Distribuição de Freqüências - Unifra
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Centro Universitário Franciscano<br />
Material elaborado por: Professora Leandra Anversa Fioreze e Professor Clandio Timm<br />
Marques.<br />
<strong>Distribuição</strong> <strong>de</strong> <strong>Freqüências</strong><br />
Por constituir-se o tipo <strong>de</strong> tabela importante para a Estatística Descritiva, faremos um<br />
estudo completo da distribuição <strong>de</strong> freqüências.<br />
Uma distribuição <strong>de</strong> freqüências con<strong>de</strong>nsa um gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> dados numa tabela, <strong>de</strong><br />
modo que 100, 200, 500 ou um número qualquer <strong>de</strong> valores po<strong>de</strong> ser representado em poucas<br />
linhas. É uma série estatística específica em que os dados encontram-se dispostos em classes<br />
ou categorias juntamente com suas freqüências correspon<strong>de</strong>ntes.<br />
Po<strong>de</strong>mos dividir as distribuições <strong>de</strong> freqüências em dois tipos:<br />
Tipo A ou Tipo I<br />
Usada para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas com poucos valores<br />
diferentes. As observações são representadas em uma tabela <strong>de</strong> freqüências, não agrupadas<br />
em classes.<br />
Exemplos: número <strong>de</strong> aci<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> trabalho na Empresa X; quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> livros <strong>de</strong> estatística<br />
na biblioteca da UNIFRA.<br />
Eis um exemplo <strong>de</strong> distribuição <strong>de</strong> freqüências para variável discreta (tipo A):<br />
Tabela 1 - Número <strong>de</strong> aci<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> trabalho em pequenas<br />
empresas da cida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Porto Alegre - 2008<br />
Número <strong>de</strong> Aci<strong>de</strong>ntes<br />
(Xi)<br />
Número <strong>de</strong> Empresas<br />
(fi)<br />
0 35<br />
1 20<br />
2 13<br />
3 6<br />
4 4<br />
5 ou mais 2<br />
Total 80<br />
Xi = i<strong>de</strong>ntifica as categorias em que o fato se subdivi<strong>de</strong>.<br />
fi = correspon<strong>de</strong> a freqüência absoluta, isto é, o número <strong>de</strong> vezes que cada uma das categorias<br />
ocorre.<br />
N = soma dos fi = total <strong>de</strong> elementos observados na população.<br />
n = soma dos fi = total <strong>de</strong> elementos observados na amostra.<br />
Tipo B ou Tipo II<br />
Usada para variáveis quantitativas contínuas ou discretas com muitos valores<br />
diferentes, sendo as variáveis observadas representadas sob a forma <strong>de</strong> intervalos.<br />
Geralmente esta variável provém <strong>de</strong> medições.<br />
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Centro Universitário Franciscano<br />
Material elaborado por: Professora Leandra Anversa Fioreze e Professor Clandio Timm<br />
Marques.<br />
Exemplos: peso dos alunos <strong>de</strong> uma cla se; tempo <strong>de</strong> duração <strong>de</strong> um transistor; nota <strong>de</strong><br />
aproveitamento dos alunos.<br />
Eis um exemplo <strong>de</strong> distribuição <strong>de</strong> freqüências para variável contínua (Tipo B)<br />
X = Notas finais <strong>de</strong> 50 estudantes da disciplina <strong>de</strong> estatística<br />
22 46 9 40 57 22 22 13 50 42<br />
35 2 15 41 34 52 32 75 69 44<br />
26 42 60 56 30 3 17 79 45 37<br />
0 12 62 50 45 41 59 11 66 39<br />
43 33 70 50 47 20 36 40 67 29<br />
Então a distribuição <strong>de</strong> freqüência será expressa pela tabela:<br />
Tabela 2 – Notas finais dos estudantes<br />
da disciplina <strong>de</strong> Estatística – 2009/1<br />
On<strong>de</strong> fi é a freqüência absoluta das classes.<br />
Notas fi<br />
0 10 4<br />
10 20 5<br />
20 30 6<br />
