Projeto Numeratizar - Ensino Fundamental Lista 2 - Divisibilidade

Projeto Numeratizar - Ensino Fundamental
Lista 2 - Divisibilidade
1 Introdução
21 de maio de 2004
Após o sufoco e as esquisitices da lista passada, estamos aqui novamente, para
mais uma lista do nosso Projeto Numeratizar. Esta lista aborda principalmente
as relações de divisibilidade entre os números: múltiplos, divisores, critérios
de divisibilidade, fatoração, MDC e MMC. Lembro a vocês mais uma vez: os
exercícios são a melhor forma de se aprender! E se vocês tiverem qualquer
dúvida, façam o seu tutor trabalhar, perguntando a ele várias coisas. Ao trabalho!
2 Múltiplos e Divisores
Seja N o conjunto dos números naturais:
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
Denomina - se múltiplo de um número o produto desse número por qualquer
um dos elementos de N ou zero. Como exemplo, vamos construir o conjunto dos
múltiplos de 5, que iremos simbolicamente indicar por M(5):
M(5) = {5 × 0, 5 × 1, 5 × 2, 5 × 3, . . .} = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
Podemos então concluir que o conjunto dos múltiplos de um número é infinito,
que o zero é o múltiplo de todos os números e que todo número é múltiplo de
si mesmo.
Vamos agora pensar o contrário, vamos achar os divisores de um número natural.
Um número natural a é dito ser divisor de um número b se a divisão de b
por a for exata. O conjunto de divisores de um número natural n será denotado
por D(n). Teremos, por exemplo:
D(5) = {1, 5}, D(27) = {1, 3, 9, 27}, D(15) = {1, 3, 5, 15}
Podemos então facilmente concluir que o conjunto dos divisores de um número
é finito (pois todos os seus divisores são menores ou iguais a ele), que o número
1 é o divisor de todos os números e que todo número é divisor de si mesmo.
1

Observação: Zero não é divisor de ninguém! Se algum dia eu pegar alguém
dividindo por zero vou cortar a cabeça em 1.000.000 de pedacinhos...
Exercício 1
Determinar os 5 primeiros múltiplos de:
(a)6 (b)8 (c)25 (d)515
Exercício 2
Determinar os divisores de:
(a)50 (b)66 (c)98
Exercício 3
Determine os 3 primeiros múltiplos comuns de:
(a)2 e 3 (b) 4 e 5 (c) 9 e 12
Exercício 4
Determine todos os divisores comuns de:
(a) 24 e 16 (b)36 e 42 (c)60 e 80
Exercício 5 (resolvido)
Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 largam juntos num determinado circuito
e completam, respectivamente, cada volta em 72 e 75 segundos, pergunta - se:
depois de quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da largada, ele estará
uma volta na frente do outro? Justifique sua resposta.
Sol: O piloto mais veloz fica 3s à frente do piloto mais lento quando completa
cada uma de suas voltas. Ele ficará uma volta inteira na frente quando
levar uma vantagem de 75s (tempo que o piloto mais lento leva para completar
uma de suas voltas). Portanto, ao final de 75
= 25 se suas voltas o piloto mais
3
veloz estará uma volta à frente do piloto mais lento.
Exercício 6
O senhor Silva comprou um aparelho de televisão cujos canais variam de 2 a
42. Se ele está em algum canal e aperta o botão dos canais uma vez, vai para o
canal imediatamente superior. Se está no canal 42 e aperta o botão dos canais
uma vez, vai para o canal 2. Se o Sr. Silva está assistindo ao canal 15 e aperta
o botão dos canais 394 vezes, em que canal vai parar?
Exercício 7
Paladino criou uma seqüência de inteiros positivos segundo três regras. Começando
com um inteiro positivo, ele aplica ao resultado a regra apropriada, dentre as
abaixo relacionadas, e continua sempre desta forma.
Regra 1 : Se o inteiro for menor do que 10, multiplica-o por 9.
Regra 2 : Se o inteiro for par e maior do que 9, divide-o por 2.
Regra 3 : Se o inteiro for ímpar e maior do que 9, dele subtrai 5.
Um exemplo de uma tal seqüência é 23, 18, 9, 81, 76, ...
Qual é o centésimo termo da seqüência que começa com 98, 49, ...?
2

