Modeller, miljø og kritisk demokratisk kompetanse - Caspar Forlag AS

More documents

Recommendations

Info

32 observeres. Jeg velger å illustrere prosessen ved stadiemodellen til Blomhøj (2003), se figur 2, men understreker at oppstillingen i denne sammenheng er et analyseverktøy og ikke nødvendigvis oppskrift på hvordan modellering bør foregå i klasserommet. For at situasjonen skal kunne omdannes til matematikk, må den vanligvis avgrenses og etter hvert utvikles det en matematisk modell (rubrikk fire i figur 2) med tilhørende resultater som senere må vurderes og analyseres. Finner en at resultatene ikke kan aksepteres, vender en tilbake til ett eller flere av stadiene (a)–(f) for å undersøke hva som eventuelt kan forbedres. Et viktig skille mellom modelleringsprosessen og emner som matematisk problemløsning, er at i det første tilfellet blir relasjonen til virkelige situasjoner stadig testet og revurdert. Det er heller ikke nødvendigvis slik at en alltid starter øverst og deretter arbeider seg suksessivt gjennom hvert stadium. En prosess som dette gjennomarbeides vanligvis via flere (del)sekvenser. I noen tilfeller kan den matematiske formuleringen være gitt, slik at det som gjenstår er utprøving av modellen og fortolkning av resultatene, dvs. stadium (d) og (e). Andre ganger kan utfordringen være å sette opp det matematiske systemet (c) eller en er mest opptatt av å velge fornuftige inputdata til modellen. For å evaluere en modell (f), kan det hende en bare behøver å gå inn på noen av stadiene (a)–(e). Uansett hvilken av delprosessene en befinner seg i, vil det være behov for å gjøre både kritiske vurderinger og logiske resonnementer der matematikk inngår. Slike resonnementer kan medvirke både til utvikling av kritisk demokratisk kompetanse og utvidet matematisk forståelse. Er problemformuleringen (a) aktuell for samfunnet som helhet, kan en forestille seg at tenkningen rundt modellen vil være spesielt egnet for utvikling av kritisk demokratisk kompetanse, men det kan ikke utelukkes at andre former for modellarbeid kan gi grunnlag for tilsvarende innsikt. I vårt tilfelle utgjør fenomenet «havnivåstigning» den virkelige situasjonen og kan plasseres i tilsvarende rubrikk i figur 2. De to linjene i figur 1 hører til i rubrikken for modellresultater. Den offentlige diskusjonen kommer inn under punktene (a)–(f). Selv om den offentlige debatten kommer i etterkant av modelleringsprosessen, illustrerer den hvilke analyser som kan være aktuelle gjennom prosesser som dette. For eksempel stilles det spørsmål om de historiske dataenes holdbarhet og hvorfor en lineær modell er valgt, som er relatert til henholdsvis (b), (c) og (d), og det fremkommer diskusjon om hvilke forhold som kan medvirke til økt havnivå, som kan sies å være en vurdering av selve problemformuleringen (a). Vi har vært inne på at det er umulig å lykkes med å tilpasse en linje i figur 1 fullstendig til så mange måledata som her, og uansett om vi velger en lineær modell eller ikke, vil valget medføre en viss unøyaktighet. For å kunne si noe om størrelsen av denne metodefeilen, behøver vi informasjon om hvordan metoden fungerer rent matematisk, dvs. innholdet i rubrikk fire, figur 2. Som vi skal se under, kan denne delen av modelleringsprosessen være mer eller mindre krevende å få innsikt i. Modeller som bokser Siden realistiske modeller bygger på avansert matematikk omsatt til ulike dataalgoritmer, vil de for utenforstående fremstå som såkalte black boxes (sorte bokser). En sort boks kan betraktes som et sted hvor informasjon sendes inn og bearbeides, før den blir sendt ut igjen i omformet tilstand uten at en vet hva som foregår inni boksen. Sort-boks-parallellen gjør at det kan være krevende – eller umulig, å avsløre hvilke kriterier og avgrensninger som ligger til grunn for et modellresultat. For en fullstendig vurdering av modellen er det nødvendig å oppløse boksen slik at innholdet kommer til syne, og dette må dessuten vanligvis forenkles og bearbeides. Det kan diskuteres hvor mye matematikk en behøver å kjenne til for å kunne forholde seg 3/2010 tangenten
