Litt av matematikken bak solur - Nordnorsk vitensenter

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solurLitt av matematikken bak solurAnne BruvoldRevidert februar 2004BakgrunnMin interesse for solur ble vekket da jeg i 2000 skulle holde et lite foredrag om kjeglesnitt ogunder forberedelsen av dette kom over artikler som koblet kjeglesnitt med solur, nærmerebestemt deklinasjonskurver på urskiva til solur. Dette dokumentet er resultatet etter en tids arbeidfor å forstå hvordan solur fungerer gjennom matematikken og fysikken bak horisontale solur.I januarversjonen er det gjort noen layoutmessige endringer i tillegg til en ny variant av solurmed loddrett viser, samt at symbolet for asimut endret fra Az til A. I februarversjonen er en feilangående korreksjon av urskiva for lengdegrad rettet opp.Tromsø, februar 2004Anne BruvoldInnhold1. Innledning .........................................................................................................................22. Nomenklatur......................................................................................................................23. Størrelser ...........................................................................................................................34. Utregning av timelinjenes vinkel i forhold til middagstimelinja ......................................45. Timevinkel ved solnedgang ..............................................................................................86. Mer om horisontale solur med loddrett viser ....................................................................97. Fra solur tid til klokketid.................................................................................................118. Utregning av deklinasjonskurver med utgangspunkt i sfærisk trigonometri .................149. Utregning av deklinasjonskurver ved bruk av kjeglesnitt...............................................1610. Mer om…........................................................................................................................2022. februar 2004 Side 1

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur1. InnledningJordas rotasjon rundt sin egen akse gir sola en tilsynelatende bevegelse over himmelen fra østmot vest. Bevegelsen beskriver en sirkel i løpet av et døgn, 360° på 24 timer eller 15° per time.Solur benytter denne bevegelsen til å vise tiden.Solur består av en viser som, når sola skinner, kaster skygge på en urskive som ikkenødvendigvis er en plan flate. Skyggens posisjon varierer i løpet av døgnet, og for de fleste typersolur varierer også skyggens lengde. Skyggens lengde ved et gitt klokkeslett på dagen variererogså som regel i løpet av året, som resultat av solas varierende deklinasjon (høyde i forhold tilhimmelekvator).Vi skal her se nærmere på matematikken bak solur med en plan horisontal urskive, med loddrettog polrettet viser.2. NomenklaturSoluretViser: Innretning som kaster skygge påurskiva eller på annen måte markerertida.Urskive: Flate med markeringer for avlesningav tida ut fra posisjonen til viserensskygge eller tilsvarende.TimelinjerDeklinasjonskurverTimelinjer: Linjer som markerer skyggens posisjon ved hele timerMiddagstimelinja: Timelinja når sola står i sør. Ligger på linja mellom sør og nord.Deklinasjonskurve: Kurve som markerer skyggens lengde gjennom et døgn ved en gittsoldeklinasjon. Kurvene merkes gjerne med de stjernetegnene sola befinner seg i ved demarkerte deklinasjonene. Disse kurvene kan også kalles datokurver.Ulike tidsbegrepSann soltid: Sann (lokal) soltid er tiden gitt av sola. Sann soltid er 12 når sola står rett i sør. Etsoldøgn er tiden fra sola står i nord til den står i nord neste gang, eller med andre ord:tiden mellom to påfølgende nedre kulminasjoner for sola. Lengden av et soldøgn varierernoe i løpet av året, forskjellen på lengste og korteste soldøgn er 51 s.Middelsoltid: tiden gitt av en tenkt sol, middelsola, som beveger seg med konstant hastighetlangs himmelekvator. Lengden av et middelsoldøgn er konstant gjennom året.Sann mellomeuropeisk soltid: Sann soltid på 15° øst meridianen, referansemeridianen formellomeuropeisk tid.Tidsjevning: Forskjellen mellom sann soltid og middelsoltid.22. februar 2004 Side 2