3 Critérios de Divisibilidade
Como vimos acima, um número b é divisível por um número a quando a divisão
de b por a for exata, ou seja, com resto zero. Podemos dizer também que: a
é divisor de b, ou que b é múltiplo de a. Nesta seção, vamos conhecer critérios
especiais que nos permitem decidir quando um número é divisível por outro.
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando o último algarismo da direita for par, ou
seja, quando o número dado terminar em: 0, 2, 4, 6, 8. Por exemplo, 608 e 5436
são divisíveis por 2, pois o último dígito da direita é um número par.
DIVISIBILIDADE POR 3
Para um número ser divisível por 3, basta que a soma de seus algarismos seja
um número divisível por 3. Por exemplo, 249 é divisível por 3, pois 2+4+9 = 15
é divisível por 3. Outro exemplo seria 100012011 que também é divisível por 3
pois a soma de seus algarisnmos é 6.
DIVISIBILIDADE POR 4
Para um número ser divisível por 4 basta que os dois últimos dígitos (da direita)
do número formem um número múltiplo de 4. Por exemplo, 134564 é divisível
por 4, pois 64 é divisível por 4. Também 5423672 é divisível por 4, pois 72 é
divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 5
Para um número ser divisível por 5, o último algarismo da direita deve ser 0
ou 5. Por exemplo, 75 é divisível por 5 pois o último algarismo da direita é 5.
Também 151050 é divisível por 5, pois acaba em 0
DIVISIBILIDADE POR 6
Para um número ser divisível por 6 basta que ele seja divisível por 2 e 3, simultaneamente.
Por exemplo, 8460 é divisível por 2 e também é divisível por 3,
logo será divisível por 6.
DIVISIBILIDADE POR 7
Existem critérios de divisibilidade por 7, mas são muito complicados. Se você
quiser saber se um número é ou não divisível por 7, o melhor a fazer é efetuar
a divisão. Confiem!
DIVISIBILIDADE POR 8
Para um número ser divisível por 8 basta que seus três últimos algarismos da
direita formem um número divisível por 8. Por exemplo, 17320 é divisível por
8, pois 320 é divisível por 8. Também 134000 é divisível por 8, já que 000 é
divisível por 8. Lembrem-se: Zero é múltiplo (ou seja divisível por) de qualquer
número.
DIVISIBILIDADE POR 9
Para que um número seja divisível por 9, basta que a soma dos seus algarismos
seja divisível por 9. Por exemplo, 8532 é divisível por 9, pois 8 + 5 + 3 + 2 = 18
é divisível por 9.
3

DIVISIBILIDADE POR 10
Para que um número seja divisível por 10 basta que o último algarismo da direita
seja 0. Por exemplo, 270 é divisível por 10.
DIVISIBILIDADE POR 11
Para descobrir se um número é divisível por 11, você vai intercalar os sinais de
+ e − entre os algarismos e calcular a expressão resultante. Se este resultado
for múltiplo de 11, o número inicial também vai ser. Por exemplo, 12122 é
divisível por 11, pois 1 − 2 + 1 − 2 + 2 = 0. e como foi visto, zero é divisível por
qualquer número, logo é também divisível por 11. Outro exemplo seria 1902
que é divisível por 11, pois 1 − 9 + 0 − 2 = −11 é divisível por 11. Veja que a
resultante também pode ser negativa.
Vamos agora aos exercícios desta seção!!
Exercício 8 (resolvido)
Determinar os algarismos x e y de modo que o número 67xy seja divisível por
5 e por 11.
Sol: Para que esse número seja divisível por 5 basta que y seja 0 ou 5.
1o casoy = 0.
Assim nosso número será 67x0, agora usando o critério de divisibilidade por
11, temos que 6 − 7 + x − 0 = x − 1 precisa ser divisível por 11, assim o único
valor que x poderá assumir será 1. Lembre-se que x é apenas um algarismo.
2o caso y = 5.
Assim nosso número será 67x5, agora usando o critério de divisibilidade por
11, temos que 6 − 7 + x − 5 = x − 6 precisa ser divisível por 11, assim o único
valor que x poderá assumir será 6.
Assim os números procurados são 6710 e 6765.
Agora tente sozinho!!
Exercício 9
Aplique os critérios de divisibilidade para os seguintes números:
(a)3018
(b)1020
(c)2346
Exercício 10
Determinar os algarismos x e y de modo que o número 8x5y seja divisível por
5 e por 11.
Exercício 11
Determinar os algarismos x e y de modo que o número 34xx58y seja divisível
por 9 e por 11.
Exercício 12
Determinar os algarismos x e y de modo que o número 56x21y seja divisível por
4

