Algebra

MATEMATIKK: 1 Algebra
1 Algebra
1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
Matematikk er et morsomt fag – hvis vi får det til. Som på de fleste
områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
bli en god fotballspiller eller håndballspiller, må en stadig øve for å
bli bedre. Slik er det også for matematikken. Vi må stadig terpe på ting
eller detaljer for å bli god i faget. Det er ikke alltid nok å være talentfull.
Med en viss regneferdighet og ved å mestre hjelpemidler, som lommeregner
med grafisk vindu, ligger alt til rette for en behagelig «matematikkreise».
Vanlige tall angir faste mengder. 80 betyr f.eks. det samme hver gang
vi bruker tallet. I mange tilfeller bruker vi tallstørrelser som ikke er faste,
men som varierer. Disse størrelsene kaller vi for variabler. I dagliglivet
er det mange størrelser som varierer. Eksempelvis kan vi nevne
rente på lån/innskudd, lønn/inntekt, valutakurser, priser på forbruksvarer
og mange andre ting.
Bokstavregning er regning med uttrykk som inneholder variabler. Vi
har f.eks. at arealet, A, av en sirkel kan skrives A ¼ pr 2 der r står for
radius i sirkelen og p ¼ 3,14.
Eksempel 1
3 3 ¼ 3 2 ð¼ 9Þ
3 þ 3 ¼ 2 3 ð¼ 6Þ
a a ¼ a 2
a þ a ¼ 2 a ¼ 2a
I eksemplet ovenfor har vi en viktig basis for regning videre. Det er viktig
å se når vifår a 2 ,ognårvifår2a, ogat2a betyr 2 a.
9

www.ebok.no
Eksempel 2
2ð3 þ 4Þ ¼2 7 ¼ 14
eller
ð2 3 þ 2 4Þ ¼6 þ 8 ¼ 14
2ða þ 4Þ ¼ð2 a þ 2 4Þ ¼2a þ 8
I dette eksemplet ser du at ða þ 4Þ ikke kan trekkes sammen til 4a. 4 a
betyr det firedobbelte av tallet a, mens a þ 4 betyr at vi skal legge 4 til
tallet a.
Hvis f.eks. a ¼ 5vilða þ 4Þ bli ð5 þ 4Þ ¼9, mens 4a vil bli
4 5 ¼ 20.
Har vi et tall foran en parentes, uttrykker parentesen en multiplikasjon,
og vi multipliserer da med hvert tall inne i parentesen.
Eksempel 3
3aða þ 2Þþ2ða þ 1Þ ¼ð3a 2 þ 6aÞþð2a þ 2Þ
¼ 3a 2 þ 6a þ 2a þ 2
¼ 3a 2 þ 8a þ 2
Her ser vi at 3a a ¼ 3 a a ¼ 3a 2 . Dessuten betyr 3a 2 det dobbelte
av 3a. 3a er det samme som a þ a þ a. Det dobbelte av 3a er selvfølgelig
6a. Når vi trekker sammen ledd, må vi summere de som er
«like», dvs. at 3a 2 þ 6a ikke kan trekkes sammen. 6a þ 2a er «like» ledd
og blir til sammen 8a.
Eksempel 4
eller
ð2 þ 3Þð1 þ 2Þ ¼5 3 ¼ 15
ð2 1 þ 2 2 þ 3 1 þ 3 2Þ ¼2 þ 4 þ 3 þ 6 ¼ 15
ða þ 3Þð1 þ aÞ ¼ða 1 þ a a þ 3 1 þ 3 aÞ
¼ða þ a 2 þ 3 þ 3aÞ
¼ a 2 þ 4a þ 3
Her har vi to parenteser som skal multipliseres med hverandre. For å
forstå framgangsmåten og se at denne fører til riktig resultat, bruker vi
først et talleksempel.
Iførste parentes er 2 þ 3 lik 5, i andre parentes er 1 þ 2 lik 3. Her
betyr det at uttrykkene i parentesene skal ganges med hverandre,
dvs. 5 3 ¼ 15.
10