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur3. StørrelserHvilke symboler som brukes for de aktuelle størrelsene, varierer fra forfatter til forfatter. Herfølger en oversikt over symbolene i dette dokumentet.SenitHorisontale koordinaterASolas asimut, øst-vest posisjonen målt i grader fra sørparallelt med horisonten, positiv vestover (medklokka).NØaSaSolas altitude, høyde over horisonten, målt i grader.(Kan også representere ulike konstanter i noensammenhenger.)VAEkvatoriale koordinaterHSolas timevinkel. Vinkelen fra meridianen tilsola, målt i timer eller grader, parallelt medekvator.H = 0° kl 12 sann (lokal) soltid,H = 15° kl 13 sann soltid.PolpunktetNSenitδφHδSolas deklinasjon, høyden i forhold tilhimmelekvator, målt i grader.HimmelekvatorAndre størrelserφ Nordlig bredde for stedet hvor soluret er.αhVinkelen mellom en timelinje ved gitt timevinkel H ogmiddagstimelinja.avstanden fra viserens topp til horisontalplanet, tilsvarer høyden avloddrett viser.αh'lengden av polrettet viser.ll'avstanden fra punktet loddrett underviserens topp og skyggens topp(fotpunktet til loddrett viser).lengden av polrettet viser projisertned på horisontalplanet.h'l'hLlNLLengden av skyggen av polrettetviser.Ø22. februar 2004 Side 3

Anne BruvoldFørst identifiserer vi en trekantsom kan brukes til å sette oppsammenhengen mellom solastimevinkel H og solas høyde overhorisonten a. Dette settes inn icosinussetninga fra sfæriskgeometri:PolpunktetNLitt av matematikken bak solurSenitφ90°-φ 180°-AHδ90°-aH90°-δaAcos( 90°− a) = cos( 90°− φ ) cos( 90°− δ ) + sin( 90°− φ ) sin( 90°− δ ) cos Hsom gir(4.3) sin a = sinφ sin δ + cosφcosδcos HBruker så "four-parts" formelen for å finne sammenhengen mellom timevinkelen H og asimut A:cos( 90° −φ) cos H = sin( 90° −φ) cot( 90° −δ) − sin H cot( 180°− A)som girsin H(4.4) tan A =sin φ cos H − cosφtan δA gir vinkelen mellom middagstimelinja og en linje fra punktet loddrett under viserens toppunktog toppen av viserens skygge. For horisontale solur med loddrett viser er dette det samme somvinkelen for timelinja for et gitt tidspunkt. Vi ser at vinkelen er avhengig av solas deklinasjon, ogdermed varierende gjennom året. Kun når δ = 0°, ved jevndøgnene, stemmer (4.2).Projeksjonsmetoden som ga oss likning (4.2) er derfor ikke holdbar for ur med loddrette visere.For polrettede visere, finner vi timelinjas vinkel ved først å finne avstanden l mellom punktetloddrett under viserens topp og skyggens topp:Nh(4.5) l =tan ahvor h er avstanden fra viserens topp tilhorisontalplanet. Videre er lengden av viserenprojisert på horisontalplanet gitt ved:h'l'hLlØhl ' =tanφVed å bruke sinussetninga to ganger i trekanten gitt ved l, l' og L, hvor L er avstanden frafotpunktet til viseren og toppen av skyggen, får vi:22. februar 2004 Side 5

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solurtanα=h+tanφtanhah sin H cosδtan a cos acosδcos asin H cosδtanφ=sin a + cosδtanφSetter inn for sin a fra (4.3) og får( sinφcos H − cosφtan δ )( sinφcos H − cosφtan δ )sin H cosδtanφtanα=sinφsin δ + cosφcosδcos H + cosδtanφsinφcos H= tan Hcos2tanφφ + sincosφ2φ− sinφsin δEn siste forenkling girtanα = tan H sinφnoe som stemmer med resultatet (4.1) ved projeksjon langs den polrettede viseren. Forhorisontale solur med polrettet viser, er vinkelen mellom timelinjene og middagstimelinja kunavhengig av solas timevinkel og stedets nordlige bredde. En timelinje på et horisontalt solur medpolrettet viser vil derfor være gyldig hele året.Figuren under viser hvordan timelinjene for kl 15 sann soltid ved 45° nord for et solur medloddrett viser varierer gjennom året (sorte linjer). De blå heltrukne linjene markerer timelinja forkl 12 sann soltid (felles for loddrett og polrettet viser) og kl 15 sann soltid for polrettet viser,mens de sorte heltrukne linjene markerer de ulike timelinjene kl 15 sann soltid for en loddrettviser.15 tδ = -23,5°Skyggen av loddrettetviser ulike tider avåretFotpunkt loddrett viserFotpunkt polrettetviser12tδ = 0°δ = 23,5°22. februar 2004 Side 7

