Oppgave 1:

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET
EKSAMEN I
BIT130 Termodynamikk
VARIGHET:
900 1300 (4 timer).
DATO: 20/2 2006
TILLATTE HJELPEMIDLER: Godkjent lommekalkulator
OPPGAVESETTET BESTÅR AV: 2 oppgaver på 4 sider
(inklusive tabell)
Hvert delspørsmål i oppgavene teller likt, og de este kan besvares helt eller delvis
uavhengig av løsningen på andre delspørsmål.
Oppgitt: Den universelle gasskonstanten: R = 8.314kJ/kmol·K.
Oppgave 1:
a) Sett opp termodynamikkens første hovedsats for et lukket system, og vis at den kan
skrives
du = T ds − p dv
for en reversibel prosess, der s er spesikk entropi, u spesikk indre energi, T absolutt
temperatur, p trykk og v spesikt volum.
b) Dener spesikk entalpi, h, og vis at for en reversibel prosess har vi:
ds = dh
T − v T dp .
c) Vis at for en ideal gass med med konstant varmekapasitet i et lukket system har vi
sammenhengen
( ) ( )
TB
pB
s B − s A = c p ln − R ln ,
T A p A
for en vilkårlig reversibel prosess A → B . Her er R gasskonstanten til gassen. Du
kan anse som kjent at varmekapasiteten for en reversibel prosess ved konstant trykk
kan skrives:
c p =
( ∂h
∂T
)
p
= T
( ∂s
∂T
d) Hva kan du si om funksjonen u(T, v) for en ideal gass (Joules lov)? Vis at dette
resultatet betyr at for en isoterm prosess A → B for en ideal gass har vi alltid
w AB = q AB der w AB er spesikt arbeid og q AB spesikk varme i prosessen.
Vi skal så studere en syklisk prosess som modellerer en varmekraftmaskin. Syklusen har
4 delprosesser: En isobar (konstant trykk) ekspansjon 1 → 2 ved trykket p H = 750kPa,
en isoterm ekspansjon 2 → 3 ved temperaturen T H = 250 ◦ C, en isobar kompresjon
3 → 4 ved trykket p L = 100kPa og en isoterm kompresjon 4 → 1 ved temperaturen T L =
22 ◦ C. Arbeidssubstansen er luft, som betraktes som en ideal gass med molekylmassen
M = 29.0kg/kmol og varmekapasitet c p = 7R.
2
1
)
p

e) Skissér prosessen kvalitativt i et pV -diagram, og i et T s-diagram.
f) Finn gasskonstanten R og spesikt volum, v 1 , i tilstand 1. Finn også massen til
luften, m, når det totale volumet i denne tilstanden er V 1 = 4.00 · 10 −3 m 3 .
g) Finn spesikt volum, v 2 i tilstand 2. Finn også arbeidet w 12 og spesikk varme q 12
i delprosessen 1 → 2.
h) Finn spesikt volum, v 3 i tilstand 3. Finn også spesikt arbeid w 23 og spesikk
varme q 23 i delprosessen 2 → 3.
i) Vis at vi har q 34 = −q 12 . Vis også at vi har:
q 41 = − T L
T H
q 23 .
Hvorfor kan du ikke uten videre bruke Kelvins denisjon av absolutt temperatur til
å vise dette? Finn også w 34 og w 41
j) Angi virkningsgraden til prosessen, η, dersom du antar at all varmen i oppvarmingen
1 → 2 tas fra et reservoar med temperaturen T H og at all varmen i avkjølingen 3 → 4
avgis til et reservoar med temperaturen T L .
k) Sammenlign resultatet i forrige punkt med virkningsgraden for en reversibel prosess,
ηRev, med de samme reservoartemperaturene T H og T L . Hvilke delprosesser er ytre
reversible, og hvilke er ytre irreversible?
l) Siden varmene q 12 og q 34 er motsatt like store, kan vi modisere prosessen så vi i
stedet for å avgi varmen q 34 til det kalde reservoaret, lagrer den og fører den tilbake
til systemet som q 12 . Vis at en slik modisert prosess er reversibel. [Den kalles
Ericsson-syklusen]
Oppgave 2:
Ren, umettet vanndamp med temperaturen T 1 = 275 ◦ C strømmer gjennom en dyse fra
en dampturbin hvor trykket er p 1 = 1.20MPa ut i det fri, hvor trykket er p 2 = 100kPa.
a) Skriv opp den mest generelle ligningen vi har for energibevaring i et åpent system, og
forklar hva symbolene betyr. Hva reduserer denne ligningen seg til for vanndampen
som går gjennom dysen? Begrunn svaret.
b) Vis at dersom strømningshastigheten er så liten at den kinetiske energien til vanndampen
kan neglisjeres, reduserer ligningen ovenfor til at vanndampens spesikke
entalpi, h, er bevart under ekspansjonen.
c) Bruk resultatet i forrige punkt og tabellen til å nne temperaturen T 2 til dampen
som er strømmet ut.
d) Hvorfor kan vi beregne temperaturen T 2 ut i fra antagelsen om at prosessen 1 → 2
er reversibel, uten å vite om den faktisk er det?
2

e) Finn den spesikke entropien til dampen både før og etter ekspansjonen, s 1 og s 2 .
Hva sier fortegnet til s 2 − s 1 > 0 om prosessen?
f) Dener (den spesikke) Gibbs frie energi (fri entalpi) g, og vis av denisjonen at vi
har
dg = −sdT + vdp
g) Vis fra foregående punkt at vi har Maxwell-relasjonen:
( ) ∂s
∂p
T
( ) ∂v
= −
∂T
p
h) Skriv opp utrykket vi får for ds dersom vi betrakter entropien s = s(T, p) som en
funksjon av T og p, dvs. uttrykk ds ved partielt deriverte, dT og dp. Bruk resultatet
til å vise at vi har:
ds = c p
dT − βvdp ,
T
der c p er varmekapasiteten ved konstant trykk [se oppgave 1c)], mens
β = 1 v
( ) ∂v
∂T
p
er varmeutvidelseskoesienten (volumutvidelseskoesienten).
i) Finn tilnærmede verdier for c p og β fra tabellen for dampen før den strømmer gjennom
dysen (i tilstand 1).
3