Capítulo 8 101kb - UFSM

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I 

CAPÍTULO VIII 

“ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA” 

8.1- INTRODUÇÃO 

O método da resposta em freqüência, nada mais é que a observação da resposta de um sistema, 

para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência é variada dentro de uma faixa preestabelecida. 

A vantagem do uso do método da resposta em freqüência, reside no fato de que a mesma pode 

ser obtida experimentalmente, sem a necessidade do conhecimento prévio da função de transferência. 

8.2- PRINCÍPIO BÁSICO 

Considere o seguinte sistema: 

Onde: 

Seja: 

Prof. Hélio Leães Hey - 1997 

Q(s), P(s) → Polinômios em “S”. 

χ( t) = A.senωt A. 

ω 

X( s) 

= 

S + ω 

2 2 

Q( s) 

A. 

ω 

Y( s) 

= . X( s) ∴ Y( s) 

= 

P( s) S + ω 

Y( s) 

= G( s) 

“1” 

X ( s) 

Q( s) 

A. ω. 

Q( s) 

. = 

P( s) 

(S + ω )(S + P )(S + P ) 

2 2 2 2 

a1 

a1 

b1 

b 2 

Y( s) 

= + + 

+ ...... 

S + jω 

S − jω 

{ } 

( S + P ) ( S + P ) 

1 

2 

“3” 

Y( s) = y( t) = a . e + a . e + b . e + b . e + ..... 

L −1 − jωt jωt − P1t −P2t 

1 1 1 2 

Para t → ∞: y( t) = a e + a e 

Sabe-se que: 

⎧ 

a1 = ⎨ S + j 

⎩ 

− jωt + jω t 

1 1 “5” 

A. ω. 

G( s) 

( ω) 

. 

( S + jω)( S − jω) 

⎧ 

a2 = ⎨ S − j 

⎩ 

A. ω. 

G(S) 

( ω) 

. 

( S + jω)( S − jω) 

⎫ 

⎬ 

⎭ S=− jω 

⎫ 

⎬ 

⎭ S= jω 

Y( s) 

G( s) 

= = 

X ( s) 

⇒ a 

⇒ a 

( ω) ( ω) ( ω) ( ω) 

G − j = G − j . G − j = G − j . −∅ 

1 

1 

Q( s) 

( S + P1 )( S + P2 

) 

1 2 

“4” 

“2” 

A. G( − jω 

) 

= − 

“6” 

2 j 

A G j 

= 

2 j 

. ( ) ω “7” 

VIII-1 

Q( s) 

= 

..... P( s)




( − ) = ( − ) 

G j G j e j − ∅ 

ω ω . “8” 

( ω) = ( ω) . ( ω) = ( ω) 

. ∅ ⇒ ( ω) = ( ω) 

G j G j G j G j 

G( jω) = G( − jω) 

“10” 

Substituindo, “6”, “7”, “8”, “9” e “10” em “5”, resulta: 

− A. G( − jω) 

A. G( jω) 

y( t) 

= . e + . e 

2 j 

2 j 

− jωt + jωt A 

A 

y( t) 

= . G( j ) . e . e . G( j ). e . e 

j j − 

ω + ω 

2 2 

⎛ e − e 

y( t) = A. G( jω) 

. ⎜ 

⎝ 2j 

− j∅ − jωt + j∅ + jωt j( ωt+∅) − j( ωt+∅) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

y( t) = B.sen( ω t + ∅) 

“11” 

G j G j e j∅ 

. “9” 

⇒ y( t) = A. G( jω).sen( ω t +∅) 

Com isto, pode-se concluir que a resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante 

no tempo sujeito a uma entrada senoidal, também será senoidal na mesma freqüência com amplitude e fase 

diferentes. Portanto: 

Onde: 

Y( jω) 

= G( jω) 

“12” e 

X( jω) 

G(jω) → FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL. 

Y( jω) 

= G( jω) 

“13” 

X( jω) 

Uma vez que G(jω) é complexa, são necessárias duas grandezas para especificá-la, como por 

exemplo, módulo e fase ou parte real e parte imaginária. 

