6. Transformasjoner. - Universitetet i Tromsø

( u v)Forelesningsnotater i matematikk.Matriser – en innføring. Side 3⎛ ⎡u1⎤ ⎡v1⎤⎞ ⎛⎡a⋅ u1+ b⋅v1⎤⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟T a⋅ + b⋅ = T a⋅ ⎢u⎥+ b⋅ ⎢v⎥= T⎢a⋅ u + b⋅v⎥⎜ ⎢2⎥ ⎢2⎥⎟ ⎜⎢ 2 2⎥⎟⎜ u3 v ⎟ ⎜3a u3 b v ⎟⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⋅ + ⋅ ⎥3⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( v + v )⎡ 2 a⋅ u2 + b⋅v2 ⎤ ⎡ 2 a⋅ u2 + b⋅v2⎢⎥ ⎢=⎢a⋅ u + b⋅v − a⋅ u + b⋅ v⎥=⎢a u − u + b v −v⎢⎣ a⋅ u + b⋅ v + a⋅ u + b⋅ v ⎦ ⎣a u + u + bVidere er⎛⎡u1⎤⎞ ⎛⎡v1⎤⎞⎡ 2u2 ⎤ ⎡ 2v2⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟a⋅ T( u) + b⋅ T( v)= a⋅ T⎢u⎥+ b⋅ T⎢v⎥= a⋅ ⎢u − u⎥+ b⋅ ⎢v −v⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Vi ser at transformasjonen er lineær fordiT a⋅ u+ b⋅ v = a⋅ T u + b⋅Tv .( ) ( )1 1 3 3 1 3 1 33 32 ⎥ ⎢1 121 32 1 3⎢2⎥ ⎢2⎥ ⎢1 3⎥ ⎢1 3⎥⎢⎣u ⎥3⎦ ⎢⎣v ⎥3⎦ ⎢⎣u3 + 2u ⎥ ⎢1⎦ ⎣v3 + 2v⎥1⎦( )⎡ 2a⋅u2 ⎤ ⎡ 2b⋅v2 ⎤ ⎡ 2 a⋅ u2+ b⋅v2⎤⎢a u1 a u⎥ ⎢3b v1 b v⎥ ⎢⎥=⎢⋅ − ⋅⎥+⎢⋅ − ⋅3⎥=⎢au ( 1− u3) + bv ( 1−v3)⎥⎢⎣a⋅ u3 + 2a⋅u ⎥ ⎢1⎦ ⎣b⋅ v3 + 2b⋅v⎥1⎦⎢⎣au ( 3+ 2u1) + bv ( 3+ 2v1)⎥⎦( )⎤⎥⎥⎥⎦2Eksempel 6.4: En transformasjon T : → 2 er gitt ved⎛⎡x1⎤⎞ ⎡x1+3⎤T ⎜⎢ x⎥⎟=⎢2x1x⎥.⎝⎣ ⎦⎠⎣ ⋅ 2 ⎦Undersøk om denne transformasjonen er lineær.Løsning: Følger samme strategi som i forrige eksempel, ved at jeg har to vilkårlige tall a og b,og danner to vektorer⎡u1⎤ ⎡v1⎤u = ⎢ ogu ⎥ v = ⎢⎣ 2 ⎦ v ⎥ .⎣ 2 ⎦For den gitte transformasjonen er⎛ ⎡u1⎤ ⎡v1⎤⎞ ⎛⎡a⋅ u1+ b⋅v1⎤⎞T( a⋅ u+ b⋅ v)= T⎜a⋅ ⎢ b Tu⎥+ ⋅ ⎢2v⎥⎟=⎜⎢ 2a u2b v⎥⎟⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ ⋅ + ⋅2⎦⎠⎡ a⋅ u1+ b⋅ v1+3 ⎤= ⎢( a⋅ u1+ b⋅v1)( a⋅ u2 + b⋅v⎥⎣2)⎦og⎛⎡u1⎤⎞ ⎛⎡v1⎤⎞ ⎡u1+ 3⎤ ⎡v1+3⎤a⋅ T( u) + b⋅ T( v)= a⋅ T⎜⎢ b T a bu⎥⎟+ ⋅ ⎜⎢ 2v⎥⎟= ⋅ ⎢2u1 u⎥+ ⋅⎢ 2v1 v⎥⎝⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ ⎦⎠⎣ ⋅ ⎦ ⎣ ⋅2⎦⎡a⋅ u1+ b⋅ v1+ 3a+3b⎤= ⎢a⋅u1⋅ u2 + b⋅v1⋅v⎥⎣2 ⎦Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2010.