MATEMATIKK: 1 Algebra
Men det er ikke alltid vi kan trekke sammen inne i parentesene på
denne måten, så en alternativ måte å regne ut parentesene på er vist.
Poenget er at når to parenteser skal ganges med hverandre, må hvert
tall i den ene parentesen multipliseres med hvert tall i den andre parentesen.
Vi kan legge merke til at 2 er byttet ut med a, dvs. a ¼ 2. Hvis vi
bytter ut a med 2 i svaret ða 2 þ 4a þ 3Þ, fårvi
Er svaret uventet?
Regning med negative tall
Eksempel 5
2 2 þ 4 2 þ 3 ¼ 4 þ 8 þ 3 ¼ 15:
5 3 ¼ 2
Dette kan også skrives 5 þð 3Þ ¼5 3 ¼ 2.
Når vi skal trekke fra et tall, er det det samme som å legge til et minustall.
Vi ser også at når viløser opp en parentes (fjerner parentesen) og
det står pluss (þ) foran, beholder vi fortegnet i parentesen.
Eksempel 6
100 70 ¼ 30
Dette kan skrives 100 ðþ70Þ ¼100 70 ¼ 30.
Hvis vi sammenlikner med foregående eksempel, ser vi her at minustegnet
har kommet foran parentesen. Når viåpner parentesen, vil fortegnet
inne i parentesen bli forandret (fra þ til ).
Etter de siste to eksemplene kan vi konkludere med at
* Når det står pluss foran en parentes og vi åpner denne, vil fortegnene
inne i parentesen bli beholdt.
* Når det står minus foran en parentes og vi åpner denne, vil fortegnene
inne i parentesen bli forandret.
Eksempel 7
3 ð 1Þ ¼ þð 3Þ ¼ 3
3 ð1Þ ¼ ðþ3Þ ¼ 3
3ð 1Þ ¼ ð 3Þ ¼þ3
ð 3Þð 1Þ ¼þ3
11

www.ebok.no
Viktige kommentarer til eksempel 7:
* Når det står et tall foran en parentes, multipliserer vi det positive tallet
inn i parentesen og lar fortegnet stå utenfor. Deretter åpner vi
parentesen. Hvis det står pluss foran, beholder vi fortegnet. Hvis
det står minus foran, bytter vi fortegnet.
* Ved multiplikasjon/divisjon gjelder at like fortegn gir pluss og ulike
fortegn gir minus:
þþ¼þ og ¼þ
þ ¼ og þ¼
Oppgave 1
Multipliser og trekk sammen uttrykket
3ða þ 2Þða 3Þ 2ða 1Þ ð3a 2 16Þ
og gjør svaret så enkelt som mulig.
Kontroller utregningen ved å sette inn a = 2.
Løsningsforslag
3ða 2 3a þ 2a 6Þ ð2a 2Þ ð3a 2 16Þ
¼ð3a 2 9a þ 6a 18Þ ð2a 2Þ ð3a 2 16Þ
¼ 3a 2 9a þ 6a 18 2a þ 2 3a 2 þ 16
¼ 5a
Ved kontroll må vi alltid sette inn samme tall både i det opprinnelige
uttrykket og i svaret.
Kontroll av uttrykket:
3ð2 þ 2Þð2 3Þ 2ð2 1Þ ð3 2 2 16Þ
¼ 3 4 ð 1Þ 2 1 ð3 4 16Þ
¼ 12 ð 1Þ 2 ð 4Þ
¼ 12 2 þ 4
¼ 10
Kontroll av svaret: 5 2 ¼ 10.
Konklusjon
Vi fikk samme tall når vi satte inn 2 både i uttrykket og i svaret. Da er
det stor sannsynlighet for at vi har regnet riktig, men 100 % sikker kan
vi ikke være på grunn av faren for dobbeltfeil. Legg merke til fortegnsregler,
oppløsning av parenteser og at 3a 2 betyr 3 a 2 . ð3 2 2 kan ikke
regnes som 6 2 ).
12

