Modeller, miljø og kritisk demokratisk kompetanse - Caspar Forlag AS

Her har vi forkortet totallene foran alle klammeparentesene og multiplisert inn tallene etter hver
klammeparentes i uttrykkene for de partiellderiverte.
Ved å slå sammen de ulike leddene ser vi at dette er et lineært likningssystem i a, b og c:
98a
+ 36b
+ 14c
= 63
36a
+ 14b
+
14a
+
6b
+
6c
= 25
3c
= 11
1 7
Systemet har løsning ( a , b,
c)
= ( − , , −1)
som gir den kvadratiske funksjonen
2 2
1 2 7
h ( t)
= − t + t −1
gjengitt i Figur 4.
2 2
Med kun tre punkter, kunne denne funksjonen enklere vært bestemt ved å sette direkte inn i
interpolasjonsfunksjonen, dvs. h ( 1) = 2, h(2)
= 4 og h ( 3) = 5 , hvilket gir likningssystemet
a +
b + c = 2
4a
+ 2b
+ c = 4
9a
+ 3b
+ c = 5
med samme løsning som over. I reelle måleserier har en gjerne flere enn tre punkter, og da medfører
den siste fremgangsmåten et overbestemt likningssystem. Som beregningene i dette avsnittet
illustrerer, vil minste kvadraters metode være en mulighet i slike generelle tilfeller.
Det kan være tilfeller hvor andre former for interpolasjon enn andregradstilpasning gir bedre
resultat, for eksempel kan det hende en behøver polynomer av høyere grad enn to. En kan da
behøve flere punkter for å bestemme interpolasjonsfunksjonen. I praktiske tilfeller er ikke
beregningene noe vi trenger å bekymre oss om, da prosedyrene er innebygget i ulike typer
programvare.