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur5. Timevinkel ved solnedgangNord for polarsirkelen hvor det er midnattssol om sommeren, kan soluret brukes hele døgnetdeler av året. Vi har derfor bruk for timelinjer for alle døgnets 24 timer. Sør for polarsirkelen kanman utelate timelinjer for de timene hvor sola er under horisonten.For å finne hvilke timelinjer vi kan utelate, trenger vi timevinkelen for nordligste solnedgang.Timevinkelen ved solnedgang finner vi ved å ta utgangspunkt i formel (4.3) og sette høydena = 0°. Med litt omregning får vi:cos H = − tanφ tanδVed å sette inn δ = 23,5° for sommersolverv og nordligste solnedgang, og ønsket breddegrad φfinner vi timevinkelen for nordligste solnedgang. Tabellen under viser timevinkelen ogtilhørende klokkeslett for nordligste solnedgang for utvalgte breddegrader.BreddegradTimevinkel fornordligstesolnedgangKlokkeslett ved senestesolnedgang(desimaler av sann soltid)75 Midnattssol Midnattssol70 Midnattssol Midnattssol65 159 22,660 139 21,355 128 20,6Strengt tatt er solhøyden negativ når vi ser solen gå ned. Dette kommer av at sollyset bøyes ijordas atmosfære, en effekt som kalles refraksjon. Denne effekten gjør at sola går ned senere ennden ville gjort ut fra rent geometriske hensyn. Refraksjonen varierer med høyden over horisontenog med lufttrykk og temperatur. Solas høyde under horisonten ved solnedgang kan derfor varierefra dag til dag, alt etter værforholdene og er derfor vanskelig å ta med i tabellene.Tillegget for atmosfærisk refraksjon er størst ved solvervene, og blir større jo nærmere poleneman kommer. Tar man hensyn til kun refraksjonen kommer solnedgangen rundt en halv timesenere ved 70 grader nord. Tar man i tillegg hensyn til solas diameter, forsinkes solnedgangenmed nærmere en time ved de tidspunktene hvor sola kommer tilbake etter mørketida.22. februar 2004 Side 8

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur6. Mer om horisontale solur med loddrett viserSom vist i likning (4.4) gir projeksjonsmetodensom ga likning (4.2) feil i tidsavlesninga forloddrette visere. Denne feilen er en effekt av solasPolpunktetvarierende deklinasjon gjennom året, og vinkelenmellom himmelekvator og horisonten.ØSenitVed et gitt klokkeslett i sann soltid, har sola sammetimevinkel uavhengig av deklinasjon. Hvis vi serpå solas posisjon kl 16 sann soltid gjennom året, vilsola beskrive et buesegment på 2 ganger 23,5° aven storsirkel som går fra pol til pol.NVSH = 4tHimmelekvatorHorisontenVJS’ J’SPolpunktetPolpunktetNordV’Viseren til et solur med polrettet viser liggerpå aksen mellom himmelpolene, noe somvidere gjør at viseren ligger i planet til nevntestorsirkel. Siden storsirkelen definert av solasposisjon ved et gitt klokkeslett i sann soltidog viseren ligger i samme plan, vil ogsåskyggen av viseren ligge i dette planet. Dettebetyr igjen at vinkelen mellom en gitttimelinje for solur med polrettet viser harsamme vinkel med middagstimelinja heleåret. Dette er illustrert i figuren til venstre. V,J og S markerer solas posisjon vedhenholdsvis vintersolverv, jevndøgnene ogsommersolverv. V', J' og S' viser detilsvarende toppunktene for skyggen. Linjafra viserens fotpunkt til V', tilsvarer timelinjafor tidspunktet.En loddrett viser ligger ikke i planet tilstorsirkelen definert av solas av solas posisjon vedet gitt klokkeslett i sann soltid, med mindreklokkeslettet er 12 eller 24, eller soluret står på enav polene. Skyggen ligger derfor heller ikke i detteplanet. Solas varierende deklinasjon gir dermedskyggen varierende vinkel i forhold tilmiddagslinja gjennom året.HimmelekvatorHorisontenVJSPolpunktetPolpunktetFeilen minker med økende nordlig bredde; pånordpolen er horisontale solur med loddrett ogpolrettet viser og ekvatoriale solur like.S' J'V'Nord22. februar 2004 Side 9

