famiexp

1 Família Exponencial
Muitas das distribuiçôes estudadas até agora são membros da chamada classe ou família
exponencial. Assim, por exemplo, o são as distribuições normal, binomial, binomial nega-
tiva, gama, Poisson e normal inversa. Esta classe de famílias de distribuições foi descoberta
independentemente por Koopman, Pitman e Darmois através do estudo de propriedades
de suficiência estatística. Posteriormente, muitos outros aspectos dessas famílias foram de-
scobertos e tornaram-se importantes na teoria moderna de estatística.
1.1 Caso de um parâmetro
Seja a família F = {f(y; θ); θ ∈ Ω} de f.d.p.. Diz-se que ela é a família exponencial de
distribuições com parâmetro θ se
f(y; θ) = ρ(y)t(θ)e a(y)b(θ) IA(y) (1.1)
onde a(.), b(.), s(.) e t(.) são funções conhecidas e IA é o indicador do conjunto A e não pode
depender de θ. Outra forma com que se apresenta a família é:
f(y; θ) = exp[a(y)b(θ) + ln(s(y)) + ln(t(θ))]
e tomando-se, ln(s(y)) = d(y) e ln(t(θ)) = c(θ),tem-se
f(y; θ) = exp[a(y)b(θ) + d(y) + c(θ)] (1.2)
Além disso, transformações do tipo 1 − 1 de variáveis ou de parâmetros não afetam a
forma geral de f(y; θ). Então, desde que a(.),b(.) são funções monotônicas, podemos fazer:
Tem-se, então
θ ′ = b(θ)
φ
e a(y) = z, φ > 0 conhecido e fixo.
1

g(z; θ ′ ) = exp{zφθ ′ + d1(z) + c1(θ ′ , φ)} e como φ é fixo
= expφ[zθ ′ + d2(z, φ) + c2(θ ′ , φ)]
ou ainda, usando a notação de Cordeiro (1986), tem-se
f(y; θ) = exp{φ[yθ − b(θ) + c(y, φ)]} (1.3)
ou então, de acordo com a notação de McCullagh e Nelder, fazendo φ = 1
a(φ ′ )
[yθ − b(θ)]
f(y; θ) = exp
a(φ ′ ) + c(y, φ ′
)
2
(1.4)
Tem-se nesses dois últimos casos a família exponencial na forma canônica com parâmetro
canônico ou natural θ. Se há outros parâmetros além de θ, eles são olhados como parâmetros
”nuisance”e são tratados como se fossem conhecidos.
2 Média e variância da família exponencial
na forma (2) têm-se:
mas
b
a fx(x; θ)dx = 1
b
exp{a(x)bθ) + d(x) + c(θ)}dx = 1
a
derivando-se em relação a θ fica
fx(x; θ) = exp{a(x)b(θ) + d(x) + c(θ)}IA(x)
b
a exp{a(x)bθ) + d(x) + c(θ)}[a(x)b′ (x) + c ′ (θ)]dx = 0

′ (θ) a(x)exp{a(x)b(θ) + d(x) + c(θ)} dx + c
E(a(X))
′ (θ) = 0
∴ E a(X) = − c′ (θ)
b(θ)
2.1 Função geradora de momentos e função geradora de cumu-
mas
A
A
lantes
A f.g.m. para a família exponencial com um parâmetro é dada por
M(t; θ; φ) = E[e ty ] =
f(y; θ; φ)dy = 1
=
exp{φ[θ y − b(θ) + c(y, φ)]}dy = 1
t
exp φ
A φ
1
exp [φ b(θ)]
1
exp{φ[θ y + c(y, φ)]}dy = 1
exp [φ b(θ)] A
exp{φ[θ y + c(y, φ)]} = exp [φ b(θ)]
A
portanto
M(t; θ; φ) =
A
+ θ
exp
y − b(θ) + c(y, φ)
dy
t
φ + θ y + c(y, φ) dy
φ
1
exp [φ b(θ)] exp
t
φ b + θ
φ
3