30 40 8<br />
40 50 12<br />
50 60 7<br />
60 70 5<br />
70 80 3<br />
Total 50<br />
1. Dados Brutos<br />
São os dados originais conforme eles foram coletados, não estando, portanto,<br />
numericamente organizados ou tabelados. Como exemplo tem-se as 50 notas dos alunos.<br />
2. Rol<br />
É uma lista, on<strong>de</strong> os valores são dispostos em or<strong>de</strong>m crescente ou <strong>de</strong>crescente.<br />
No exemplo das notas, o rol é:<br />
0<br />
22<br />
36<br />
44<br />
57<br />
2<br />
22<br />
37<br />
45<br />
59<br />
3<br />
22<br />
39<br />
45<br />
60<br />
9<br />
26<br />
40<br />
46<br />
62<br />
11<br />
29<br />
40<br />
47<br />
66<br />
3. Amplitu<strong>de</strong> Total (H)<br />
É a diferença entre o maior valor e o menor valor observado da variável em estudo.<br />
12<br />
30<br />
41<br />
50<br />
67<br />
13<br />
32<br />
41<br />
50<br />
69<br />
15<br />
33<br />
42<br />
50<br />
70<br />
17<br />
34<br />
42<br />
52<br />
75<br />
20<br />
35<br />
43<br />
56<br />
79<br />
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H = Xmáx - Xmín<br />
No nosso caso, a nota maior é 79 é a menor é 0; logo, nossa amplitu<strong>de</strong> total é<br />
H = 79 - 0 = 79.<br />
Cumpre observar que, quando não dispusermos dos dados, o cálculo da amplitu<strong>de</strong> se fará<br />
levando-se em consi<strong>de</strong>ração a diferença entre o limite superior da última classe e o limite<br />
inferior da primeira classe.<br />
4. Limites <strong>de</strong> Classe: São os números extremos <strong>de</strong> cada intervalo: sendo assim, temos um<br />
limite inferior e um superior. Se a primeira classe tiver um intervalo <strong>de</strong> notas <strong>de</strong> 0 até 10, o 0<br />
será o limite inferior enquanto que o 10 será o limite superior <strong>de</strong>sta classe.<br />
5. Classe: É cada um dos intervalos em que os dados são agrupados.<br />
Existem várias maneiras <strong>de</strong> apresentarmos o intervalo <strong>de</strong> classes: iguais ou diferentes<br />
entre si. Porém, sempre que possível, <strong>de</strong>veremos optar por intervalos iguais, o que facilitará os<br />
cálculos posteriores. Mas mesmo com intervalos iguais, as distribuições po<strong>de</strong>rão apresentar-se<br />
da seguinte forma:<br />
0 —10: compreen<strong>de</strong> todos os valores entre 0 e 10, exclusive os extremos.<br />
0 10: compreen<strong>de</strong> todos os valores entre 0 e 10, inclusive os extremos.<br />
0 10: compreen<strong>de</strong> todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 10 e exclusive o 0.<br />
0 10: compreen<strong>de</strong> todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 0 e exclusive o 10.<br />
Como optaremos por este último tipo (0 10), po<strong>de</strong>remos <strong>de</strong>finir como intervalo <strong>de</strong><br />
classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Portanto, no exemplo, 10 –<br />
0 = 10 é o intervalo ou amplitu<strong>de</strong> da classe que será representado pela letra h.<br />
6. Ponto médio das classes (Xi): É a média aritmética entre o limite superior e o limite<br />
0 + 10<br />
inferior da classe. Assim, se a classe for 0 10, teremos = 5, que será o ponto médio da<br />
2<br />
classe.<br />
7. Número <strong>de</strong> Classes<br />
Quantas classes serão necessárias para representar o fato? Existem vários critérios<br />
que po<strong>de</strong>m ser utilizados a fim <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar o número <strong>de</strong> classes, porém tais critérios<br />
servirão apenas como indicação e nunca como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador<br />
estabelecer o melhor número, levando-se em conta o intervalo <strong>de</strong> classe e a facilida<strong>de</strong> para os<br />
posteriores cálculos numéricos.<br />