MATEMATIKK: 1 Algebra
Legg merke til at 3ða þ 2Þða 3Þ ikke kan skrives som
ð3a þ 6Þð3a 9Þ. Vi multipliserer ut parentesene først.
1.2 Kvadratsetningene
I enkelte sammenhenger dukker uttrykk som ðx 2Þ 2 , ða þ bÞ 2 osv.
opp. For slike uttrykk kan vi gjøre utregningen mer rasjonell. F.eks.
skrives kvadratet av 3 som 3 2 og betyr 3 3 (9). ðx 2Þ 2 kan skrives
som ðx 2Þðx 2Þ, ogða þ bÞ 2 kan skrives som ða þ bÞða þ bÞ.
Første kvadratsetning
ða þ bÞ 2 ¼ða þ bÞða þ bÞ ¼a a þ a b þ a b þ b b
¼ a 2 þ 2 a b þ b 2
¼ a 2 þ 2ab þ b 2
Denne setningen kaller vi første kvadratsetning:
ða þ bÞ 2 ¼ a 2 þ 2ab þ b 2
Verbalt kan denne setningen uttrykkes slik: Kvadratet av summen av to
tall, ða þ bÞ 2 , finner vi ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), legge
til det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og legge til kvadratet
av det siste tallet (b 2 ).
Eksempel 8
eller
ðx þ 4Þ 2 ¼ x 2 þ 2 x 4 þ 4 2
¼ x 2 þ 8x þ 16
ðx þ 4Þ 2 ¼ x 2 þ 8x þ 16
Vi har her brukt første kvadratsetning.
Kontroller resultatet ved å regne ut ðx þ 4Þðx þ 4Þ.
Andre kvadratsetning
ða bÞ 2 ¼ða bÞða bÞ
¼ a 2 a b a b þ b 2
¼ a 2 2 a b þ b 2 13

www.ebok.no
Sammenlikn med utregningen ovenfor!
Denne setningen kalles andre kvadratsetning:
ða bÞ 2 ¼ a 2 2ab þ b 2
Den andre kvadratsetningen (formelen) likner svært mye på den første
kvadratsetningen. Men her skal vi finne kvadratet av differansen mellom
to tall.
Prøv åuttrykke setningen verbalt!
Eksempel 9
ðy 5Þ 2 ¼ y 2 2 y 5 þ 5 2
¼ y 2 10y þ 25
Vi har her brukt regelen for andre kvadratsetning. «Mellomregningen»
blir etter hvert unødvendig.
Tredje kvadratsetning
ða þ bÞða bÞ ¼a 2 a b þ a b b 2
¼ a 2 b 2
Denne setningen kaller vi for tredje kvadratsetning (konjugatsetningen).
Vi kaller den for konjugatsetningen fordi det ikke er en «vanlig» kvadratsetning.
Snur vi på utregningen, ser vi at vi får differansen mellom
to kvadrattall:
ða þ bÞða bÞ ¼a 2 b 2
Eksempel 10
eller
ðx 7Þðx þ 7Þ ¼x 2 7 2 ¼ x 2 49
ðx 7Þðx þ 7Þ ¼x 2 49
Det kan være lett å blande de tre kvadratsetningene. Eksempelvis kan
det nevnes at ðx þ 5Þ 2 lett blir til x 2 þ 25 og ikke x 2 þ 10x þ 25 som er
riktig. Derfor kan det være nyttig – som kontroll – å sette opp parentesuttrykket
to ganger og multiplisere ut på vanlig måte.
14

