Teste qui-quadrado - Minerva.ufpel.tche.br

Testes de qui-quadrado (χ 2 )<br />

Aderência – classificação simples<br />

Independência – classificação dupla<br />

Problema 2<br />

Um experimento foi realizado com o objetivo de estudar a<br />

eficácia de um novo soro. Foram utilizadas duzentas cobaias<br />

doentes, das quais 100 receberam o soro e as outras 100 não<br />

receberam. Os resultados observados foram os seguintes:<br />

Tratamento Curados Não curados Totais<br />

Com soro 75 25 100<br />

Sem soro 65 35 100<br />

Totais 140 60 200<br />

A cura depende ou não do tratamento?<br />

1<br />


Problema 1<br />

De acordo com a hereditariedade mendeliana, as<br />

proporções fenotípicas resultantes de um cruzamento são:<br />

9/16, 3/16 e 4/16.<br />

Um pesquisador realizou cruzamentos entre animais de<br />

uma certa raça bovina com o objetivo de estudar o tipo de<br />

herança do caráter pelagem e obteve os seguintes<br />

resultados:<br />

Pelagem Vermelha Preta Branca Totais<br />

Número de animais 72 34 38 144<br />

Estes resultados estão de acordo com a teoria mendeliana?<br />

Testes de qui-quadrado<br />

qui quadrado (χ2 )<br />

Utilizados para testar hipóteses a respeito de frequências<br />

observadas nas classes de variáveis vari veis categóricas<br />

categ ricas (cor, forma,<br />

estado, opinião, etc.)<br />

As alternativas das variáveis são denominadas classes ou<br />

categorias<br />

Contagem dos indivíduos enquadrados nas classes da variável<br />

representam as frequências observadas<br />

variável vari vel categórica categ rica classes ou categorias<br />


Número de animais 72 34 38 144<br />

frequências observadas<br />



1

Testes de qui-quadrado<br />

qui quadrado (χ2 )<br />

As quantidades resultantes das proporções de uma teoria<br />

ou de proporções previamente fixadas são denominadas<br />

frequências esperadas<br />

Teoria mendeliana → proporções: 9/16, 3/16 e 4/16<br />


Frequência observada 72 34 38 144<br />

Frequência esperada<br />

81 27 36<br />

O teste consiste em comparar as frequências observadas<br />

com frequências esperadas para essas classes<br />

Hipótese Hip tese de concordância ou aderência: supõem que os dados<br />

observados concordam ou se ajustam a uma determinada teoria<br />

dada pelas frequências esperadas<br />


Exemplo: apenas uma variável categórica (Pelagem)<br />


Frequência observada (Oi) 72 34 38 144<br />

Frequência esperada (Ei)<br />

81 27 36 144<br />

Teoria mendeliana → proporções: 9/16, 3/16 e 4/16<br />

H0 : os dados concordam com determinada teoria<br />

HA : os dados não concordam com determinada teoria<br />



Classificação Classifica ão simples<br />

Objetivo: verificar se as frequências observadas concordam<br />

com uma determinada teoria.<br />

Para isso os indivíduos são classificados segundo uma única nica<br />

variável vari vel categórica<br />

categ rica (A) e dispostos em uma tabela junto<br />

com as frequências esperadas de acordo com a teoria.<br />

A A1 A2 ... Ak<br />

Frequência observada O1 O2 ... Ok<br />

Frequência esperada E1 E2 ... Ek<br />

Tabela de classificação classifica ão simples: uma variável categórica<br />

Estatística Estat stica do Teste<br />

Para verificar se as diferenças<br />

diferen as entre as frequências<br />

observadas e frequências esperadas são significativas,<br />

utilizamos o teste qui-quadrado, dado pela estatística Q que<br />

tem distribuição qui-quadrado com parâmetro ν:<br />

(O −E<br />

)<br />

k<br />


i i<br />

Q = ∑ ~ χ<br />

i= 1 E i<br />

2 (ν),<br />

onde:<br />

Oi é a frequência observada da classe i<br />

Ei é a frequência esperada da classe i<br />

k é o total de classes da variável<br />

ν=k =k-1 é o número de graus de liberdade<br />



2

Para decidir comparamos o valor da estatística Q (calculada)<br />

com o valor crítico (Tabela III do apêndice):<br />

Não temos motivos para rejeitar H0 se: q < valor crítico cr tico (q α )<br />

Rejeitamos H0 se: q > valor crítico cr tico (q α)<br />

Não rejeição rejei ão de H 0<br />

Problema 1 - Resolução<br />

Resolu ão<br />

Rejeição Rejei ão de<br />

H0 Um pesquisador realizou cruzamentos entre animais de<br />

uma certa espécie bovina com o objetivo de estudar o tipo<br />

de herança do caráter pelagem e obteve os seguintes<br />

resultados:<br />


Frequência observada (Oi) 72 34 38 144<br />

Frequência esperada (Ei)<br />


Estes resultados estão de acordo com a teoria mendeliana, com α=5% =5%?<br />

Passo 1: Estabelecer as hipóteses do teste:<br />

H0 : herança do caráter pelagem concorda com a teoria mendeliana<br />

HA : herança do caráter pelagem não concorda com a teoria mendeliana<br />



Restrições Restri ões ao uso do teste de qui-quadrado<br />

qui quadrado<br />

1. O teste é válido apenas para frequências absolutas<br />