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solurEn forholdsvis kjent effekt av tidsjevninga eranalemmaen, en 8-talls figur som kommerfram dersom man markerer solas posisjon vedsamme tidspunkt i normaltid gjennom året.(Det er ikke noen direkte sammenhengmellom analemmaen og analemmatiskesolur). For å justere et horisontalt solur medpolrettet viser for tidsjevninga, kan man tegneinn projeksjonen av analemmaen påtimelinjene.HimmelekvatorHorisontenPolpunktetNordNormalt brukes midlere verdier for tidsjevninga, men skal man ha spesielt nøyaktige solur, somheliokronometrene som ble brukt fram til 1900 for å justere jernbaneurene i Frankrike, må manberegne tidsjevninga for hvert år.I tillegg til at jordaksen heller og jorda går i ellipseformet bane rundt sola, så går jorda sammenmed månen rundt jord-månesystemets tyngdepunkt. Dette fører til en ytterligere ujevn fart ijordas gang rundt sola og i solas østlige bevegelse over himmelen. Til slutt kommer det at året ogdøgnet ikke går opp i hverandre, noe som gjør at vi må sette inn skuddager for å holde året ogkalenderen i takt med hverandre. Dette må det tas hensyn til om vi skal beregne tidsjevninga medstor nøyaktighet.Normaltid (sonetid)For å få norsk normaltid fra et solur må man justere tiden ut fra solurets posisjon i forhold tilmeridianen på 15° øst. Dette gjøres enten ved å justere soluret som beskrevet over, eller legge tileller trekke fra lengdedifferansen omregnet fra grader til timer og minutter. Deretter må manlegge til eller trekke fra tidsjevninga, som vist i dette eksempelet:Lengdedifferansen for Tromsø er 3° 57' eller 3,95°. Omregnet til timer (15° = 1 time) blirdette 0,2633 timer eller 16 minutter. Når et solur i Tromsø (eller andre steder på sammelengdegrad) viser 11.00 sann soltid, er sann mellomeuropeisk soltid 16 minutter på 11eller 10.44.1. mai er tidsjevninga (sann soltid - middelsoltid) cirka +3 minutter. Soluret i Tromsøsom 1. mai viser 11.00 sann soltid eller 10.44 sann middeleuropeisk soltid, viser 10.41normaltid. Siden vi bruker sommertid i Norge, vil mekaniske klokker som armbåndsur oglignende vise 11.41.Vil man sjekke om man har regnet rett, kan man gjøre beregningene for kl 12 sann soltid ogsjekke om man har regnet rett ved å sjekke ved hvilket tidspunkt normaltid sola står i sør. Dettekan sjekkes ved å slå opp i Almanakk for Norge og gjøre beregningene som er beskrevet der.22. februar 2004 Side 13