MATEMATIKK: 1 Algebra
Oppgave 2
ðx þ 2Þ 2 ðx 3Þ 2 2ðx 1Þðx þ 1Þ
Regn ut, og trekk sammen. Gjør svaret så enkelt som mulig. Kontroller
utregningen ved å sette inn x ¼ 3.
Løsningsforslag
ðx 2 þ 4x þ 4Þ ðx 2 6x þ 9Þ 2ðx 2 1Þ
¼ x 2 þ 4x þ 4 x 2 þ 6x 9 ð2x 2 2Þ
¼ x 2 þ 4x þ 4 x 2 þ 6x 9 2x 2 þ 2
¼ 2x 2 þ 10x 3
Kontroll
x ¼ 3 i oppgaven:
ð3 þ 2Þ 2 ð3 3Þ 2 2ð3 1Þð3 þ 1Þ ¼5 2 0 2 2 2 4 ¼ 9
x ¼ 3 i svaret:
2 3 2 þ 10 3 3 ¼ 18 þ 30 3 ¼ 9
Vi fikk samme svar ved å sette inn x ¼ 3både i den opprinnelig oppgaven
og i det forenklede svaret. Legg merke til at første, andre og
tredje kvadratsetning kom på rekke og rad i oppgaven.
Alternativ løsningsmåte er å multiplisere ut parentesene på vanlig
måte:
ðx þ 2Þðx þ 2Þ ðx 3Þðx 3Þ 2ðx 1Þðx þ 1Þ
¼ðx 2 þ 2x þ 2x þ 4Þ ðx 2 3x 3x þ 9Þ 2ðx 2 þ x x 1Þ
¼ x 2 þ 2x þ 2x þ 4 x 2 þ 3x þ 3x 9 2x 2 2x þ 2x þ 2
¼ 2x 2 þ 10x 3
NB! Vi multipliserte med 2 og åpnet siste parentes direkte!
2ðx 2 þ x x 1Þ ¼ ð2x 2 þ 2x 2x 2Þ
¼ 2x 2 2x þ 2x þ 2
Oppgave 3
Regn ut følgende uttrykk, og gjør svaret så enkelt som mulig:
ðx 2yÞ 2 þðx þ yÞð2x yÞ 3ðy xÞ 2 15

www.ebok.no
Løsningsforslag
ðx 2 4xy þ 4y 2 Þþð2x 2 xy þ 2xy y 2 Þ 3ðy 2 2xy þ x 2 Þ
¼ x 2 4xy þ 4y 2 þ 2x 2 xy þ 2xy y 2 3y 2 þ 6xy 3x 2
¼ 3xy
NB! x y ¼ xy
Her kan vi også kontrollere utregningen ved å velge en x-verdi og en
y-verdi, f.eks. x ¼ 2ogy ¼ 3.
Vi setter inn i oppgaven:
ð2 2 3Þ 2 þð2 þ 3Þð2 2 3Þ 3ð3 2Þ 2 ¼ð 4Þ 2 þð5Þð1Þ 3ð1Þ 2
¼ 16 þ 5 3
¼ 18
Vi setter inn i svaret: 3 2 3 ¼ 18. Svaret blir det samme.
1.3 Brøkregning
Brøker er tall som ligger mellom de hele tallene. Desimaltall er en bestemt
type brøk der nevneren er et multiplum av 10. Desimaltallene
blir også kalt for desimalbrøker.
En brøk er også et forhold mellom to størrelser eller en divisjon mellom
de samme størrelsene. Hvis det er 12 jenter og 16 gutter i en klasse,
er forholdet mellom antall jenter og gutter
ð12 : 16Þ ¼ 12
16 ¼ 3 4 :
Dette betyr at det er 3 jenter per 4 gutter
3 4 ¼ 0,75 . Forholdet mellom
4
antall gutter og jenter er selvfølgelig omvendt
3 ¼ 1,3333 ¼ 1 3 1 .
En brøk består aventeller («topp») ogennevner («nederst»). I brøken
3 4
er 3 teller og 4 nevner.
Uttrykket 1 1 3
kaller vi et «blandet tall» fordi uttrykket er satt sammen
av et helt tall og en brøk. Uttrykket betyr egentlig 1 þ 1 3
og omgjøres til
4
3 ibrøkregningen 1 ¼ 3 3 og 1 þ 1 3 ¼ 3 3 þ 1 3 ¼ 3 4 .
1.3.1 Addisjon og subtraksjon av brøker
Hvis vi legger sammen en 1 2 time og en 1 4
time (et kvarter), vil dette utgjøre
3 4
time. Regnestykket vil se slik ut:
1
2 þ 1 4 ¼ 2 4 þ 1 4 ¼ 2 þ 1 ¼ 3 4 4
16