Neste estudo, <strong>de</strong>stacaremos a Fórmula <strong>de</strong> Sturges, que estabelece que o número <strong>de</strong><br />
classes K é calculado por:<br />
No nosso exemplo, teríamos:<br />
K = 1 + 3,3 log n on<strong>de</strong> n = número <strong>de</strong> elementos observados.<br />
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K = 1 + 3,3 log n K = 1 + 3,3 log 50 K = 1 + 3,3(1,69897) K = 1 + 5,6 = 6,6 ou<br />
arredondando: 7 classes.<br />
8. Amplitu<strong>de</strong> das Classes (h)<br />
h = H k<br />
No exemplo anterior, a amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> cada classe será:<br />
amplitu<strong>de</strong> total 79<br />
h = 11,<br />
29 12<br />
número <strong>de</strong> classes 7<br />
Obs. 1: Na amplitu<strong>de</strong> das classes (h), observe que aumentamos uma unida<strong>de</strong>, não seguindo,<br />
portanto, as regras <strong>de</strong> arredondamento. Esta é uma regra que <strong>de</strong>ve ser sempre seguida no<br />
cálculo da amplitu<strong>de</strong> da classe. Você saberia me dizer por quê?<br />
Obs. 2: Deve-se conservar o número <strong>de</strong> casas <strong>de</strong>cimais dos dados observados. Por exemplo, se<br />
os dados se referem à massa <strong>de</strong> indivíduos em kg e forem expressos com uma casa após a<br />
vírgula (por exemplo, 60,5 kg), então a amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>verá ter uma casa após a vírgula.<br />
Obs. 3: Usando o bom-senso e a experiência, po<strong>de</strong>rá ser conveniente , quando possível, a<br />
utilização da amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> um intervalo <strong>de</strong> classe igual a 10 ou 5, facilitando as operações<br />
posteriores.<br />
9. Freqüência acumulada (Fi): Correspon<strong>de</strong> à soma das freqüências <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminada classe<br />
com as anteriores. No exemplo, a freqüência acumulada da 4 a classe será:<br />
f1 + f2 + f3 + f4 = 4 + 5 + 6 + 8 = 23.<br />
10. Freqüência relativa (fri): Correspon<strong>de</strong> ao quociente entre a freqüência absoluta da classe<br />
e o total <strong>de</strong> elementos.<br />
No exemplo, a freqüência relativa da 7 a classe é:<br />
EXERCÍCIOS<br />
f r 7<br />
f<br />
n<br />
7<br />
01. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unida<strong>de</strong>s. O controle <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> selecionou<br />
48 caixas na linha <strong>de</strong> produção e anotou em cada caixa o número <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas. Obteve<br />
os seguintes dados:<br />
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0<br />
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0<br />
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1<br />
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0<br />
5<br />
50<br />
0,<br />
1<br />
0 0 0 0 0 0 1 0<br />
Agrupe, por freqüência estes dados.<br />
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02. Abaixo temos o quadro que compõe os dados brutos.<br />
Responda:<br />
a) Quantas indústrias foram investigadas?<br />
b) Qual a menor tempo <strong>de</strong> produção registrado?<br />
c) Qual a maior tempo <strong>de</strong> produção registrado?<br />
d) Qual o tempo <strong>de</strong> produção diária que <strong>de</strong>têm o maior numero <strong>de</strong> indústrias?<br />
e) I<strong>de</strong>ntifique:<br />
X2 = f5 = Σ fi = X8 = n = f7 =<br />
03. Consi<strong>de</strong>re as notas <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> inteligência aplicado a alunos <strong>de</strong> um estabelecimento <strong>de</strong><br />
ensino:<br />
Construa a distribuição <strong>de</strong> freqüências com intervalo <strong>de</strong> classes e responda:<br />
a) Quantos alunos participaram do teste?<br />
b) Qual a menor nota registrada?<br />
c) Qual é o numero <strong>de</strong> classes?<br />
