Oppgave 1

Formler og tabellverdier
1. Tabell
2. Residuer
φ (i radianer) sin φ cos φ tan φ
0 0 1 0
π
6
π
4
π
3
1
√2 2
√2 3
2
√
3
√2 2
2
1
2
1√ 3
π
2 1 0
1
√
3
∞
Theorem 2.1. La C værepositivtorientertenkeltlukketkontur. Hvisfer analyisk innenfor og på C unntatt et endelig antall punkter z1, ... zn innenfor C,
da er Z
nX
f(z)dz =2πi
f (x) .
C
i=1
Resz=zi
Theorem 2.2. Hvis f er analytisk overalt i planet unntatt i et endelig antall
punkter innenfor en enkelt lukket kontur C (positivt orientert). Da er
Z
µ µ
1 1
f(z)dz =2πi Resz=0 f .
C
z2 z
Theorem 2.3. Et isolert singulært punkt z0 av f(z) er en pol av orden m hvis
og bare hvis f(z) kan skrives på formen
f(z) = φ(z)
(z − z0) m
der φ(z) er analytisk og ulik 0 iforz = z0.
Resz=z0 f(z) = φ(m−1) (z0)
(m − 1)! .
Theorem 2.4. La p og q være analytisk i z0. Hvis p(z0) 6= 0,q(z0) = 0 og
q0 (z0) 6= 0, da er z0 en enkel pol til p(z)/q(z) og
Resz=z0
p(z)
q(z)
4
= p(z0)
q 0 (z0) .