Modeller, miljø og kritisk demokratisk kompetanse - Caspar Forlag AS

likningen gir en mulighet til å minimere den samlede avstanden ved hjelp av grunnleggende
derivasjonsregler og lineær algebra.
Vi ønsker nå å velge a, b og c slik at summen av kvadratene over blir minst mulig, siden dette er
ekvivalent med at h(t) ligger så nær opp til alle punktene samtidig som mulig. Holdes b og c fast
ender vi som i det lineære tilfellet opp med en andregradsfunksjon i a. Det samme gjelder for b
dersom a og c holdes fast, og for c når a og b betraktes som konstante. Vi kan altså betrakte uttrykket
som en andregradsfunksjon enten i a, b eller c ved suksessivt å holde fast de to andre variablene i
funksjonen
g ( a,
b,
c)
=
3
2
∑[ yi
− ( ati
+ bti
+ c)
]
i=
1
Dersom vi kan verifisere at alle de tre andregradsfunksjonene har positiv hulning, kan problemet
betraktes som å finne minimumspunktet til hver av disse. Ved å bruke kvadratsetningene til å regne
ut leddene inni klammeparentesen, ser vi at de kvadratiske leddene i a, b og c er henholdsvis
4 4 4 2 2 2 2 2 2
( t
1
+ t2
+ t3
) a ,( t
1
+ t2
+ t3
) b og c , slik at disse har positive fortegn uavhengig av hvilke verdier
som settes inn for t . Har en flere enn tre punkter å forholde seg til er fortegnene fremdeles positive
i
(– verifiser!). Kriteriet for positiv hulning er altså oppfylt, hvilket betyr at det finnes et entydig
minimumspunkt for hver av de tre grafene og problemet har i så måte alltid en løsning.
En måte å finne minimumsverdien for g(a,b,c) når b og c holdes fast, er å partiellderivere uttrykket
∂g
med hensyn på a. Den partiellderiverte av g med hensyn på a betegnes og finnes ved å betrakte b
∂a
∂g
∂ g
og c som konstanter for så å derivere med hensyn på a, tilsvarende prosedyre har vi for og .
∂b
∂ c
Istedenfor å regne ut klammeparentesene for så å derivere funksjonen, finner vi det mindre
arbeidskrevende å bruke kjerneregelen (jfr. derivasjon av sammensatte funksjoner) når vi beregner
de partiell deriverte. Ved å ta utgangspunkt i nest siste likning over, som i dette eksempelet definerer
g, finner vi de partiell deriverte som:
2
∂g
∂a
∂g
∂b
∂g
∂c
= 2
= 2
= 2
[ 2 − ( a + b + c)
] ⋅ ( −1)
+ 2[ 4 − (4a
+ 2b
+ c)
] ⋅ ( −4)
+ 2[ 5 − (9a
+ 3b
+ c)
]
[ 2 − ( a + b + c)
] ⋅ ( −1)
+ 2[ 4 − (4a
+ 2b
+ c)
] ⋅ ( −2)
+ 2[ 5 − (9a
+ 3b
+ c)
]
⋅ ( −9)
⋅ ( −3)
[ 2 − ( a + b + c)
] ⋅ ( −1)
+ 2[ 4 − (4a
+ 2b
+ c)
] ⋅ ( −1)
+ 2[ 5 − (9a
+ 3b
+ c)
] ⋅ ( −1)
For å finne minimumspunktene setter vi alle de partiell deriverte lik null samtidig:
( a + b + c)
− 2 + (16a
+ 8b
+ 4c)
−16
+ (81a
+ 27b
+ 9c)
− 45 = 0
( a + b + c)
− 2 + ( 8a
+ 4b
+ 2c)
− 8 + (27a
+ 9b
+ 3c)
−15
= 0
( a + b + c)
− 2 + ( 4a
+ 2b
+
c)
−
4 + ( 9a
+ 3b
+
c)
−
5 = 0