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur8. Utregning av deklinasjonskurver med utgangspunkt i sfærisk trigonometriDeklinasjonskurvene tegnes av toppen av viserens skygge, og kan beregnes på samme måte forsolur med polrettet og loddrett viser. Det eneste vi trenger å vite er hvor høyt over bakkenviserens topp befinner seg. Hvordan man tegner deklinasjonskurvene avhenger av hvordan manlager urskiva, ved tegning for hånd eller ved plotting i et koordinatsystem.Avstand fra fotpunkt målt langs timelinjaEn måte å tegne deklinasjonslinja, er å måle avstanden fra fotpunktet tilen polrettet viser, langs timelinjene. Denne metoden er greiest å brukenår man tegner urskiva for hånd.NAAvstanden L fra fotpunktet til polrettet viser, finnes ved å sette likning(4.5) inn i likning (4.6):h sin AL =tan a sin αAll' LαØVed å sette erstatte sin A ved å bruke (4.6) får vi:h sin H cosδL =sin a sin αVidere får vi ved å erstatte sin a ved (4.3) får vi:(8.1)h sin HL =(sinφtan δ + cosφcos H ) sinαVed å velge deklinasjon ut fra årstid og aktuelle timevinkler for årstiden, vil man få avstandenfra fotpunktet til deklinasjonskurven for denne årstiden.Kurver i koordinatsystemHvis man skal tegne grafen til deklinasjonskurvene på urskiva, kan detvære greit å bruke et rettvinklet koordinatsystem. Her bruker vi x og z forå ha samme koordinater som brukt i beregningene basert på kjeglesnitt ikapittel 9. Origo for koordinatsystemet er loddrett under viserens topp, xer positiv mot øst og z er positiv mot nord.Koordinatene er gitt ved:x = l sin Asin H cosδ= hsin az = l cos Aog cosδ( sin φ cos H − cosφtan δ )= hsin aNzAAlx22. februar 2004 Side 14

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solurSetter inn for sin a fra (4.3) og velger viserlengde slik at h = 1 og får(8.2)sin Hx =sinφ tan δ + cosφcos Hog(8.3)tanφcos H − tan δz =tanφtan δ + cos HDette gir oss grafer som på figuren under. Timelinjene kommer automatisk fram ved å trekke enlinje mellom punkter som kommer fra samme timevinkel men ulik deklinasjon. Eksempelet erfor 45° nord.zδ = -23,5°δ = 0,0°xδ = 23,5°Grafer basert på (8.2) og (8.3) gir samme kurve som grafer basert på kjeglesnittmetoden ikapittel 9. Fordelen med å ta utgangspunkt i sfærisk geometri er at vi får ut timelinjeneautomatisk og at vi lett kan justere for lengdegraden slik at vi lage solur som viser sannmellomeuropeisk soltid.22. februar 2004 Side 15

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur9. Utregning av deklinasjonskurver ved bruk av kjeglesnitt.Dette kapittelet presenterer en lite praktisk fremgangsmåte, men tas likevel med da det tar for segkjeglesnitt som er årsaken til at jeg oppdaget solurenes fascinerende verden.Hvis vi tar utgangspunkt i et horisontalt solur medpolrettet eller loddrett viser, vil solstålene tegne endobbelkjegle i løpet av et døgn, med toppunkt iviserens topp. Aksen til dobbelkjeglen peker mothimmelens nordpol. Dobbeltkjeglen snittes avhorisontalplanet (urskiva) slik at toppen av viserensskygge beskriver en kurve formet som et kjeglesnitt iløpet av døgnet. Deklinasjonskurvene i solur medhorisontal urskive (og alle med plan urskive) er medandre ord formet som kjeglesnitt.Vi skal nå se på hvordan vi kan bruke teorien frakjeglesnitt for å beregne deklinasjonskurvene.Med et koordinatsystem x", y", z", hvor z" erdobbelkjeglens akse, og x" peker mot øst, paralleltmed horisontalplanet, vil kjegles flate beskrives avformelenz"x =2 2 2" + y"k z"22 1hvor k = og δ ∈ 0°, 23, 5°] er solas2tan δdeklinasjon. Deklinasjonen varierer egentlig mellom-23,5° og 23,5°, men positive og negative verdier vilgi sammenfallende løsninger. δ = 0° gir ingen kjegleog vil bli behandlet i eget punkt senere. Herkonsentrerer vi oss om de positive verdiene.δy"Et koordinatsystem x', y', z', er rotert en vinkel φ i forhold til x", y", z", slik at z' er parallell medhorisontalplanet og peker mot nord, y' loddrett ned i bakken og x' parallell med x".Transformasjonen kan beskrives med følgende likninger:x"= x'y"= ay'+ bz'z"= az'−by'hvor a = cosφ, = sinφnordlige bredde.b og ∈ [ 0°, 90°]φ er stedetsδφz"z'Kjegleformelen blir med denne transformasjonen slik:2 2 22 2 2 2 2 2x ' + a y'+ 2aby'z'+ b z'= k a z'−2kaby'z'+k2b2y'2y'y"22. februar 2004 Side 16

