Eureka! 26 - OBM

EUREKA! N°26, 2007
Sociedade Brasileira de Matemática
2 39
e, portanto, a distância entre os ortocentros é .
3
Outra solução:
Sejam A’ o ortocentro do triângulo BCD e D’ o ortocentro do triângulo ABC.
y
60 o
C
D’
A B
Sejam A = (0;0) e B = (4;0). Sendo AC = 3 e m(BÂC) = 60 o , podemos supor que C
⎛ ⎞
=
⎜
3 3 3
( 3cos
60 ; 3sen
60 ) = ⎟
⎜
; . Como a reta CD’ é perpendicular ao eixo x,
⎟
⎝ 2 2 ⎠
3
admite equação x = . Além disso, sendo a reta BD’ perpendicular à reta AC, de
2
− 1
coeficiente angular tg 60 = 3 , seu coeficiente angular é . Logo, sendo
3
⎛ 3 ⎞ a − 0 1 5 3
D ' = ⎜ ; a⎟
, = − ⇔ a = .
3
⎝ 2 ⎠ − 4 3 6
2
Calculemos agora A’. Como A’ pertence à perpendicular a BD por C, então
⎛ ⎞
⎜
3 3
A ' = ⎟
⎜
b;
. A reta CD é perpendicular a AC e, portanto, tem coeficiente
⎟
⎝ 2 ⎠
− 1
angular . Enfim, sendo A’B perpendicular a CD, tem coeficiente angular
3
1
3
1
3
=
3 3
−
− 0 2
11
. Deste modo, = 3 ⇔ b = .
−
b − 4
2
Logo a distância entre os ortocentros A’ e D’ é
2
2
⎛11
3 ⎞ ⎛ 3 3 5 3 ⎞ 2 39
⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = .
⎝ 2 2 ⎠
⎜ 2 6 ⎟
⎝ ⎠ 3
30
D
A’
x