Oppgave 1

KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195
KOMPLEKS ANALYSE
STED: HØGSKOLEN I NARVIK
KLASSE:4EL,4RTog5ID
DATO: 28 januar 2004
TID: 9.00-12.00
ANTALL SIDER: 6 (inklusiv formler)
TILLATTE HJELPEMIDLER: Ingen
KONTAKTPERSON UNDER EKSAMEN: Dag Lukkassen, tel. 76966228 (mob.
95140545)
Hver deloppgave teller like mye!
Oppgave 1
a) Skriv funksjonen f(z) =z 3 + z +1på formen f(z) =u(x, y)+iv(x, y), deru
og v er reelle funksjoner, x og y er reelle tall og z = x + iy. Er u og v harmoniske
funksjoner (begrunn svaret)?
b) Finn følgende verdier:
Log( −1
1+ √ ³√ ´ 7
) og Arg( 3 − i ).
3i
c) Bestem antall nullpunkter til
F (z) =z 5 +5iz 2 +1

idisken|z| < 2. Har F (z) nullpunkter utenfor sirkelen |z| =3?
d) Hva mener vi med at en avbildning er konform? Gi et kjennetegn på en konform
avbildning. Hvordan deÞnerer vi Mandelbrotmengden?
Oppgave 2
a) La
u(x, y) =x 3 − 3xy 2 +2+x.
Vis at u er harmonisk i hele xy-planet og Þnn en harmonisk konjungert funksjon
v til u.
b) La f(z) =z 2 + z. Finn f 0 (z) uten å bruke formel og ved bare å ta i bruk
deÞnisjonen på f 0 (z), dvs.
f 0 (z) = lim
∆z→0
µ f(z + ∆z) − f(z)
c) Anta at f(z) er en hel funksjon. Bruk Liouville’s teorem og ta i bruk eksponentialfunksjonen
til å vise at dersom u =Ref(z) er begrenset, da er u konstant.
Vis deretter at dersom v =Imf(z) er begrenset, da er v konstant.
∆z
Oppgave 3 (avhengig av studieretning)
a) (Denne deloppgaven skal bare besvares av elektro-og romteknologistudenter).
La
f(z) = 1+2z−1 + z−2 2 − 3z−1 .
+ z−2 Finn den inverse z-transformen til f(z) iområdet|z| > 1.
2
.

) (Denne deloppgaven skal bare besvares av ingeniørdesignstudenter) Gjør nødvendige
forutsetninger og anvend Navier Stokes likninger
samt vektor-identiteten
∂u
+ u · Ou
∂t
O · u = 0,
= −Op + ν∆u,
ρ
O |u|2
u · Ou =(O × u) ×u + ,
2
til å bevise Bernoullis lov (ovenfor betyr O · u det samme som div u, og O × u det
samme som curl u). Hvordan kan man under visse forutsetningene (oppgi hvilke)
representere hastigheten u i 2-dimensjonale problemer ved hjelp av en analytisk
funksjon?
3

Formler og tabellverdier
1. Tabell
2. Residuer
φ (i radianer) sin φ cos φ tan φ
0 0 1 0
π
6
π
4
π
3
1
√2 2
√2 3
2
√
3
√2 2
2
1
2
1√ 3
π
2 1 0
1
√
3
∞
Theorem 2.1. La C værepositivtorientertenkeltlukketkontur. Hvisfer analyisk innenfor og på C unntatt et endelig antall punkter z1, ... zn innenfor C,
da er Z
nX
f(z)dz =2πi
f (x) .
C
i=1
Resz=zi
Theorem 2.2. Hvis f er analytisk overalt i planet unntatt i et endelig antall
punkter innenfor en enkelt lukket kontur C (positivt orientert). Da er
Z
µ µ
1 1
f(z)dz =2πi Resz=0 f .
C
z2 z
Theorem 2.3. Et isolert singulært punkt z0 av f(z) er en pol av orden m hvis
og bare hvis f(z) kan skrives på formen
f(z) = φ(z)
(z − z0) m
der φ(z) er analytisk og ulik 0 iforz = z0.
Resz=z0 f(z) = φ(m−1) (z0)
(m − 1)! .
Theorem 2.4. La p og q være analytisk i z0. Hvis p(z0) 6= 0,q(z0) = 0 og
q0 (z0) 6= 0, da er z0 en enkel pol til p(z)/q(z) og
Resz=z0
p(z)
q(z)
4
= p(z0)
q 0 (z0) .

3. Noen rekker
4. Laurent-rekker
sin z =
cos z =
e z =
n=0
∞X
n=0
z n
n!
for alle z.
∞X
(−1) n z2n+1 (2n +1)!
∞X
n=0
1 − z m+1
1 − z =
1
1 − z =
(−1) n z 2n
(2n)!
for alle z.
for alle z.
mX
z n for z 6= 1.
n=0
∞X
z n for |z| < 1.
n=0
Theorem 4.1. Anta at en funksjon f(z) er analytisk i området R1 < |z − z0| <
R2 og la C væreenpositivtorientertenkeltlukketkontursomomslutterz0 og
som ligger i dette området. Da gjelder at
hvor
og
f(z) =
∞X
n=0
an (z − z0) n +
an = 1
Z
2πi C
bn = 1
Z
2πi C
∞X
n=1
f(z)
n+1 dz
(z − z0)
f(z)
−n+1 dz.
(z − z0)
5
bn (z − z0) −n ,

5. Cauchy’s integralformel
Theorem 5.1. Cauchy’s formel: La f være analytisk innenfor og på en enkelt
lukket kontur C, tatt i positiv retning. Hvis z0 er et punkt innenfor C, da gjelder
at
f(z0) = 1
Mer generelt gjelder at
Z
2πi C
f(z)
dz.
z − z0
f (n) (z0) = n!
Z
2πi C
f(z)
dz.
(z − z0) n+1
6. Cauchy’s ulikhet
Theorem 6.1. La f(z) være analytisk på og innenfor en sirkel med radius R og
sentrum i z0 og anta at |f(z)| ≤ MR på sirkelen, da er
7. z-transformen
¯ (n)
f (z0) ¯ n!MR ¯ ≤ .
Rn Følge Transform
x[n] X(z)
nx[n] −z dX(z)
dz
x[n − n0] z −n0 X(z)
6