse av nøyaktighet
Det er to komponenter som her foreslås å kunne utgjøre en kvalitetsrapport for
skravurkart: visualisering av nøyaktighet og en nummerisk angivelse av nøyaktighet.
For å angi nøyaktighet foreslås det å bruke to mål; GVF (Goodness of Variance Fit)
og SDCMc (Standard Deviation Class Means – per klasse). GVF verdien sier noe om
den totale nøyaktighet til kartet, mens SDCMc sier noe om feilbidraget til GVF
verdien fra de enkelte klassene. Både visualisering og nummerisk angivelse av
nøyaktighet tar utgangspunkt i et sorterte stolpediagram av den variabel som
fremstilles i skravurkart. For variabelen befolkning per 1.1.1998, aldersgruppe 67 år
og over, prosent av total befolkning for de to trøndelagsfylkene vil diagrammet se ut
som vist i figur 4.
6

Min: 7,4
Figur 4: Sortert stolpediagram for variabelen befolkning per 1.1.1998, aldersgruppe 67 år og
over, prosent av total befolkning for de to trøndelagsfylkene som består av 49 kommuner.
Minimumsverdier for dette datasettet er 7,4% mens maksimumsverdien er 23,8%.
Som navnet på GVF indeksen antyder, Goodness of Variance Fit, er nøyaktigheten et
mål på hvor godt to kurver sammenfaller. Den ene kurven er variabelens fordeling,
som vist i figur 4, mens den andre kurven er kurven for den klasseinndelte fordeling
(se figur 5).
orginal distribusjon
klasseinndelt distribusjon (kvantiler)
1. klasse
12 obs.
2. klasse
12 obs.
49 kommuner
7
3. klasse
12 obs.
4. klasse
13 obs.
Max: 23,8
Figur 5: Kurvesammenlikning for variabelens originale fordeling og den klasseinndelte
fordeling (kvantil inndeling).

Nøyaktighetsmålene beregnes ved følgende fremgangsmåte:
1. Beregn aritmetisk gjennomsnitt av hver klasse: Z c .
2. For hver klasse, beregn summen av de kvadrerte avvik mellom
klassegjennomsnitt og observasjonsverdi: ∑ −
2
( c ) Z x . Denne verdien
kalles for SDCMc. (Summen av avvikene (ikke de kvadrerte) mellom
klassegjennomsnitt og observasjonsverdi er enkelt å visualisere slik som
det er vist i figur 6).
3. Summer for alle klassene: ∑∑ −
2
( c ) Z x . Denne verdien kalles for
SDCM (Standard Deviation Class Means).
4. Beregn aritmetisk gjennomsnitt for alle observasjonsverdier: X
5. Beregn summen av de kvadrerte avvik mellom observasjonsverdiene og
gjennomsnittet, for hele datasettet: ∑ − ( X
8
i
x i
2
)
i
. Denne verdien kalles for
SDAM (Standard Deviation, Array Mean).
6. GVF verdien beregnes på grunnlag av SDCM og SDAM:
GVF
SDAM − SDCM
SDAM
= .
GVF verdien er altså et mål på klasseinndelingens statistiske tilpassing i forhold til de
opprinnelige data. Verdien for GVF indeksen er mellom 0 og 1 der høye verdier betyr
en god statistisk tilpassing mellom de opprinnelige data – altså desto høyere GVF
verdi desto mer nøyaktig er skravurkartet.
Feilareal
Mål på
nøyaktighet
Figur 6: Visualisering og mål på nøyaktighet (skjermbilde fra GIB). Variabel er her
”eldreomsorg 1997, institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over”.

I figur 6 vises det sorterte stolpediagrammet for variabelen ”eldreomsorg 1997,
institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over” klasseinndelt i fire tilnærmet
like klasser (kvartilinndeling). Klassifikasjonsfeil visualiseres her som avviket
mellom observasjonsverdiene og klassens gjennomsnitt. Det resulterende feilareal for
denne klassifikasjonsfeil vises med en rød farge. Desto mindre dette feilarealet er,
desto bedre samsvar er det mellom fordelingen av de opprinnelige dataverdiene og
den klasseinndelte fordeling. Som en forstår ut fra figur 5 og 6 vil nøyaktigheten øke
med et økende antall klasser. Perfekt samsvar oppnås når antall klasser tilsvarer antall
observasjoner med unike verdier. Dette gir en GVF verdi lik en. Et klasseløst
skravurkart har et antall klasser likt antall unike observasjonsverdier og vil følgelig
være det mest nøyaktige skravurkart.
Når klassegrenser plasseres mellom to observasjonsverdier som er nær hverandre i
verdi slik som klassegrensen mellom tredje og fjerde klasse, fremheves det i kartet en
forskjell som ikke finnes i kartet (se figur 7). Videre finnes det i datasettet store
forskjeller mellom de 13 observasjonene helt til høyre i diagrammet som er blitt
tilordner den fjerde klassen. Dermed skjules det i kartet en forskjell som finnes i
datasettet. For klasseinndelte kart gjelder at desto større homogenitet innad i klassene
(liten varians) og desto større heterogenitet mellom klassene (stor varians), desto
bedre GVF verdi og desto bedre klassifikasjon. Følgelig vil kvantil inndelingen som
er benyttet for kartet i figur 6, gi en dårlig GVF verdi.
9
a)
b)

