Capítulo 8 101kb - UFSM

Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
Seja agora, F( s) = ( S − S ) . ( S − S )
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
F(s) = S − S0
1
F( s)
=
S −S
0
F( s) = S− S0 . S− S0
F( s)
=
1
S −S
. − S −S
0 1 :
( ) ( )
F( s) = S− S . S− S
0 1
F( s)
=
0
1
( )
( S −S ) . ( S −S
)
0 1
0
VIII-10
Pelos mapeamentos mostrados, pode-se concluir que quando o contorno “C” do plano “S”
envolve “X” zeros de F(s), o contorno “B” do plano F(s), envolve a origem “X” vezes no sentido horário.
Caso o contorno “C” envolva “Y” pólos de F(s), o contorno “D” do plano F(s), envolve a origem “Y”
vezes no sentido anti-horário. Portanto, existe uma relação definida entre o número de pólos e zeros
dentro do contorno “C” do plano “S” e o número e a direção do envolvimento da origem no plano F(s).
Esta discussão sobre mapeamento de funções é baseada no Teorema de Cauchy (Princípio do
Argumento).
Teorema de Cauchy:
C
Seja F(s) uma relação de Polinômios em “S”. Seja um contorno “C” no plano “S” mapeado num
contorno “B” no plano F(s). Se F(s) é analítica dentro do contorno “C”, exceto para um número finito de
pólos e se F(s) não possui pólos e zeros sobre “C”, então:
N = Z − P
N > 0 → Sentido Horário
N < 0 → Sentido Anti-Horário
Z → N o de zeros de F(s) dentro do contorno “C”;
P → N o de pólos de F(s) dentro do contorno “C”;
N → N o de envolvimentos da origem do plano F(s)
no mesmo sentido de “C” (sentido horário).
O Critério de Estabilidade de Nyquist é baseado no teorema de Cauchy e na abordagem do
mapeamento de funções.
Suponha que F(s) = 1 + G(s).H(s) (equação característica). Suponha também que a curva do
plano “S” a ser mapeada, é composta do eixo imaginário (jω) e um arco com raio infinito. Desta forma
todas as raízes com parte real positiva do plano “S” são envolvidas pela curva “C”.