Eureka! 26 - OBM

EUREKA! N°26, 2007
Sociedade Brasileira de Matemática
Assim os pares ordenados são: ( x, y) = (2, −1),( − 1,2),(3,0),(0,3) e ( a, a),
∀a∈Z .
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: RAFAEL HORIMOTO DE FREITAS (SÃO PAULO – SP)
A + C
A soma de A e C deve ser par pois a média entre A e C , , resulta em um
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inteiro B, para isso A e C devem ser números pares ao mesmo tempo ou devem
ser números ímpares ao mesmo tempo.
No começo podemos escolher 100 A´s diferentes; para cada A ímpar, restam 49
ímpares, e, se A for par, restam 49 pares para escolher no lugar de C, e por último
só há um número B para escolher pois só há uma média aritmética entre A e C.
Em metade dos casos ocorrerá A > C, pois para cada casa em que A < C podemos
trocar os valores de A e C, metade dos casos são inválidos.
100⋅49⋅ 1
No final temos = 2450 subconjuntos.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: RAFAEL GRIBEL DE PAULA NEVES (RIO DE JANEIRO – RJ)
B
α
M
α
20° + θ
K
A
20° θ
20°
70°– α 70°
J
R
H
β
w
MR é base média do ∆ABH → AM R ≅ ABH
MJ é mediana relativa a AB (e AJB é retângulo) → BAJ ≅ AJM
N
MN é base média do ∆ABC → BM N ≅ B AC
Seja K a interseção de BH e MN. No ∆ BKM , α+ 20°+ θ = 90°→ NMR = 90°
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I
w
C