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solursom girB2− 4AC= 0= 42 2 2− 4( −1)( k a − b )2 2 2( k a − b )Kurvens form blir med andre ord bestemt av fortegnet tiltrigonometriske uttrykkene kan omskrives slik2 2 2k a − b , som ved innsetting av dek2a2− b2cos 2δ 2= cos φ − sin2φ2sin δ= cos( φ + δ ) cos( φ − δ )cos( φ − δ ) > 0 i de gitte mengdene for φ og δ, noe som gjør at fortegnet til leddet cos( φ + δ )bestemmer formen på deklinasjonskurven. Vi har da:cos( φ + δ ) < 0 når δ > 90 ° −φcos( φ + δ ) = 0 når δ = 90 ° −φcos( φ + δ ) > 0 når δ < 90 ° −φDette gir følgende når det gjelder formen på deklinasjonskurven z(x):z(x) er en ellipse når δ > 90 ° −φen parabel når δ = 90 ° −φen hyperbel når δ < 90 ° −φBetraktninger rundt grensetilfellet parabelenI grensetilfellet δ = 90 ° −φhvor deklinasjonskurven blir en parabel, er nevneren i likning (7.2),2 2 2k a − b = . Null i nevner kan imidlertid unngås ved følgende omskriving:( ) 01 cosδk = =tan δ sin δsinφb= =cosφaVi har videre:k222sin φ cos φ+ 1 = +22cos φ cos φ1 1= =22cos φ a2 2 2( a − b ) = 0k gjør at z 2 leddet i likning (7.1) forsvinner. z kan dermed finnes med utgangspunkt i:− 2ab22 2 2 2( k + 1) z + k b − a − x = 022. februar 2004 Side 18

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solursom gir ossz = −a2b2( x + 1)+b2aNår deklinasjonen er lik 0°Når δ = 0° er viserens topp i planet til sirkelen solabeskriver i løpet av et døgn. I dette tilfeller får viikke noen kjegle, men en plan flate.Deklinasjonskurven er i dette tilfellet skjæringamellom plan og følgelig en rett linje. Denne linja gåri retning øst-vest, og har en avstand fra origo i x-zsystemet gitt av:z = tanφPolpunkteten sammenheng som følger av figuren til høyre.φzNResultatet fra kjeglesnitteneGrafen til z(x) gir kurver som vist i figuren til venstre. Eksempelet er for 45° nord og kurvene ersammenfallende med resultatet fra sfærisk geometri i kapittel 6.Fordelen med å bruke formlene fra kjeglesnittene er at vi får z som funksjon av x. På den andreside vil vi ikke få fram timelinjene automatisk.δ = -23,5°zδ = 0,0°xδ = 23,5°22. februar 2004 Side 19

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur10. Mer om…Den som vil vite mer, kan finne mer på disse internettstedene:SolurSolursida: http://nordnorsk.vitensenter.no/himmel/solursida/Britisk solurselskap: http://www.sundialsoc.org.uk/Nordamerikansk solurselskap: http://sundials.org/Sundials on the internet: http://www.sundials.co.ukAnalemmaenPå norsk: http://www.nvg.org/org/taf/publikas/analemma.htmAnalemma sida: http://www.analemma.com/TidTime and date: http://www.timeanddate.com/norsk/Clockworks: http://www.britannica.com/clockworks/startpage.htmlA Walk through Time: http://physics.nist.gov/GenInt/Time/time.htmlEller lese mer om solur:Bøker om/med solurF.W. Cousins: Sundials, 1969, John Baker Publishers ltdG. Jerkins, M. Bear: Sundials and Timedials, TarquinR.N Mayall og M.W. Mayall: Sundials, their construciton and use, 1994, Sky Publishing corp.E. Newth: Sola vår egen stjerne, 1994, CappelenR.R.J. Rohr: Sundials, History, Theory and Practice, 1996, Dover publications, inc,J. Walker og D. Brown (ed): Make a Sundial, 1991, British Sundial Scosiety PublA.E. Waugh: Sundials – their theory and construction, 1973, Dover publications, incEllerSfærisk geometriW.M. Smart og R.M. Green: Textbook on Spherical astronomy, 1977, Cambridge Univ. Press22. februar 2004 Side 20