9 e por 10.
Exercício 13
Achar os valores de x e y quando o número 36xy é divisível por 5 e por 7.
Exercício 14
Determinar os algarismos x e y de modo que o número 3452xy seja divisível por
2 e por 5, mas não por 3, sabendo que x está compreendido entre 4 e 8.
4 Números Primos e Fatoração
Um número chamado primo quando ele possui apenas dois divisores distintos:
o 1 e ele mesmo. Assim, são primos 2, 3, 5, 7,. . . . Os números que possuem
mais que dois divisores positivos são chamados compostos. O número 1 não é
primo nem composto.
Para descobrir se um número é primo existe um processo prático.
PROCESSO PR ÁTICO:
Divide - se o número dado pela sucessão dos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, . . . . Caso se obtenha o quociente menor ou igual ao divisor antes de se
obter nessas divisões o resto nulo, diz - se que o número dado é PRIMO.
Vamos verificar se o número 113 é primo ou não.
Apliquemos a regra prática:
deixa quociente 56 e resto 1
113
2
113
3
113
5
113
7
113
11
deixa quociente 37 e resto 2
deixa quociente 22 e resto 3
deixa quociente 16 e resto 1
deixa quociente 10 e resto 3
Acima, obtivemos quociente menor que o divisor antes de obter resto nulo.
Logo, 113 é um número primo.
Exercício 15
Escreva todos os números primos menores que 100.
Exercício 16
Dentre os números abaixo, quais são primos?
(a)126
(b)599
(c)468
(d)887
Definição 4.1. Se dois números admitirem somente o número 1 como divisor
comum, diz - se que os números dados são primos entre si.
5

Por exemplo, os números 7 e 27 são primos entre sí, pois:
D(7) = {1, 7} e D(27) = {1, 3, 9, 27}
Todo número possui um decomposição em fatores primos. Por exemplo, o
número 30 pode ser escrito como 30 = 2 × 3 × 5 e o número 72 = 2 3 × 3 2 .
Existe um dispositivo prático, vamos vê - lo?!
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
De uma maneira um pouco mais geral todo número natural n pode ser decomposto
em fatores primos:
n = p α1
1 .pα2
2 ...pαk
k
Pedido aos tutores: Expliquem bem direitinho o processo da fatoração em
primos, fazendo alguns exemplos!
Exercício 17
Decomponha em fatores primos os números 98, 76, 128, 343, 1000 e 360.
Podemos de forma rápida e prática determinar a quantidade de divisores de
um número. Mas como devemos proceder?? Primeiramente, decompomos em
fatores primos o número dado, após isso, tomamos os expoentes de cada um
dos fatores primos (escritos uma única vez), a cada um dos mesmos adicionados
uma unidade, e em seguida multiplicamos os números assim obtidos, o resultado
desta operação será a quantidade de divisores do número dado.
Que linguagem mais esquisita professor! Explique com exemplos!
Ok!! Aí vai um exemplo.
Vamos então descobrir o número de divisores do número 120. Primeiro obtemos
a sua decomposição de fatores primos, que é 120 = 2 3 × 3 × 5. A quantidade de
divisores será Qd(120) = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 16.
A regra acima é conhecida como Lei do Expoente.
Exercício 18
Quantos divisores têm os números abaixo?
(a) 45
(b) 72
(c) 200
(d) 3 × 12 × 15 × 20
(e) 24 × 18 × 30 × 42
Exercício 19
Quantos divisores tem o número N = 2 3 × 3 2 × 5 2 × 2 2 × 3?
6