Ex: 

G( s) 

= 

a) S + 

( j ) 

j 

tg ( . ) 

→ = 

1 

τ 1 

G ω 

1 

τ = 

1 

+ ω 

1 

2 

+ ω 

−1 

− τ ω 

Representação Gráfica 

τ 

τ τ 

1 2 

0 < ω < ∞ 

↓ 

ω› 

G( jω) 

fl 

G( jω 

) fl 0 0 → - 90 0 

VIII-2



De acordo com a expressão de G(jω), verifica-se que a medida que o valor de “ω” cresce, tanto 

o módulo como a fase de G(jω) decrescem. 

1 

1 

τ1 . τ2 

G( s) 

= 

→ G( 

jω) 

= 

b) ( τ S + )( S + ) 

⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

1 1 τ2 

1 

1 1 

⎜ + jω⎟ ⎜ + jω⎟ 

⎝ ⎠⎝ 

⎠ 


τ τ 

1 2 

1 

−1 −1 

G( jω) = 

− tg ( τ1 . ω) − tg ( τ 2 

. ω) 

1 1 2 

2 

. + ω . + ω 

τ τ 

1 2 

Representação Gráfica 

c) G( s) 

= 

G( jω) 

= 

1 

( S + a )( S + a ) 

2 τ τ 

1 

1 1 

1 

( jω + a )( jω + a ) 

Representação gráfica 

OBSERVAÇÕES: 

Obs1: 

Obs2: 

1 1 

2 

2 

Onde: 

0 < ω < ∞ 

↓ G( jω) 

fl 

Se G(jω) tem um pólo real, o módulo deste pólo cresce com o aumento de “ω“, podendo 

compensar o decréscimo do módulo de um vetor complexo. 

VIII-3 

Pela representação gráfica mostrada, nota-se que quanto mais próximo do eixo imaginário 

estiverem os pólos complexos, maior será o pico produzido em G( jω 

) . 

A representação da função de transferência senoidal de um determinado sistema, é geralmente 

ω› 

G( jω 

) fl 0 0 → - 180 0 

a 1 , a 1 → São pólos complexos e conjugados. 

0 < ω < ∞ 

ω› 

↓ G( jω) 

fl 

G( jω 

) fl 0 0 → - 180 0



caracterizada pelo seu módulo e sua fase, tendo como parâmetro de variação a freqüência (jω). 

Existem 3 representações utilizadas para a função de transferência senoidal, que são: 


• DIAGRAMA DE BODE; 

• GRÁFICO POLAR; 

• GRÁFICO DO LOG-MÓDULO x FASE. 

Destes, o mais utilizado é o Diagrama de Bode seguido do Gráfico Polar. 

8.3- DIAGRAMA DE BODE 

Conforme obtida em “12” e “13”, a função de transferência senoidal de um sistema, pode ser 

representada por um gráfico MÓDULO x FREQÜÊNCIA e outro ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA. O 

Diagrama de Bode é esta representação, porém com a seguinte característica: 

• 20. LOG (MÓDULO) x FREQÜÊNCIA EM ESCALA LOGARÍTMICA; 

• ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA EM ESCALA LOGARÍTMICA. 

A principal vantagem do Diagrama de Bode é que a multiplicação dos módulos dos fatores de 

G(jω) é transformada em soma simples. Além disto, pode-se obter uma representação rápida da resposta 

em freqüência através das aproximações assintóticas. Estas aproximações são válidas somente quando se 

deseja obter informações superficiais a respeito da característica da resposta em freqüência de um 

determinado sistema. 

Ex1: 

Seja a seguinte função de transferência: 

τ 

τ τ 

K( 1+ 

3S) 

G( s) 

= 

( 1+ S)( 1+ 

S) 

1 2 

1 1 1 

= 2 = 3 = 

ω ω ω 

Onde: τ ; τ ; τ 

S = jω τ i → CONSTANTE DE TEMPO ASSOCIADA AOS PÓLOS E ZEROS. 