d) Qual é a terceira classe?<br />
e) Qual é a amplitu<strong>de</strong> total da amostra?<br />
f) Qual é a amplitu<strong>de</strong> total da distribuição?<br />
g) Qual é o limite superior da quarta classe?<br />
h) Qual é o limite inferior da sétima classe?<br />
i) Qual é a amplitu<strong>de</strong> da quinta classe?<br />
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04. Complete a tabela <strong>de</strong> acordo com os cabeçalhos das colunas.<br />
QUESTÃO DE UMA PROVA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM AUDITORIA FISCAL.<br />
05. Uma empresa procurou estudar a ocorrência <strong>de</strong> aci<strong>de</strong>ntes com seus empregados e realizou<br />
um levantamento por um período <strong>de</strong> 36 meses. As informações apuradas estão na tabela a<br />
seguir:<br />
A porcentagem <strong>de</strong> meses em que houve menos <strong>de</strong> 5 empregados aci<strong>de</strong>ntados é:<br />
a) 50% b) 45% c) 35% d) 33% e) 30%<br />
06. Antes <strong>de</strong> enviar um lote <strong>de</strong> aparelhos elétricos para venda, o Departamento <strong>de</strong> Inspeção da<br />
empresa produtora selecionou uma amostra casual <strong>de</strong> 32 aparelhos avaliando o <strong>de</strong>sempenho<br />
através <strong>de</strong> uma medida especifica, obtendo os seguintes resultados:<br />
Construa uma tabela <strong>de</strong> freqüências.<br />
07. Os dados a seguir são <strong>de</strong> peso (kg) <strong>de</strong> 80 mulheres. Apresente-os em uma tabela.<br />
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Fonte: Osborn JF. Statistical Exercises in Medical Research. John Wiley & Sons Inc.,<br />
1979. (adaptado)<br />
8. Os dados abaixo são <strong>de</strong> um estudo <strong>de</strong> prevalência <strong>de</strong> doença cardíaca e investigação <strong>de</strong><br />
fatores <strong>de</strong> risco associados <strong>de</strong> funcionários que trabalham na Bolsa <strong>de</strong> Valores. Calcular os<br />
valores relativos (percentuais).<br />
9. Uma auditoria em uma gran<strong>de</strong> empresa observou o valor <strong>de</strong> 50 notas fiscais emitidas durante<br />
um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dólares:<br />
Agrupe, por freqüência simples (ou absoluta) e percentual estes dados e monte uma tabela.<br />
_____________________________________________________________________________________<br />
11. Gráficos especiais <strong>de</strong> uma distribuição <strong>de</strong> freqüência do tipo B:<br />
Histograma: É a representação gráfica <strong>de</strong> uma distribuição <strong>de</strong> freqüência por meio <strong>de</strong><br />
retângulos justapostos, cujas alturas são proporcionais às freqüências absolutas e cujas bases<br />
correspon<strong>de</strong>m ao intervalo <strong>de</strong> classe da distribuição.<br />
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fi<br />
6 -<br />
5 -<br />
4-<br />
3 -<br />
2 -<br />
1 -<br />
0 2 4 6 8 10 12 x<br />
Polígono <strong>de</strong> <strong>Freqüências</strong>: É um gráfico em linhas formado por <strong>de</strong> segmentos <strong>de</strong> retas; os<br />
pontos extremos dos segmentos correspon<strong>de</strong>m ao par or<strong>de</strong>nado formado pelo ponto médio <strong>de</strong><br />
cada classe da distribuição (eixo x) e pela freqüência absoluta (eixo y).<br />
fi<br />
6 -<br />
5 -<br />
4-<br />
3 -<br />
2 -<br />
1 -<br />
0 1 3 5 7 9 11 13 x<br />
Ogiva: É um gráfico em linhas formado por <strong>de</strong> segmentos <strong>de</strong> retas; os pontos extremos dos<br />
segmentos correspon<strong>de</strong>m ao par or<strong>de</strong>nado formado pelo limite inferior <strong>de</strong> cada classe (eixo x)<br />
e pela freqüência acumulada (eixo y).<br />
Fi<br />
25-<br />
20-<br />
15-<br />
10-<br />
5-<br />
0 2 4 6 8 10 12 x<br />
20