Exercício 20
Determinar todos os divisores do número 120.
Exercício 21
Determinar todos os divisores do número 300.
Exercício 22
Achar a soma de todos os divisores do número 540.
Exercício 23 (resolvido)
É dado um número A, tal que sua decomposição em fatores primos seja: A =
2 3 × 3 a × 7 2 . Quanto deve ser o valor a, para que A tenha exatamente 36 divisores??
Sol: A quantidade de divisores é:
(3 + 1) × (a + 1) × (2 + 1) = 36 ⇒
12 × (a + 1) = 36 ⇒ (a + 1) = 3 ⇒
a = 2
Exercício 24 (resolvido)
Qual o menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888
por n um cubo perfeito?
Sol: Decompondo 3888 em seus fatores primos, temos:
3888 = 2 4 × 3 5
Como queremos o menor n tal que 3888 × n seja um cubo perfeito, os expoentes
devem ficar múltiplos de 3, então n = 2 2 ×3. Assim, 3888n = 2 6 ×3 6 = (2 2 ×3 2 ) 3 .
Exercício 25
Calcule o menor número que devemos multiplicar por 720 de modo a obtermos
um quadrado perfeito?
Exercício 26
Calcule o menor número que devemos multiplicar por 450 de modo a obtermos
um quadrado perfeito?
Exercício 27
Achar o menor número, quadrado perfeito, divisível por 3, 4 e 5.
5 MDC e MMC
A fatoração em primos é superimportante para descobrirmos quando um número
é divisível por outro. Um número a será divisor de um número b quando os exponetes
de todos os primos da fatoração de a forem menores ou iguais que os
7

correspondentes na fatoração de b. Vamos ver exemplos:
O número A = 2 3 ×3 2 é divisor de B = 2 5 ×3 3 ×7. Já o número C = 2 2 ×3×5 2
não é divisor do número D = 2 2 × 3 2 × 5 × 7 5 , pois o primo 5 aparece com
expoente maior em C. Um pequeno exrcício para vocês:
Exercício 28
Diga quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.
(a) 2 2 × 3 3 divide 2 2 × 3 4 × 5 × 7
(b) 2 3 × 5 2 × 7 2 é múltiplo de 2 × 5 2
(c) 7 3 × 11 5 divide 2 2 × 3 × 5 3 × 11 7
(d) 12 × 3 × 4 × 12 divide 6 × 5 × 24 × 9
Para determinarmos o Maior Divisor Comum dos números 36 e 42 procederemos
da seguinte maneira. Primeiramente, descobrimos os divisores de cada
um dos números.
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
Agora vamos colocar em um conjunto os divisores comuns:
D(36) ∩ D(42) = {1, 2, 3, 6}
O MDC dos números dados é o maior dos divisores comuns. Portanto, MDC(36, 42) =
6.
Mas professor, não há um jeitinho mais prático não? Ahá, agora que vocês
sabem fatorar em primos, há!
Para calcular o MDC de alguns números (2 ou mais), decompomos os números
dados em fatores primos, e então, o MDC será o produto dos fatores comuns
com os menores expoentes. Vejam os exemplos.
Exemplo1:
Determine o MDC de 24, 32 e 48.
Logo MDC(24, 32, 48) = 2 3 = 8.
24 = 2 3 × 3 ; 32 = 2 5 ; 48 = 2 4 × 3
Exemplo2: Calcule o MDC de 72 e 132.
Veja as fatorações:
72 = 2 3 × 3 2 ; 132 = 2 2 × 3 × 11
Logo, tomando os fatores comuns com os menores expoentes, teremos:
MDC(72, 132) = 2 2 × 3 = 12
8

Agora professor, faz no quadro o famoso método das divisões sucessivas (algoritmo
de Euclides), mais conhecido como ”jogo da velha”!!!
Vamos lá então! Calculemos o MDC(143, 17).
Portanto o MDC de 143 e 17 é 1.
8 2 2 3
143 17 7 3 1
7 3 1 0
Aos tutores: Novamente, vale a pena explicar bem direitinho o método de Euclides,
fazendo outros exemplos.
Exercício 29
Calcule, pelas fatoração em primos ou pelo algoritmo de Euclides:
(a) MDC(96, 144)
(b) MDC(360, 4320
(c) MDC(24, 36, 40)
(d) MDC(72, 98, 124)
(e) MDC(512, 224)
Para determinarmos o Mínimo Múltiplo Comum (diferente de zero) dos
números 5 e 6 procederemos da seguinte maneira. Primeiramente, descobrimos
os múltiplos de cada um dos números.
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...}
Agora vamos colocar em um conjunto os múltiplos comuns.
M(5) ∩ M(6) = {0, 30, 60...}
Portanto, o menor múltiplo comum diferente de zero dos números 5 e 6 é o 30.
Agora vamos determinar de maneira semelhante a que fizemos no MDC, o MMC
de dois ou mais números usando a fatoração em primos. Primeiro, decompomos
os números dados em fatores primos, e então o MMC será o produto dos fatores
primos comuns e não-comuns com os maiores expoentes. Veja os exemplos...
Exemplo1:
Determine o MMC de 4, 6 e 8.
Logo o MMC é 2 3 × 3 = 24.
4 = 2 2 ; 6 = 2 × 3 ; 8 = 2 3
9