MATEMATIKK: 1 Algebra
Her ser vi at 1 2 er gjort om til 2 4
, og at vi har lagt sammen tellerne og
beholdt fellesnevner. Vi kan ikke legge sammen tellerne og nevnerne
hver for seg, for da vil vi få 2 6 som er det samme som 1 3
(20 minutter).
Regel:
Når vi skal addere og subtrahere brøker, må vi gjøre alle brøkene til
brøker med felles nevner. Deretter summerer/trekker vi fra tellerne
og beholder fellesnevner.
Som fellesnevner velger vi det minste tallet som alle nevnerne går opp
i. Sagt på en annen måte: Vi finner minste felles multiplum når vi skal
finne fellesnevneren. Når vigjør om 1 2 til 2 4
, sier vi at vi utvider brøken.
Vi multipliserer teller og nevner med 2, men verdien av brøken er den
samme 1 2 ¼ 4 2 .
Oppgave 4
Trekk sammen brøkene og gjør svaret så enkelt som mulig: 1 3 þ 3 4
Løsningsforslag
Fellesnevner for 3, 4 og 6 er 12. Merk at fellesnevneren aldri kan være
mindre enn den største nevneren. Her må vi utvide de tre brøkene og
gjøre om til 12-deler:
Forklaring
4
12 þ 9 12
1 4
3 4 þ 3 3
4 3
10
12 ¼ 4 þ 9 10 ¼ 3 12 12 ¼ 1 4
5 2
6 2 ¼ 4
12 þ 9 12
10
12 ¼ 3 12 ¼ 1 4
I den første brøken har vi ganget teller og nevner med 4, i den andre
har vi ganget teller og nevner med 3, og i den tredje brøken har vi ganget
teller og nevner med 2. Da vi trakk sammen tellerne, fikk vi 3, dvs.
svaret ble 3
12 .Men 3
12 kan forenkles til 1 4
. I dette tilfellet sier vi at vi har
forkortet brøken (dividert teller og nevner med 3).
Å utvide en brøk: Vi multipliserer teller og nevner med samme tall.
Å forkorte en brøk: Vi dividerer teller og nevner med samme tall.
5
6
NB! Når vi utvider eller forkorter en brøk, vil verdien av brøken være
den samme som før operasjonen.
17

www.ebok.no
1.3.2 Multiplikasjon av brøker
Å multiplisere 1 2 med 2 er det samme som å finne det dobbelte av 1 2 .
Svaret er derfor lik 1 1 2 2 ¼ 1 .
1
2 2 ¼ 1 2
2 ¼ 2 2 ¼ 1
Når vi multipliserer en brøk med et helt tall, ganger vi det hele tallet
inn i telleren og beholder nevneren.
Eksempel 11
3
5 4 ¼ 3 4
5 ¼ 12
5
¼ 2 2
5
Vi kan kontrollere at dette er riktig ved å skrive 0,6 i stedet for 3 5
(3 : 5 ¼ 0,6).
12
0,6 4 ¼ 2,4 og ¼ 12 : 5 ¼ 2,4
5
Når vi skal multiplisere to eller flere brøker med hverandre, kan vi
«tenke» som ovenfor.
Eksempel 12
3
5 1 ¼ 0,6 0,5 ¼ 0,3
2
Når vi multipliserer med 1 2
, er det det samme som å finne halvparten av
tallet. 0,3 blir da et rimelig svar. 0,3 kan også skrives som 3
10
. Vi kan
komme fram til det samme svaret på følgende måte:
3
5 1 2 ¼ 3 1
5 2 ¼ 3 10
Regel:
Når vi skal multiplisere brøker, multipliserer vi teller med teller og
nevner med nevner. («Teller gange teller over nevner gange nevner».)
Eksempel 13
2
3 1 5 3 4 7 ¼ 2 1 3 4
3 5 7 ¼ 24
105 ¼ 8 35
Før utregningen kunne vi ha forkortet teller og nevner med 3 (felles
faktor). Da ville vi ha fått 8 35 direkte:
18