⎛ jω⎞ 

jω 

K⎜1 

+ ω ⎟ 

K . 1+ 

⎝ 3 ⎠ 

ω3 

G( jω) 

= 

⇒ G( jω) 

= 

⎛ jω⎞⎛ jω⎞ 

jω jω 

⎜1+ 

ω ⎟ ⎜1+ 

ω ⎟ 

1+ ω 

. 1+ 

⎝ 1 ⎠⎝ 

2 ⎠ 

1 ω2 

⎧ jω 

⎫ 

⎪ K . 1+ 

ω ⎪ 

⎪ 

3 ⎪ 

log G( jω) 

= log⎨ 

⎬ 

⎪ jω jω 

1+ ω 

. 1+ 

⎪ 

⎩⎪ 

1 ω2 

⎭⎪ 

Para a representação do módulo de G(jω), utiliza-se como unidade o DÉCIBEL. 

dB = 20.log G( jω 

) 

1 

1 

2 

3 

VIII-4



Portanto: 

Ex2: 


jω jω jω 

20.log G( jω) = 20.log K + 20.log 1+ ω 

− 20.log 1+ ω 

− 20.log1 + 

ω 

Seja G( s) = 1+ τiS → 

jω 

G( jω) 

= 1+ 

: 

ωi 

20.log G( jω) 

= 20.log 2 

ω 

1+ 

ωi 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 1 2 

Atribuindo-se valores para a freqüência “ω”, obtém-se os valores do módulo de G(jω). 

Obs: 

Esta aproximação é válida para pólos e zeros reais, porém para valores complexos podem ocorrer 

erros significativos dependendo do coeficiente de amortecimento ζ. 

Sejam os seguintes fatores formadores de uma função de transferência genérica: 

• GANHO CONSTANTE; 

• PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM; 

• PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO; 

• PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS. 

8.3.1- GANHO CONSTANTE “K” 

- Módulo: 

- Fase: 

- Módulo: dB = 20.log K 

- Fase: → 0 0 

ω 0 0,5ωi ωi 5ωi 10ωi 20ωi 100ωi 

dB 0 0,97 3,01 14,15 20,04 26,03 40 

8.3.2 - PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM 

1 

G( jω) = jω G( 

jω) 

= 

jω 

- Zeros: 

Módulo: dB = 20.log jω 

− − 

Fase: jω = tg ω 0 → jω = tg ∞ = 90 

1 1 0 

ωi → FREQÜÊNCIA DE CORTE. 

“Constante 

VIII-5



- Pólos: 

Observação: 


Módulo: dB = −20.log jω 

Fase: 

Representação G ráfica: 

ω 0,1 1 10 100 

dB -20 0 +20 +40 

1 1 1 1 

= = = = −90 

−1 − 1 0 

jω tg ω 0 tg ∞ 90 

PÓLOS E ZEROS MÚLTIPLOS NA ORIGEM 

G j j N 

N 

( ω) = ω → dB = 20.log. jω = 20. 

N.logω 

0 

Fase = N.90 0 

8.3.3- PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO 

- Zeros: 

G( jω) 

= 1+ 

jω 

ωi 

Módulo: dB = G j = + 

i 

⎛ ω ⎞ 

20.log. ( ω) 

20.log 1 ⎜ ⎟ 

⎝ω 

⎠ 

Fase: G( jω) = tg 

−1 

ω 

ωi 

ω ωi 0,05 0,1 0,5 1,0 5,0 10,0 50,0 100,0 

tg ω ωi 2,9 0 5,7 0 26,6 0 45 0 78,7 0 84,3 0 88,8 0 89,4 0 

Aprox G( jω 

) 0 0 0 0 - 45 0 - 90 0 90 0 90 0 

2 

“Constante 

jω 

G( jω) 

= 1+ 

ωi 

1 

G( jω) 

= 

jω 

1+ 

ωi 

VIII-6



- Pólos: 

Observação: 


Módulo: dB = − + 

i 

⎛ ω ⎞ 

20log 1 ⎜ ⎟ 

⎝ω 

⎠ 

Fase: G( jω) = −tg ω 

ωi 

−1 

Representação Gráfica: 

Zeros Pólos 

Pólos e Zeros Reais Múltiplos: 

N 

⎛ jω⎞ 

G( jω) 