2. Sempre que se trabalha com apenas um grau de<br />

liberdade, deve-se usar uma “correção de continuidade”<br />

Q =<br />

( O −E<br />

− 0,5)<br />

k<br />

i i<br />

∑<br />

i= 1 E i<br />

3. Nenhuma frequência esperada deve ser inferior a 5.<br />

Assim, quando há frequências esperadas menores que 5 é<br />

conveniente agrupá-las.<br />


Correção<br />

de Yates<br />

Passo 2: Determinar o número de graus de liberdade.<br />

ν = k-1 =3 – 1 = 2<br />

k (O i −E<br />

i)<br />

Passo 3: Calcular a estatística do teste: Q = ∑<br />

= E<br />




(72 − 81) (34 − 27) (38 − 36)<br />

q = + +<br />

81 27 36<br />

q = 1+<br />

1,8148 + 0,1111 = 2,9259<br />

Não há h necessidade de usar<br />

a “corre correção ão de continuidade”<br />

continuidade<br />

i 1 i<br />


Freqüência observada (Oi) 72 34 38 144<br />

Freqüência esperada (Ei)<br />





3

Passo 4: Determinar o valor crítico e decidir sobre H0. α = 0,05<br />

ν = 2<br />

q c = 2,9259<br />

Decisão: Não rejeitamos H 0 .<br />

Passo 5: Redigir a conclusão.<br />

Concluímos, ao nível de 5% de significância, que a herança<br />

do caráter pelagem concorda com a teoria mendeliana.<br />


Com soro 75 (70) 25 (30) 100<br />

Sem soro 65 (70) 35 (30) 100<br />


Hipótese Hip tese de independência: supõem que as variáveis A e B<br />

independem entre si<br />

0,95<br />

H0 : a variável A independe da variável B<br />

H A<br />

: a variável A depende da variável B<br />


Exemplo: duas variáveis categóricas (Cura e Tratamento)<br />

Como calcular as frequências esperadas?<br />

G<br />



TC<br />

× TL<br />

Eij<br />

=<br />

T<br />

E 11<br />

140×<br />





Classificação Classifica ão Dupla<br />

Objetivo: Objetivo verificar se duas variáveis vari veis categóricas<br />

categ ricas (A e B)<br />

inerentes a um mesmo indivíduo são independentes entre si.<br />

Para isso os indivíduos são classificados segundo essas duas<br />

variáveis e dispostos numa tabela junto com as frequências<br />

que seriam esperadas no caso de independência.<br />

A<br />

B<br />

B1 B2 … Bs<br />

Totais<br />

A1 O11 (E11) O12 (E12) … O1s(E1s) O1+<br />

A2 O21 (E21) O22 (E22) … O2s(E2s) O2+<br />

… … … … … …<br />

Ar Or1 (Er1) Or2 (Er2) … Ors(Ers) Or+<br />

Totais O+1 O+2 … O+s O++<br />

O ij é a frequência observada da linha i e coluna j;<br />

E ij é a frequência esperada da linha i e coluna j.<br />

Tabela de classificação classifica ão dupla ou contingência: duas variáveis<br />

Estatística Estat stica do Teste<br />

Para verificar se as diferenças diferen as entre as frequências<br />

observadas e frequências esperadas são significativas,<br />

utilizamos a estatística Q, que tem distribuição qui-quadrado<br />

com parâmetro ν:<br />

∑ −<br />

r, s (O ij E<br />


E<br />


Q<br />

ij<br />

~ χ<br />

i, j<br />

ij<br />

2 (ν),<br />

onde:<br />

Oij ij é a frequência observada da linha i e coluna j<br />

Eij ij é a frequência esperada da linha i e coluna j<br />

r é o número total de linhas (classes da variável A)<br />

s é o número total de colunas (classes da variável B)<br />

ν=(r =(r-1) 1)×(s (s-1) 1) é o número de graus de liberdade<br />

)<br />



4

Para decidir comparamos o valor da estatística Q (calculada)<br />

com o valor crítico (Tabela III do apêndice):<br />

Não temos motivos para rejeitar H 0 se: q q < valor valor crítico crítico cr tico (q α )<br />

Rejeitamos H 0 se: q q > valor valor crítico crítico cr tico (q α)<br />

Não rejeição rejei ão de H 0<br />

Passo 3: Calcular a estatística do teste:<br />

Rejeição Rejei ão de<br />

H0 Passo 2: Determinar o número de graus de liberdade.<br />

ν =(r-1)×(s-1) =1 × 1 = 1<br />





( 75 − 70 - 0,5) ( 25 − 30 - 0,5) ( 65 − 70 - 0,5) ( 35 − 30 - 0,5)<br />

q =<br />

+<br />







q = 0,2893 + 0,675 + 0,2893 + 0,675 = 1,9286<br />

Há necessidade de usar a<br />

“correção de continuidade”<br />

∑<br />





Q<br />


( O −E<br />

− 0,5)<br />

ij ij<br />


i, j E ij<br />



Problema 2 - Resolução<br />

Resolu ão<br />

Um experimento foi realizado com o objetivo de estudar a<br />

eficácia de um novo soro. Foram utilizadas duzentas cobaias<br />

doentes, das quais 100 receberam o soro e as outras 100 não<br />

receberam. Os resultados observados foram os seguintes:<br />





A cura depende ou não do tratamento, com α=1% =1%?<br />

Passo 1: Estabelecer as hipóteses do teste:<br />

H0 : a Cura independe do Tratamento<br />

HA : a Cura depende do Tratamento<br />

Passo 4: Determinar o valor crítico e decidir sobre H0. α = 0,01<br />

ν = 1<br />

q c = 1,9296<br />

Decisão: Não rejeitamos H 0 .<br />

Passo 5: Redigir a conclusão.<br />


Concluímos, ao nível de 1% de significância, que a cura<br />

independe do tratamento.<br />





5

Teste qui-quadrado - Minerva.ufpel.tche.br

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?