famiexp

t
M(t; θ; φ) = exp φ b + θ − b(θ)
φ
e a função geradora de cumulantes correspondentes é
de onde se obtém
ϕ ′
= φ b ′
t 1
+ θ φ
ϕ ′′ = b ′′
t
φ
1
+ θ
φ
ϕ ′′′ = b ′′′
t
+ θ
φ
. . .
ϕ (r) = b (r)
t
+ θ φ
φ 1−r
t
ϕ = ln M(t; θ; φ) = φ b + θ − b(θ)
φ
t
= b′
φ φ
t
= b′′ + θ φ
φ −1
φ −2
+ θ = b ′
t
φ
+ θ φ 0
e como já foi visto para t = 0, temos os cumulantes
k1 = b ′ (θ)
k2 = φ −1 b ′′ (θ)
. . .
kr = φ 1−r b (r) (θ)
Verifica-se, portanto, que existe uma relação de recorrência entre os cumulantes da família
exponencial. Isto é fundamental na obtenção dew propriedades assintóticas dos modelos lin-
eares generalizados.
Os momentos da família exponencial podem ser facilmente obtidos a partir dos cumu-
lantes (Kendall e Stuart, 1977-vol.1, cap.3).
4