famiexp

g(z; θ ′ ) = exp{zφθ ′ + d1(z) + c1(θ ′ , φ)} e como φ é fixo
= expφ[zθ ′ + d2(z, φ) + c2(θ ′ , φ)]
ou ainda, usando a notação de Cordeiro (1986), tem-se
f(y; θ) = exp{φ[yθ − b(θ) + c(y, φ)]} (1.3)
ou então, de acordo com a notação de McCullagh e Nelder, fazendo φ = 1
a(φ ′ )
[yθ − b(θ)]
f(y; θ) = exp
a(φ ′ ) + c(y, φ ′
)
2
(1.4)
Tem-se nesses dois últimos casos a família exponencial na forma canônica com parâmetro
canônico ou natural θ. Se há outros parâmetros além de θ, eles são olhados como parâmetros
”nuisance”e são tratados como se fossem conhecidos.
2 Média e variância da família exponencial
na forma (2) têm-se:
mas
b
a fx(x; θ)dx = 1
b
exp{a(x)bθ) + d(x) + c(θ)}dx = 1
a
derivando-se em relação a θ fica
fx(x; θ) = exp{a(x)b(θ) + d(x) + c(θ)}IA(x)
b
a exp{a(x)bθ) + d(x) + c(θ)}[a(x)b′ (x) + c ′ (θ)]dx = 0