Figur 7: Plassering av klassegrenser som medfører at variasjon som finnes i datasettet skjules
(b) i kartet og at en forskjell som ikke (eller i liten grad) finnes i datasettet (b) blir fremhevet i
kartet. Variabelen er ”eldreomsorg 1997, institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over”
Som en kvalitetssikring vil jeg foreslå at prototype kartet som systemet velger som
default blir det skravurkart som er klasseinndelt etter den metode som resulterer i den
beste GVF verdien. Tilsvarende kunne en kvalitetskontroll innebære at en fikk
respons på en bestemt klasseinndeling på hvor god klasseinndelingen var og gi
mulighet til at brukeren kan gjøre om på klassifikasjonen om GVF verdien viser seg å
være for dårlig. Jeg har utviklet en programpakke der dette er inkludert som et
interaktivt brukergrensesnitt. Endringer som gjøres i en interaktiv tegnforklaring
medfører at diagram og kart blir oppdatert (se figur 8).
a)
c)
Figur 8: Sammenkoblede vinduer. Gjøres det endringer i den interaktive tegnforklaringen (b)
eller i diagrammet (c) oppdateres kart, diagram og statistikken i den interaktive tegnforklaringen
Variabelen er her ”eldreomsorg 1997, institusjonsplasser per 1000 innbyggere 67 år og over”.
Vi har nå et verktøy for å sammenlikne nøyaktighet mellom skravurkart med ulike
klasseinndelinger og den generelle anbefaling er å velge den klasseinndeling som
10
b)

medfører den GVF verdi som er nærmest verdien en. ”Case’ene” i denne
presentasjonen hadde følgende GVF verdier:
Kvantil Like intervall
Andel eldre 0,855 0,901
Eldreomsorg 0,473 0,844
Konkluderende perspektiv
I følge Declercq (1995) er GVF verdien 0,95 en terskel for hva en kan betrakte som
god klassifikasjon. Klassifikasjoner som resulterer i en GVF verdi lik eller større enn
0,95 vil dermed bli betraktet som en god klassifikasjon. For de ”case” som er
presentert her behøves det, i alle fall om metodene kvantiler og like intervall skal
benyttes, et større antall klasser enn de vanlige mellom fire til seks. Basert på
Kennedy’s konklusjon over, vil det her anbefales, enten å benytte et klasseløst kart
eller benytte den klasseinndeling som gir høyest GVF og gjerne om nødvendig øke
antall klasser for å sikre en høyere GVF verdi. Om en har en GVF verdi lik eller større
enn 0,95 er det større sannsynlighet for at det romlige mønsteret i skravurkartet
korresponderer med det reelle og det er mindre sannsynlighet for at kartet enten
fremhever geografiske forskjeller som ikke finnes i datasettet, eller skjuler
geografiske forskjeller som finnes i datasettet.
Referanser
Declercq F A N 1995 Choropleth map accuracy and the number of class intervals in
Cartography crossing borders 17 th International Cartographic Conference
Barcelone Sept. 1995, 918–922
Dobson M W 1973 Choropleth maps without class intervals? A comment.
Geographical Analysis 5 (3) 358–360
Jenks and Caspall F C 1971 Error on choroplethic maps: definition, measurement,
reduction Annals of the Association of American Geographers 61 (2) 217–244
11

Kennedy S 1994 Unclassed choropleth maps revisited / Some guidelines for the
construction of unclassed and classed choropleth maps Cartographica 31 (1) 16–
25
MacEachren A M 1985 Accuracy of thematic maps / Implications of choropleth
symbolization Cartographica 22 (1) 38–58
Tobler W R 1973 Choropleth maps without class intervals? Geographical Analysis 5
262–264
12