= ⎜1 

+ ⎟ → dB = N + 

⎝ ωi 

⎠ 

i 

⎛ ω ⎞ 

20. .log 1 ⎜ ⎟ 

⎝ω 

⎠ 

8.3.4- PÓLOS E ZEROS COMPLEXO 

- Pólos: 

Módulo: 

dB = 

j j 

+ + 

n n 

⎛ 

1 

20.log 

⎞ 

1 2ζ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

ω ω 

ω ω 

⎛ ⎞ 

dB = − ⎜ − ⎟ + 

⎝ n ⎠ 

n 

⎛ 

2 

ω 

⎞ 

20.log 1 ⎜2ζ 

⎟ 

2 

ω ⎝ ⎠ 

ω 

ω 

2 

2 

; 

2 2 

Fase = 

N. tg 

−1 

ω 

ω i 

j j 

G( jω) 

ζ 

n n 

G( j ) 

j j 

n n 

ω ω 

ω ω 

ω 

ζ ω 

= + + 

ω 

ω ω 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

= 

+ + ⎛ 

1 2 

1 

⎞ 

1 2 ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

2 

2 

VIII-7




ω > ω → = − ⎜ ⎟ 

⎝ω 

⎠ 

+ 

ω 

ω 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

n dB 20.log ⎜ ⎟ → dB = −20.log 

⎜ ⎟ 

n ⎝ n⎠ 

⎝ n⎠ 

dB = −40.log n 

ω 

ω 

Fase: 

− tg 

−1 

2ζ 

ω ω 

n 

2 

( ) 

1− 

ω 

ω 

n 

4 2 2 

As curvas do módulo e fase de Pólos e Zeros complexos mostrados, demonstram que a aproximação 

destas curvas por retas assintóticas podem levar a erros grosseiros na região ω ≈ ωn. 

A freqüência ω = ωn é chamada de freqüência de canto. Nesta freqüência, a fase é - 90 0 para os 

pólos e + 90 0 no caso de Zeros, independente do coeficiente de amortecimento “ζ“. 

Observação: 

Existe um outro termo que está presente em alguns sistemas de controle. É o ATRASO DE 

TRANSPORTE. Este, é caracterizado por um tempo morto entre a medida de uma determinada variável a 

VIII-8



ser controlada, e a ação do controlador e/ou atuador no sentido de corrigir esta variável. Os Atrasos de 

Transporte existem principalmente em sistemas Térmicos, Hidráulicos e Pneumáticos. 

A função de transferência do atraso de transporte é diferente das estudadas até aqui. As funções 

de transferência com atraso de transporte não podem ser analisadas pelos métodos vistos, como por 

exemplo, o critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz. 

C( s) 

−t 0S − jωt0 E( s) 

= = e → G ( jω) = e → G( jω) = 1 −ωt 

0 

E( s) 

8.4- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 


Módulo: 20.log 1= 

∅ 

Fase: − ωt rad → − 53, 7ωt 

graus 

0 0 

O Critério de Estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em freqüência de malha-aberta 

G(jω)H(jω) ao número de pólos e zeros de 1 + G(s)H(s) que estão no semiplano direito do plano “S”. 

Com o uso de critério, a estabilidade absoluta do sistema em malha-fechada pode ser determinada 

graficamente a partir da resposta em freqüência de malha-aberta. 

O Critério de Estabilidade de Nyquist, é baseado no mapeamento de uma função F(s) do plano 

complexo “S” para o plano F(s). Desta forma, cada ponto do plano “S” é mapeado no plano “F(s)”. 

Considere o seguinte sistema: 

O ponto S =1 + j2 é então mapeado no Plano F(s). 

