Eureka! 26 - OBM

EUREKA! N°26, 2007
Sociedade Brasileira de Matemática
primos, tal que o produto desses números é 3240. Então esses primos são
divisores positivos de 3240 menos um. Então vamos ver quais são os D(3240)–1
que são primos:
1
3240 2 2
1620 2 4
810 2 8
405 3 3,6,12,24
135 3 9,18,36,72
45 3 27,54,108,216
15 3 81,162,324,648
5 5 5,10,20,40,15,30,60,120, 45, 90, 180, 360, 135, 270, 540, 1080, 405, 810, 1620, 3240.
1
D(3240) − 1=0,1,2,3,4,5,7,8,9,11,14,17,19,23,26,29,35,39,44,53,59,71,80,89,107,
119,134,161,179,215,269,... Note que no mínimo (p + 1)(q + 1) é 12 (quando p =
2 e q = 3), então no máximo t + 1 é 270 ⇒ tmáx = 269.
Os primos possíveis são: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 71, 89, 107, 179,
269.
Para t = 269 ⇒ (p + 1)(q +1) = 12 ⇒ p = 2 e q = 3 ⇒ N = 1614
Para t = 179 ⇒ (p + 1)(q +1) = 18 ⇒ p = 2 e q = 5 ⇒ N = 1790
Para t = 107 ⇒ (p + 1)(q +1) = 30 ⇒ ∃ p, q primos
Para t = 89 ⇒ (p + 1)(q +1) = 36 ⇒ p = 2 e q = 11 ⇒ N = 1958
Para t = 71 ⇒ (p + 1)(q +1) = 45 ⇒ ∃ p, q primos
Para t = 59 ⇒ (p + 1)(q +1) = 54 ⇒ p = 2 e q = 17 ⇒ N = 2006
Para t = 53 ⇒ (p + 1)(q +1) = 60 ⇒ p = 2 e q = 19 ⇒ N = 2014
Para t = 29 ⇒ (p + 1)(q +1) = 108 ⇒ p = 5 e q = 17 ⇒ N = 2465
Para t = 23 ⇒ (p + 1)(q +1) = 135 ⇒ ∃ p, q primos
Para t = 19,17, 11, 7, 5, 3 ou 2 é análogo aos anteriores.
Daí, o menor N é 1614.
iii) Então o menor inteiro positivo arrojado é 1614.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: PEDRO PAULO GONDIM CARDOSO (SALVADOR – BA)
(Interpretação que um número arrojado pode ter mais que 8 divisores)
Inicialmente observa-se que 1260 é um número arrojado, pois 1260 + 630 + 420
+ 315 + 252 + 210 + 90 + 63 = 3240. Agora deve-se provar que não há nenhum
número arrojado menor que 1260.
Um número arrojado tem como divisores a, b, c, d, e, f, g, h tais que
⎛1 1 1 1 1 1 1 1⎞
⎜ + + + + + + + ⎟K=
3240, onde K é o valor do número
⎝a b c d e f g h⎠
50