MATEMATIKK: 1 Algebra
2 1 3 4
3 5 7 ¼ 2 1 4
5 7 ¼ 8
35
Her må vi passe på så vi ikke multipliserer både teller og nevner med
det hele tallet 3. For å unngå denne feilen kan vi gjøre hele tall om til 1-
deler, f.eks. 3 ¼ 3 1
. Da ville utregningen ovenfor ha blitt slik:
2
3 1 5 3 1 4 7 ¼ 2 1 3 4
3 5 1 7 ¼ 24
105 ¼ 8 35
1.3.3 Divisjon av brøker
Når vi skal dele en halv pizza på to personer og begge skal ha en like
stor del, vil de åpenbart få en firedel av en hel pizza hver, dvs. 1 2 : 2 ¼ 1 4 .
Har du to liter vann som du skal fylle over i halvlitermål, må du fylle
fire stykker, dvs. 2 : 1 2 ¼ 4.
Ut fra disse to eksemplene kan vi lage en regel:
1
2 : 2 ¼ 1
2 2 ¼ 1 4
eller
1
2 : 2 1 ¼ 1 2 1 2 ¼ 1 1
2 2 ¼ 1 4
Deler vi en brøk med et helt tall, kan vi gjøre dette ved å gange det hele
tallet inn i nevneren. Alternativt kan vi gjøre om det hele tallet til en
brøk (1-deler) og så snu den og multiplisere:
2 : 1 2 ¼ 2 1 : 1 2 ¼ 2 1 2 1 ¼ 2 2
1 1 ¼ 4 1 ¼ 4
Regel:
Når vi deler en brøk med en annen brøk, snur vi den bakerste
brøken og multipliserer deretter teller med teller og nevner med
nevner.
Eksempel 14
a) 3 5 : 7 8 ¼ 3 5 8 7 ¼ 3 8
5 7 ¼ 24
35
2
b)
3 þ 2
: 4
5 5 ¼ 10
15 þ 6
15
a
b : c d ¼ a b d c ¼ a d
b c ¼ ad
bc
: 4 5 ¼ 16
15 5 4 ¼ 16 5
15 4 ¼ 80
60 ¼ 4 3
I eksempel b) er det lurest å summere de to brøkene inne i parentesen
før vi deler med 4 5
.Når vi legger sammen brøker må vi finne fellesnevner
(her 15). Etter at vi har regnet ut og fått et «endelig svar», måvi
19

www.ebok.no
sjekke om det er mulig å forenkle svaret, dvs. å forkorte brøken. Legg
merke til at vi i dette eksemplet kunne ha forkortet før vi multipliserte
brøkene:
16 5
15 4 ¼ 4 3
2 2 2 2 5
3 5 2 2 ¼ 2 2
3 ¼ 4
3
1.3.4 Brudne brøker
Hvis teller og/eller nevner i en brøk selv er en brøk, kaller vi dette for
en brudden brøk. Vi har indirekte regnet med brudden brøk ovenfor.
1
2 : 2 kan skrives som 1
2
2
Derfor skriver vi ofte om en brudden brøk til en divisjon mellom to
brøker.
Eksempel 15
3
7
a)
4
¼ 3
5
7 : 4 5 ¼ 3 7 5 4 ¼ 15
28
b) 4 þ 7 8
1 þ 6 ¼
7
4
1 þ 7 8
1
1 þ 6 ¼
7
39
8
13
¼ 39
8 : 13
7 ¼ 39
8 7
13 ¼ 21
8
7
Her har vi forkortet teller og nevner med 13.
Oppgave 5
Trekk sammen, og gjør svaret så enkelt som mulig:
a) x 3
15 þ 2x þ 1
5
b) x þ 2
4
c) a þ 1
a
1 2x
8
1
2 b
b
Løsningsforslag
a) Fellesnevner her er 15. Det er lurt å sette tellerne i parentes.
ðx 3Þ
15
ð2x þ 1Þ3
þ ¼ ðx
5 3
3Þþð6x þ 3Þ
¼ x 3 þ 6x þ 3 ¼ 7x
15
15 15
20