Exercício 30
Usando a fatoração em primos, calcule:
(a) MMC(36, 48)
(b) MMC(30, 42, 64)
(c) MMC(13, 22, 24)
(d) MMC(MDC(20, 24), MDC(27, 36))
6 Exercícios Finais
Exercício 31 (resolvido)
A indústria papelão S.A. vai confeccionar caixas cúbicas iguais que deverão ser
acondicionadas num galpão com forma de paralelepípedo cujas dimensões são
30m, 40m e 6m. Qual o menor número de caixas que deverá ser confeccionado
para ocupar totalmente o galpão?
Sol: Quanto maior a caixa, menos caixas caberão no galpão. O comprimento
da aresta (lado do cubo) deverá dividir as três dimensões do paralelepípedo. Se
a representa o comprimento máximo, então a = MDC(20, 30, 6). Assim a = 2.
As caixas deverão ocupar o volume do galpão, então 20 × 30 × 6 = 2 3 × n, então
n = 900.
Exercício 32 (resolvido)
Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece
10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece
10 segundos fechado e 30 segundos aberto. Qual é o número mínimo de segundos
necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar
juntos outra vez?
Sol: Um sinal volta a fechar 50 segundos mais tarde, e o outro, 40 segundos.
Eles voltarão a fechar juntos após t = MMC(40, 50) = 200 segundos.
Exercício 33
(CMF/89) Numa casa há três goteiras. A primeira pinga de 3 em 3 segundos;
a segunda pinga de 5 em 5 segundos, e a terceira pinga de 7 em 7 segundos. Se,
em um dado momento, as três pingarem ao mesmo tempo, depois de quantos
segundos voltarão a pingar juntas?
Exercício 34
(CMF/89))Quantos números podem ser formados com 4 algarismos, de modo
que esses números sejam divisíveis por 2,3,5 e 9 e que o algarismo dos milhares
seja 8?
Exercício 35
(CMF/89) Na procura do MDC de dois números pelo método das divisões sucessivas,
os quocientes obtidos foram 1,2,2 e 3 e os restos foram 35, 15, 5 e 0
respectivamente. Determine os dois números.
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Exercício 36
(CMF/90) Um carro de corrida completa um circuito em 18 minutos. Um
outro completa o mesmo circuito em 15 minutos. Tendo saído juntos, depois de
quanto tempo estarão juntos no ponto de partida novamente? Quantas voltas
o primeiro terá dado a menos que o segundo?
Exercício 37
(CMF/90) O número N = 3 x .10 2 possui 27 divisores. Qual o valor de N?
Exercício 38
(CMF/91)Uma ferrovia circular tem 14 estações. Um trem parte da estação
inicial e faz parada de 10 em 10 estações. Quantas voltas o trem terá dado na
ferrovia quando fizer nova parada na estação inicial?
Exercício 39
(CMF/93) Determine os valores de a e b para que o número 73ab, com algarismos
distintos, seja divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.
Exercício 40
(CMF/94) Calcule os três menores números pelos quais se devem multiplicar
12, 16 e 18, respectivamente, de modo que os produtos obtidos sejam iguais.
7 Desafios da lista
Exercício 41
(CMF/92) Calcular o maior número pelo qual dividindo-se 220 e 324 encontramos,
respectivamente, os restos 10 e 30.
Exercício 42
(CMF/91)Os restos das divisões de 247 e 315 por um certo número n são 7 e 3,
respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por um outro número m
são 5 e 3, respectivamente. Determine o valor máximo da soma m + n.
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