6. Transformasjoner. - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Matriser – en innføring. Side 5⎡x1⎤x = ⎢x ⎥⎣ 2 ⎦transformeres over til en annen vektor⎡y1⎤ ⎛⎡x1⎤⎞y = ⎢ Ty⎥ = ⎜⎢ ⎟2x⎥ .⎣ ⎦ ⎝⎣ 2⎦⎠Etterpå skal vi se hvordan disse transformasjonene kan benyttes til å lage enkel 2-dimensjonal datagrafikk.6.3.1. Translasjon.x 2x⎡x⎤1= ⎢x ⎥2⎣⎦( , )P x x1 2y⎡α⎤Δ x = ⎢β ⎥⎣ ⎦⎡y⎤1= ⎢y ⎥2⎣⎦x 1Et punkt P har koordinatene ( x , x )1 2. Når vi skal flytte dettepunkt en strekning⎡α⎤Δ x = ⎢β ⎥ ,⎣ ⎦innfører vi vektoren⎡ x1⎤x = ⎢x ⎥⎣ 2 ⎦og bruker transformasjoneny ⎡ y1⎤ ⎡x1+α ⎤= x +Δ x ⇔ ⎢ =y⎥ ⎢2x2+ β⎥ .⎣ ⎦ ⎣ ⎦6.3.2. Skalering.Anta at førstekoordinaten til en vektor x skal forstørres med en faktor, mens andrekoordinatenskal forstørres med en faktoraltsåy ⎡y1⎤ ⎡k1⋅x1⎤= ⎢y⎥ = ⎢2k2⋅x⎥ .⎣ ⎦ ⎣ 2⎦k 2. Da får vi en ny vektor y. Transformasjonen blirMen dette kan skrives som en matrisemultiplikasjon:⎡y1⎤ ⎡k1⋅x1⎤ ⎡k1 0 ⎤ ⎡x1⎤⎢ Ky⎥ = ⎢2k2 x⎥ = ⎢ ⋅ ⇔ =20 k⎥ ⎢2x⎥ y A ⋅x.⎣ ⎦ ⎣ ⋅ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦Matrisen⎡k10 ⎤AK= ⎢0 k ⎥⎣ 2 ⎦er derfor en skaleringsmatrise. Siden denne transformasjonen kan utføres som en matrisemultiplikasjon,bli dette en lineær transformasjon. Du ser sikkert selv hvordan vi kangeneralisere til et n-dimensjonalt vektorrom.k 16.3.3. Speiling.Vi har mange forskjellige former for speiling. I et 2-dimensjonalt vektorrom kan du haspeiling om en linje eller speiling om et punkt. I et 3-dimensjonalt vektorrom kan du haBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2010.