MATEMATIKK: 1 Algebra
b) Fellesnevner er 8. Vi setter tellerne i parentes.
x þ 2
4
1 2x
8
ðx þ 2Þ2
¼
4 2
¼ 2x þ 4
8
ð1
1 þ 2x
2xÞ
8
¼
¼ 4x þ 3
8
ð2x þ 4Þ ð1 2xÞ
8
NB! Svaret kan ikke forkortes. De to leddene i teller har ingen felles
faktor.
c) Fellesnevner: a b ¼ ab. Vi setter tellerne i parentes. 1 ¼ 1 1 og
ba ¼ ab.
ða þ 1Þb
a b
1 ab
1 ab
ð2
bÞa
b a
¼
¼
¼
ðab þ bÞ ab ð2a abÞ
ab
ab þ b ab 2a þ ab
ab
2a þ ab þ b
ab
Merk:
Hvis det står minus ( ) foran en brøk der teller består av to eller flere
ledd, har det lett for å bli fortegnsfeil. Derfor bruker vi å sette tellerne i
parentes (se eksemplene b og c).
1.4 Faktorisering
Å faktorisere et tall eller uttrykk vil si å splitte opp tallet/uttrykket i så
små faktorer som mulig. Tallet skal kunne skrives som produktet av
disse faktorene. Vi kan f.eks. skrive
8 ¼ 2 2 2
12 ¼ 2 2 3
50 ¼ 2 5 5
112 ¼ 2 2 2 2 7
180 ¼ 2 2 3 3 5
Når et tall er faktorisert, kan vi også finne hvilke tall som går opp i tallet.
Alle tall som kan skrives som et produkt av to eller flere av faktorene,
går opp i det faktoriserte tallet. (De enkelte faktorene selv går
selvsagt også opp i tallet.) Dette kan vi benytte oss av når vi skal finne
fellesnevneren for brøker eller minste felles multiplum. Ta f.eks. brøker
med nevnerne 2, 6, 8, 12 og 15. Vi faktoriserer nevnerne:
21

www.ebok.no
2 ¼ 2
6 ¼ 2 3
8 ¼ 2 2 2
12 ¼ 2 2 3
15 ¼ 3 5
Fellesnevneren på faktorisert form må inneholde alle disse produktene.
Vi må altså ha med tre 2-ere for å få med 8, da har vi nok 2-ere til å
danne alle de andre nevnerne med 2 som faktor. Vi må i tillegg ha med
en 3-er for å danne 12; den samme 3-eren kan vi bruke til å danne 15.
For å danne 15 må vi også ha med faktoren 5. Fellesnevneren blir da
2 2 2 3 5 ¼ 120.
Uttrykk som 2a þ 6oga 2 2a kan også faktoriseres. Oppgaven blir
da å lage parentesuttrykk; dvs. det motsatte av å multiplisere ut og løse
opp parenteser.
2a þ 6 ¼ 2 a þ 2 3 ¼ 2ða þ 3Þ
Vi har her satt den faktoren som er felles for de to leddene, utenfor
parentesen.
a 2 2a ¼ a a 2 a ¼ aða 2Þ
a er felles faktor for de to leddene og settes utenfor parentesen.
Vi kan også faktorisere uttrykk som a 2 9. De to leddene har ingen
felles faktor. Men snur vi på den tredje kvadratsetningen (konjugatsetningen),
får vi:
a 2 b 2 ¼ða bÞða þ bÞ:
Uttrykket a 2 9 kan skrives a 2 3 2 .
a 2 3 2 ¼ða 3Þða þ 3Þ
Her ser vi at b ¼ 3.
Faktorisering av tall/uttrykk er sentralt i brøkregning og når vi skal
gjøre uttrykk enklere.
Eksempel 16
x ¼ a2 9
a 3
¼
ða 3Þða þ 3Þ
a 3
¼ a þ 3
Det er åpenbart at «svaret» ða þ 3Þ er enklere enn a2 9
a 3 .
22