C( t) = e( t − t ).. μ ( t − t ) → C ( s) = E( s). e 

0 0 

C( s) 

E s 

F( s) = 1 + G( s). H( s) 

F( s) 

6 

= 1 + 

(S + 1)(S + 2 ) 

F( 1+ j2) = 11 , − j0, 

58 

Seja agora a função F(s) = S − S0 . Deseja-se mapear uma curva centrada em S0, do plano “S” 

para o plano “F(s)”. 

e 

t S 

( ) = − 0 

− t0S VIII-9



Seja agora, F( s) = ( S − S ) . ( S − S ) 


F(s) = S − S0 

1 

F( s) 

= 

S −S 

0 

F( s) = S− S0 . S− S0 

F( s) 

= 

1 

S −S 

. − S −S 

0 1 : 

( ) ( ) 

F( s) = S− S . S− S 

0 1 

F( s) 

= 

0 

1 

( ) 

( S −S ) . ( S −S 

) 

0 1 

0 

VIII-10 

Pelos mapeamentos mostrados, pode-se concluir que quando o contorno “C” do plano “S” 

envolve “X” zeros de F(s), o contorno “B” do plano F(s), envolve a origem “X” vezes no sentido horário. 

Caso o contorno “C” envolva “Y” pólos de F(s), o contorno “D” do plano F(s), envolve a origem “Y” 

vezes no sentido anti-horário. Portanto, existe uma relação definida entre o número de pólos e zeros 

dentro do contorno “C” do plano “S” e o número e a direção do envolvimento da origem no plano F(s). 

Esta discussão sobre mapeamento de funções é baseada no Teorema de Cauchy (Princípio do 

Argumento). 

Teorema de Cauchy: 

C 

Seja F(s) uma relação de Polinômios em “S”. Seja um contorno “C” no plano “S” mapeado num 

contorno “B” no plano F(s). Se F(s) é analítica dentro do contorno “C”, exceto para um número finito de 

pólos e se F(s) não possui pólos e zeros sobre “C”, então: 

N = Z − P 

N > 0 → Sentido Horário 

N < 0 → Sentido Anti-Horário 

Z → N o de zeros de F(s) dentro do contorno “C”; 

P → N o de pólos de F(s) dentro do contorno “C”; 

N → N o de envolvimentos da origem do plano F(s) 

no mesmo sentido de “C” (sentido horário). 

O Critério de Estabilidade de Nyquist é baseado no teorema de Cauchy e na abordagem do 

mapeamento de funções. 

Suponha que F(s) = 1 + G(s).H(s) (equação característica). Suponha também que a curva do 

plano “S” a ser mapeada, é composta do eixo imaginário (jω) e um arco com raio infinito. Desta forma 

todas as raízes com parte real positiva do plano “S” são envolvidas pela curva “C”.




F(s) = 1 + G(s).H(s) G(s).H(s) 

VIII-11 

CAMINHO NYQUIST DIAGRAMA NYQUIST 

Neste exemplo, o mapeamento envolve a origem (ou o ponto −1) 2 vezes no sentido horário, 

portanto N = 2. 

Portanto: Z ≥ 2 e o sistema é instável. 

8.4.1- VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O 

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 

Para a analise de estabilidade de um sistema pelo critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é 

necessário que se conheça a expressão da equação característica do sistema, a qual sempre considera 

algumas simplificações em algum componente do sistema. 

Já para análise da estabilidade pelo critério de Nyquist, o diagrama de Nyquist pode se obtido 

experimentalmente pela resposta em freqüência do sistema físico. 

8.4.2- APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST 

5 

1) Seja a Função G( s). H( s) 

= 

( S + 1) 2 ⇒ 

Se ω = 0 → G(0).H(0) = 5 (ganho CC) 

G( jω). H( jω) 

= 


= 

5 

( jω 

+ ) 

1 2 

5 

+ + 

( jω 1)( jω 

1 ) 

Cada fator do denominador aumenta o seu módulo de zero para ∞, (ω→ 0 → ∞) e o ângulo de 

cada fator aumenta de 0 0 para 90 0 . 

Desta forma o módulo de G( jω). H( jω 

) diminui de 5 para 0 e o ângulo G( jω). H( jω 

) diminui de 

0 0 para -180 0 . 

Z = 2 + P 

Como o diagrama de Nyquist não corta o 

eixo Real, visto que o menor ângulo é 180 0 , o 

sistema é estável para qualquer valor positivo do 

ganho K, que se adicione ao sistema.



