6. Transformasjoner. - Universitetet i TromsÃ¸

More documents

Recommendations

Info

Forelesningsnotater i matematikk.Matriser – en innføring. Side 141 1 1 11 1 ⎡ 3⎤ 2 2 1⎡ 3⎤−2 2b) A = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = A1 1 1 1 1 1 1 1⋅ −2 2 ( − 32 ) ⋅ 3 − 3 1 − 32⎢⎣ 2 2⎥⎦ ⎢⎣ 2 2⎥⎦som også viser at A er ortogonal.TDa vi beregnet determinanten til A i del b) av eksemplet over, fant vi atingen tilfeldighet. Vi kan nemlig vise at:det ( A)= 1. Dette varA er ortogonal ⇒ ( A )det = ± 1Merk at implikasjonen går bare en vei. Det fins mange matriser som har determinant medverdi lik ±1 uten å være ortogonale.TTBevis: A er ortogonal ( ) ( )Men⇔ A⋅ A = I ⇒ det A⋅ A = det I = 1.( TT2A A ) ( A) ( A ) ( ( A)) ( A )Tder jeg benytter at det ( A ) = det ( A ) .det ⋅ = det ⋅ det = det = 1 ⇔ det =± 1Du husker sikkert at når x og y er to vektorer og A er en matrise av passe størrelse, så kany = A⋅xoppfattes som en lineær transformasjon fra ett vektorrom til et annet. Dessuten har vi at:Dersom A er en ortogonal matrise, sier vi at transformasjoneny = A⋅xer ortogonal.Du husker sikkert også at dersom kolonnene i A er koeffisientene til basisvektorene i vektorrommettil y uttrykt ved basisvektorene i vektorrommet til x, kan matriselikningen y = A⋅xbrukes til å transformere vektorer mellom disse to vektorrommene. Dermed ser vi direkte atdersom basisvektorene er innbyrdes ortogonale enhetsvektorer, blir transformasjonsmatrisenA ortogonal.Slike ortogonale transformasjoner har en viktig egenskap:Dersom et sett geometriske vektorer transformeres med en ortogonaltransformasjon, vil vektorenes lengder og vinklene mellom vektorene bevares.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2010.
Forelesningsnotater i matematikk.Matriser – en innføring. Side 15Bevis: La og x være to vektorer i et vektorrom. La viderex12y1 = A⋅x1og y2 = A⋅x2være ortogonale transformasjoner av og x til et annet vektorrom. Da blirT( ) ( )x12y iy = y ⋅ y = A⋅x ⋅ A⋅ x = x ⋅A ⋅A⋅ x = x ⋅ x = x ixT T TT1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2der jeg har benyttet at A T ⋅ A = I.Hvis vi setter y1 = y2= y og x1 = x2= x, bliry = yiy = xix = xsom viser at normen (lengden) til en vektor ikke endres.Videre ery iy = y ⋅ y ⋅cos ∠y , y( )1 2 1 2 1 2y iyx ix⇔ cos ∠ , = = = cos ∠ ,1 2 1 2( y y ) ( x x )1 2 1 2y1 ⋅ y2 x1 ⋅ x2Altså er vinklene mellom vektorene bevart.Dette fører til at en figur som transformeres over i et annet koordinatsystem med en ortogonaltransformasjon, vil bevare størrelse og form. Figuren kan imidlertid bli speilvendt. Dette skjerdersom det A =−1.( )Eksempel 6.10:a) Du husker sikkert at speiling om første- eller andreaksen utføres med speilingsmatrisene⎡1 0 ⎤ ⎡−1 0⎤AX= ⎢ og0 −1⎥ AY= ⎢⎣ ⎦0 1 ⎥⎣ ⎦Vis at disse matrisene er ortogonale med determinant lik -1.b) Du husker sikkert at rotasjon en vinkel θ utføres med rotasjonsmatrisen⎡cosθ−sinθ⎤AR= ⎢sinθcosθ⎥⎣⎦Vis at denne matrisen er ortogonal med determinant lik 1.Løsning: Velger å vise ata) For matrisen blirA XA T ⋅ A = IA T ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0⎤X⋅ A X= ⎢ ⋅ = =0 −1 ⎥ ⎢0 −1 ⎥ ⎢0 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦IVidere erdet A = 1⋅ −1 −0 ⋅ 0 = −1( ) ( )Xfor å vise at matrisene er ortogonale.som bekrefter at transformasjonen bevarer lengder og vinkler, men gir en speiling. Formatrisen får vi helt tilsvarende regninger og konklusjoner.A YBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2010.
Page 1 and 2: 6. Transformasjoner.6.1. Definisjon
Page 3 and 4: ( u v)Forelesningsnotater i matemat
Page 5: Forelesningsnotater i matematikk.Ma
Page 10 and 11: Forelesningsnotater i matematikk.Ma
Page 12 and 13: Forelesningsnotater i matematikk.Ma
Page 16: )Forelesningsnotater i matematikk.M

6. Transformasjoner. - Universitetet i TromsÃ¸

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?