kritisk til en offentlig debatt basert på modeller. For at leseren selv skal kunne reflektere over dette, har jeg inkludert en forenklet versjon av de matematiske beregningene som mest sannsynlig ligger bak denne havnivåmodellen (se avsnittet «Litt om interpolasjon»). Metoden går ut på å beregne avstanden fra et tenkt lineært funksjonsuttrykk til hvert datapunkt for så å beregne funksjonen slik at samlet avstand til punktene blir minst mulig. Ved hjelp av funksjonsuttrykket kan en finne tilnærmede verdier i områder hvor en ikke har målinger, slik det er gjort for årstallene etter 2009 i figur 1. Trenden i måledataene avgjør om det bør velges en lineær eller ikke-lineær funksjon og måles absoluttverdien av funksjonsavviket fra hvert målepunkt vil summen av avvikene utgjøre residualet, se for eksempel (Hansen, 2009). Størrelsen av residualet angir modellens nøyaktighet. Slike utregninger kan enkelt utføres ved hjelp av et verktøy som eksempelvis Excel, som tillater en rekke forskjellige valg av funksjonsuttrykk. Jeg understreker at dette kun er eksempel på en liten del av den type matematikk som kan finnes inni en «boks». Konklusjon I denne artikkelen har jeg gitt noen eksempler på hva som kan ligge i begrepet kritisk demokratisk kompetanse i relasjon til en modellanvendelse i samfunnet. Med utgangspunkt i en modell for havnivåutvikling og den offentlige diskusjonen rundt resultatene, har jeg eksemplifisert hvilke typer antakelser og begrensninger som kan ligge til grunn for en modelleringsprosess. Havnivåberegningene er a priori og kan aldri bli gjenstand for sikre vurderinger. Dette er et typisk kjennetegn ved mange samfunnsaktuelle modeller, og for å unngå at resultater gjengis etter eget forgodtbefinnende, blir kunnskap om modelleringsprosessen og evne til å stille aktuelle spørsmål særlig viktig. Elevers muligheter til å gjøre liknende vurderinger ved arbeid med modellering, kan virke forberedende til å stille liknende spørsmål i tilsvarende sammenhenger. Litt om interpolasjon Det er flere måter å interpolere på, avhengig av hvordan avstanden mellom den tenkte funksjonen og datapunktene måles. For hver målemetode er hensikten å danne en funksjon som ligger nærmest mulig opp til alle punktene samtidig. Ved hjelp av denne kan en finne tilnærminger til verdier både inni og utenfor måleområdet. Å bruke funksjonen for å beregne verdier mellom målepunkter, kalles interpolasjon. Forlenges interpolasjonsfunksjonen utenfor måleområdet, kan vi finne tilnærmede verdier også her. Dette kalles ekstrapolasjon, begge deler er eksemplifisert i figur 3 og 4. Interpolasjon og ekstrapolasjon benyttes gjerne for å skape inputdata til matematiske modeller i tilfeller hvor en ikke har nok målinger, eller for å videreanalysere ett sett med modellresultater. For å vise hvordan interpolasjon fungerer velger jeg å forholde meg til kun tre punkter. Dette kan for eksempel være punkter en stoler spesielt på i en måleserie. For å ha konkrete tall å arbeide med, velger jeg ut verdiene (1, 2), (2, 4) og (3, 5) i figur 3 og figur 4. Vi bestemmer oss for en lineær tilnærming, figur 3. Nå må funksjonen bestemmes slik at den har minst mulig avstand til alle tre datapunkter samtidig. I det generelle tilfellet vil en ha et sett med datapunkter (t 1 , y 1 ), (t 2 , y 2 ), …, (t n , y n ) hvor t i , i = 1, 2, … n eksempelvis står for påfølgende tidspunkter og y i er målte verdier i hvert tidspunkt. Vi har da en tidsserie. I vårt eksempel var y i gjennomsnittlig havnivå. En kan tenke seg flere funksjoner som går gjennom våre tre punkter. For eksempel vil en andregradsfunksjon ha formen Se figur 4, sjekk at f(1) = 2, f(2) = 4 og f(3) = 5. La den lineære funksjonen vi søker være gitt ved y = at + b, der a og b er variable som så langt tangenten 3/2010 33
Page 1 and 2: Ragnhild Hansen Modeller, miljø og
Page 3: matisk metode. Metodefeilen kan oft
Page 7 and 8: Løsningen kan for eksempel finnes
Page 9 and 10: likningen gir en mulighet til å mi

Modeller, miljø og kritisk demokratisk kompetanse - Caspar Forlag AS

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?