MATEMATIKK: 1 Algebra
1.5 Tallinje
En tallinje brukes for å vise tallenes posisjon i forhold til hverandre. Et
termometer er et eksempel på en tallinje.
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
Mellom to påfølgende hele tall på tallinjen er det uendelig mange tall.
Vi kan nevne at tallene 1,1, 1,2, ..., 1,9 er desimaltall (desimalbrøker)
som ligger mellom 1 og 2 på tallinjen. Desimaltallene kan skrives som
vanlige brøker.
Desimaltallet 1,1 kan skrives som
1,1 ¼ 1 þ 1 10 ¼ 10
10 þ 1 10 ¼ 11
10
1,325 ¼ 1 þ 3 10 þ 2
100 þ 5
1000
¼ 1000
1000 þ 300
1000 þ 20
1000 þ 5
1000
¼ 1325
1000 ¼ 53
40
1,99, 1,075 og 1,00000017 er eksempler på andre desimaltall (brøker)
som ligger mellom 1 og 2 på tallinjen.
Alle hele tall og brøker kaller vi for rasjonale tall.
Mellom 1 og
pffiffi
2 ligger det også andre tall som vi ikke kan skrive som
brøker, f.eks. 3 ¼ 1,732 050 808 ...
Her har vi bare tatt med noen få desimaler. Prikkene betyr at vi kan
ha mange flere desimaler.
Et tall som vi ikke kan skrive som et helt tall eller en brøk, kaller vi et
irrasjonalt tall.
Ordet rasjonal kommer av det latinske ordet ratio, som betyr fornuft
og/eller forhold. Vi kan da si at irrasjonal betyr ikke fornuft/ikke et forhold.
Ivår sammenheng kan vi knytte rasjonal til forhold. En brøk har vi
tidligere kalt et forhold.
Alle rasjonale og irrasjonale tall kaller vi for reelle tall. Ivåre oppgaver
regner vi bare med reelle tall. Vi kaller mengden av alle reelle tall
for
p
R.
ffiffiffiffiffiffi
De tallene som ikke er reelle, kaller vi imaginære tall.
4 ¼ 2i er et eksempel på en imaginær løsning.
Vi sier at vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall – det har ingen
mening for oss.
23

www.ebok.no
Vi skiller mellom ulike skrivemåter:
h1, 2i, ½1, 2Š, h1, 2Š, ½1; 2i og f1, 2g:
h1, 2i er et åpent intervall og betyr alle tall fra 1 til 2 (1 og 2 er ikke
med):
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
½1, 2Š er et lukket intervall og betyr alle tall fra og med 1 til og med 2(1
og 2 er med):
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
h1, 2Š er et halvåpent intervall og betyr alle tall fra 1 til og med 2(1er
ikke med):
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
½1, 2i er et halvåpent intervall og betyr alle tall fra og med 1 til 2(2er
ikke med):
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
Skrivemåten f1, 2g betyr bare tallene 1 og 2, og er ikke et intervall.
–7 –6 –5 -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
I oppgaver med funksjoner ( f ) står det ofte
D f ¼ R nfag; D f ¼ha; bi; x 2½a; bŠ; osv.
D f står for definisjonsmengden til funksjonen f og uttrykker hvilke
verdier funksjonen gjelder for. Symbolet 2 betyr «tilhører» og har ellers
samme betydning som D f .
24