t
M(t; θ; φ) = exp φ b + θ − b(θ)
φ
e a função geradora de cumulantes correspondentes é
de onde se obtém
ϕ ′
= φ b ′
t 1
+ θ φ
ϕ ′′ = b ′′
t
φ
1
+ θ
φ
ϕ ′′′ = b ′′′
t
+ θ
φ
. . .
ϕ (r) = b (r)
t
+ θ φ
φ 1−r
t
ϕ = ln M(t; θ; φ) = φ b + θ − b(θ)
φ
t
= b′
φ φ
t
= b′′ + θ φ
φ −1
φ −2
+ θ = b ′
t
φ
+ θ φ 0
e como já foi visto para t = 0, temos os cumulantes
k1 = b ′ (θ)
k2 = φ −1 b ′′ (θ)
. . .
kr = φ 1−r b (r) (θ)
Verifica-se, portanto, que existe uma relação de recorrência entre os cumulantes da família
exponencial. Isto é fundamental na obtenção dew propriedades assintóticas dos modelos lin-
eares generalizados.
Os momentos da família exponencial podem ser facilmente obtidos a partir dos cumu-
lantes (Kendall e Stuart, 1977-vol.1, cap.3).
4

2.1.1 Relação entre cumulantes e momentos em relação à origem
k1 = µ ′ 1
k2 = µ ′ 2 − (µ ′ 1) 2
k3 = µ ′ 3 − 3µ ′ 2µ ′ 1 + 2(µ ′ ) 3
k4 = µ ′ 4 − 4µ ′ 3µ ′ 1 − 3(µ ′ 2) 2 + 12µ ′ 2(µ ′ 1) 2 − 6(µ ′ 1) 4
2.1.2 Relação entre cumulantes e momentos em relação à média
k2 = µ2
k3 = µ3
k4 = µ4 − 3(µ2) 2
Portanto, a média a variância da família exponencial são dadas por
µ = E(y) = b ′ (θ)
σ 2 = var(y) = 1
φ b′′ (θ)
IMP ORT ANT E!!!!!
5

2.2 Suficiência na família exponencial
Seja x1, x2, . . . , xn uma a.a. de uma distribuição que tem seu f.d.p. na família exponencial.
A f.d.p. conjunta de x1, x2, . . . , xn é dada por:
fX(x; θ) =
n
f(xi; θ) =
i=1
= t(θ) n
n
{s(xi)t(θ)exp[a(xi)b(θ)]}
i=1
n
s(xi) exp b(θ)
i=1
= t(θ) n exp
Fazendo U = n
i=1 a(xi) , tem-se
e, então
e
b(θ)
n
a(xi)
i=1
n
n
a(xi) s(xi)
i=1
fX(x; θ) = t(θ) n exp [b(θ)U]
i=1
n
s(xi)
g(u, θ) = [t(θ)] n exp[b(θ)u] que depende dos xi’s através de u
h(x1, x2, . . . , xn) =
i=1
n
s(xi) que independe deθ
Portanto, U = a(Xi) é uma estatística suficiente para θ.
i=1
Isto mostra que, sob amostragem aleatória, se uma densidade pertence à família exponen-
cial de um parâmetro, então, existe uma estatística suficiente. De fato, pode ser mostrado
que a estatística suficiente assim obtida é minimal.
6

3 Caso de k-parâmetros
Numa família de distribuições F = {f(y; θ; θ ∈ r)} é dita para ser uma família exponencial
de k-parâmetros se
f(y; θ) = s(y) t(θ) e k
j=1 aj(y) bj(θ) IA(y) (3.1)
onde a(.), b(.), s(.) e t(.) são funções conhecidas e IA é o indicador do conjunto A e não
pode depender de θ. Deforma similar pode-se ter a forma
k
f(y; θ) = exp aj(y) bj(θ) + ln s(y) + ln t(θ)
j=1
k
= exp aj(y) bj(θ) + d(y) + c(θ)
j=1
e prova-se que A ′ = (A1, . . . , Ak) é uma estatística suficiente para θ ′ = (θ1, . . . , θk).
7
(3.2)
Seja X1, X2, . . . , Xn uma a.a. da distribuição que tem f.d.p. que pertence à família
exponencial com k parâmetros. A f.d.p. conjunta é dada por:
f(y; θ) =
e demonstra-se que A ′
n
= A1i, . . . ,
para θ ′ = (θ1, . . . , θk).
i=1
n
f(xi; θ)
i=1
n
Aki são estatísticas conjuntamente suficientes
i=1

Exercícios
Verifique se as distribuições que se seguem pertencem à família exponencial na forma
canônica dada pela expressão (3). E obtenha ϕY (t), M(t), E(Y ) e V ar(Y ).
1. Poisson: Y ∼ P (λ)
2. Exponencial: Y ∼ Exp(λ).
3. Binomial negativa.
4. Gama
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