6. Transformasjoner. - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Matriser – en innføring. Side 12⎡1 0 0⎤ ⎡2 5 1⎤ ⎡2 5 1 ⎤P' = M⋅ P =⎢0 1 2⎥ ⎢1 3 4⎥ ⎢⎢−⎥⋅⎢ ⎥=⎢1 −1−2⎥⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣1 1 1⎥⎦⎢⎣1 1 1 ⎥ ⎦slik at etter speilingen får hjørnene koordinateneB' 5, 1 C' 1, − 2 .A' ( 2,1 ), ( − ), ( )b) Vi skal først utføre en flytting slik at punktet A(2,1) faller i origo. Deretter kommerrotasjonen, og til slutt skal vi flytte tilbake. De tre transformasjonsmatrisene blir1 1⎡1 0 −2⎤⎡cos120 −sin120 0⎤⎡ − − 3 0⎤2 2A⎢1= 0 1 −1⎥ ⎢⎢⎥ ⎥ 1 1,⎢ ⎥A2 = ⎢sin120 cos120 0⎥= ⎢ 3 − 02 2⎥ ,⎢⎣0 0 1 ⎥⎦⎢ 0 0 1⎥⎢0 0 1⎥⎣ ⎦ ⎢⎣⎥⎦⎡1 0 2⎤A3=⎢0 1 1⎥. ⎢ ⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦Den samlede transformasjonsmatrisen blir1 1⎡1 0 2⎤ ⎡ − − 3 0⎤2 2 ⎡1 0 −2⎤⎢⎥1 1M = A3⋅A2⋅ A1 =⎢0 1 1⎥3 0⎢0 1 1⎥⎢ ⎥⋅⎢−2 2⎥⋅ ⎢−⎥⎢0 0 1⎥ ⎢0 0 1⎥⎣ ⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎢⎣⎥⎦⎦ 1 1 1 1 1 1⎡1 0 2⎤ ⎡ − − 3 1+ 3⎤ ⎡ − − 3 3+3⎤2 2 2 2 2 2⎢1 1 1 1 1 30 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥=⎢ ⎥⋅⎢ 3 − − 3 3 32 2 2⎥ = ⎢ − −2 2 2⎥⎢0 0 1 ⎢0 0 1 ⎥ ⎢⎣ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 0 1⎥⎦Da blir⎡1 1 1− − 3 3+ 3⎤2 2 2 ⎡2 5 1⎤⎢ ⎥1 1 3P' = M⋅ P = 3 3 ⎢1 3 4 ⎥⎢ − −2 2 2⎥⋅⎢ ⎥⎢0 0 1⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎣1 1 1 ⎥ ⎦⎡15 32 − 3 − 3 ⎤2 2 2 ⎡2 −1.23 0 ⎤⎢⎥3 1 1= 1 3 3⎢1 2.60 1.37⎥⎢− −2 2 2⎥≈ ⎢−⎥⎢1 1 1⎥⎣ ⎦ ⎣⎢1 1 1 ⎦⎥slik at etter rotasjonen om A får hjørneneC1,4 ( )koordinateneA' ( 2,1 ),B' ( − 1.23,2.60),C' ( 0, − 1.37).Situasjonen er illustrert til høyre.B' ( −1.23,2.60)A( 2,1)C' ( 0, −1.37)B5,3 ( )Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2010.