50 

Seja a Função G( s). H( s) 

= 

( S + 1) ( S+ 

10) 

Se ω = 0 → G(0).H(0) = 5 


2 ⇒ 


= 

50 

2 

( jω + 1) ( jω 

+ 10) 

VIII-12 

Da mesma forma que no caso anterior cada termo do denominador aumenta o seu módulo de 0 → 

∞ e o seu ângulo de 0 0 → 90 0 . 

para -270 0 . 

Portanto o módulo de G( jω). H( jω 

) diminui de 5 para 0 e o ângulo G( jω). H( jω 

) diminui de 0 0 

Obs: 

Para a definição do ponto em que o diagrama de N corta o eixo 

real, existe 2 procedimentos: 

1- Pela obtenção da Resposta em freqüência experimental; 

2- Pelo critério de Routh-Hurwitz. 

Pelo critério de Routh-Hurwitz, utiliza-se o seguinte procedimento: 

- Adiciona-se um ganho K na equação característica do sistema: 1+ K. G( s). H( s) 

= 0 

- Por Routh-Hurwitz determina-se o valor de K = K1 para o qual o sistema é 

marginalmente estável, e desta forma: 

1 

1+ K1. G( jω1). H( jω 

1) 

= 0 

G( jω1). H( jω1) 

= − 

K 

- Para saber-mos o valor de “ω1”, recorre-se a equação auxiliar de Routh-Hurwitz. 

8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE 

Já foi mencionado que o modelo matemático representativo de um dado sistema nunca é exato. As 

vezes o modelo de um sistema pode indicá-lo como estável e na realidade o sistema físico é instável. Por 

esta razão, geralmente exige-se que além do sistema ser estável deve haver uma margem de segurança a 

respeito da estabilidade. Isto vem a ser a estabilidade relativa de um sistema, a qual é definida pela 

proximidade entre o cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real e o Ponto “-1”. A estabilidade 

relativa de um sistema é medida através de três definições: 

• MARGEM DE GANHO; 

• MARGEM DE FASE; 

1



Margem de Ganho: 


VIII-13 

É o fator pelo qual o ganho de malha aberta do sistema deve ser aumentado para tornar o sistema 

marginalmente estável. Se G(jω1) = -α então a margem de ganho será 1 α . 

Margem de Fase: 

É o menor ângulo com o qual o diagrama de Nyquist, deve ser rotacionado para intersectar o 

ponto -1. 

o 

θm = + Fase de G( j ω ) 

180 2 

MARGEM DE FASE ⊕ → Sistema ESTÁVEL 

MARGEM DE FASE → Sistema INSTÁVEL 

MARGEM DE GANHO > 1 → Sistema ESTÁVEL 

MARGEM DE GANHO < 1 → Sistema INSTÁVEL



8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS 


VIII-14 

Uma das condições para a aplicação do Teorema de Cauchy, é que a função F(s) a ser mapeada 

não pode apresentar pólos e zeros no contorno a ser mapeado. Portanto, este Teorema não pode ser 

aplicado a sistemas com pólos e zeros na origem, caso o contorno envolva esta origem. 

Para solucionar este problema, utiliza-se o seguinte artifício. 

Ex: 

ρ 

ρ θ 

→0 

Na Região I, substituí-se " S" e j + 

pelo lim , sabendo-se que “0 0 ≤ θ ≤ 90 0 ”. 

K 

G( s) 

j 

S= ρ + = 

e j j 

e e 

≈ 

θ ρ θ ρ θ 

14 2 34 

1 

S e j + 

lim 

( 1+ 

) 

= ρ 

→ 

θ 

0 

ρ 

Somente na Região I 

K K 

→ G( s) 

j 

S= ρ + = e j = − 

e 

θ ρ θ ρ θ




K 

j lim G( e ) = lim − 

ρ→0 ρ→0 

P 

ρ θ θ 

VIII-15 

Portanto, entre 0 0 ≤ θ ≤ 90 0 o mapeamento será um arco de raio ∞, devido ao fator desprezado 

no denominador, este arco ultrapassa um pouco os −90 0 . 

Ex: 

K 

G( s) 

= 

S(S 

) 

+1 2

Capítulo 8 101kb - UFSM

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