Lista Transformações Lineares - Minerva.ufpel.tche.br ...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS<br />
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA<br />
ALGA- PROF LISANDRA SAUER<br />
Lista sobre Transformações Lineares<br />
1- Veri…que se as transformações abaixo são lineares:<br />
a) T : R 3 ! R 3 ; T (x; y; z) = (x; 2 y ; 2 z )<br />
b) T : R 3 ! R 3 ; T (x; y; z) = (3x; a; 5z); onde a 2 R é …xo.<br />
c) T : R 4 ! R 3 ; T (x; y; z; w) = (x w; y w; x + z)<br />
d) T : R 3 ! R; T (x; y; z) = 2x 3y + 4z<br />
e) I : R 3 ! R 3 ; T (x; y; z) = (x; y; z) ( Esta transformação é chamada de<br />
identidade)<br />
2- Seja T : R 3 ! R 3 o operador linear assim de…nido na base canônica:<br />
T (1; 0; 0) = (2; 3; 1); T (0; 1; 0) = (5; 2; 7) e T (0; 0; 1) = ( 2; 0; 7): Determinar<br />
T (x; y; z) onde (x; y; z) é um vetor genérico do R 3 :<br />
3- Seja T o operador linear do R 2 tal que T (1; 0) = (2; 1) e T (0; 1) = (1; 4):<br />
a) Determinar T (2; 4)<br />
b) Determinar (x; y) 2 R 2 tal que T (x; y) = (2; 3)<br />
4- Sabendo que por uma transformação linear T : R 3 ! R 2 tem-se<br />
T (1; 0; 0) = (2; 3); T (0; 1; 0) = (4; 5) e T (0; 0; 1) = (1; 0) calcule T (5; 6; 7):<br />
5- Determinar o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares<br />
a) T : R 3 ! R dada por T (x; y; z) = x + y z<br />
b)T : R 2 ! R 2 dada por T (x; y) = (2x; x + y)<br />
c) T : R3 ! R2 dada por T (x; y; z) = (x + 2y z; 2x y + z)<br />
d)T : M2(R) ! R2 dada por T<br />
x<br />
z<br />
y<br />
t<br />
= (x y; x + y)<br />
6- Mostrar que cada um dos operadores lineares do R3 a seguir é invertível<br />
e determinar o isomor…smo inverso.<br />
a) T (x; y; z) = (x 3y 2z; y 4z; z)<br />
b)T (x; y; z) = (x; x y; 2x + y z)<br />
7-Encontre a matriz na base canônica da transformação linear T de…nida<br />
pela fórmula abaixo:<br />
a) T (x; y) = (2x<br />
b) T (x; y) = (x; y)<br />
y; x + y)<br />
c) T (x; y; z) = (x + 2y + z; x + 5y; z)<br />
d) T (x; y; z) = (z; x + y)<br />
1

8-Em cada parte é dada a matriz canônica [T ] de umatransformação linear<br />
T . Use a matriz para obter a lei de formação da transformação linear e a<br />
imagem do vetor v pedido:<br />
1 2<br />
a) [T ] = ; v = (3;<br />
2<br />
3 4<br />
3<br />
2 1 4<br />
2)<br />
b) [T ] = 4 3 5 7 5 ; v = (3; 5; 0)<br />
6 0 1<br />
9- Achar a matriz mudança da base<br />
B = f(1; 1; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 3)g<br />
para a base canônica do R3 10- A matriz mudança de base do R2 para a base f(1; 1); (0; 2)g desse<br />
1 0<br />
mesmo espaço é : Determinar a base B:<br />
2 3<br />
2