Eureka! 26 - OBM

EUREKA! N°26, 2007
Sociedade Brasileira de Matemática
E, depois de mais 1003 passos, teremos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2003, 2004, 2005, 2006 (ordem inicial)
Ou seja, para n = 2006, a menor quantidade de passos necessários para
reescrever: 1, 2, 3,..., 2005, 2006, é de 2006 passos.
b) n = 2005
Para resolver esta questão, recorreremos a exemplos menores:
1, 2, 3 → 3, 2, 1 → 1, 2, 3 → 2 passos
1, 2, 3, 4, 5 → 5, 4, 1, 2, 3 → 3, 2, 5, 4, 1 → 1, 4, 3, 2, 5 → 5, 2, 1, 4, 3 → 3, 4, 5,
2, 1 → 1, 2, 3, 4, 5 → 6 passos
Com base nos exemplos, percebe-se que os números ímpares: 1, 3, 5... estarão
sempre nas posições ímpares: 1ª., 3ª., 5ª., ..., não necessariamente nesta ordem,
conseqüentemente, os pares estarão nas posições pares.
Nota-se também que para os x números ímpares reestabelecerem sua ordem
original, deverão ser feitos x passos, e para os (x – 1) números pares, serão
tomados (x – 1) passos.
Logo para achar o número mínimo de passos necessários, devemos calcular o
mínimo múltiplo comum entre x e (x – 1), que independente do valor de x, será
sempre x⋅( x−
1).
Então, para calcular o valor mínimo de passos para n= 2005, devemos multiplicar
1003 (quantidade de ímpares) por 1002 (quantidade de pares), o que resulta em
1005006.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 2: ILLAN FEIMAN HALPERN (ITATIAIA – RJ)
A maior quantidade de vértices alinhados que um polígono de 12 lados pode ter é
8. Um exemplo de polígono assim é:
Mostrarei agora que não existe polígono de 12 lados com 9 vértices colineares.
Em um polígono 3 vértices consecutivos não podem ser colineares, escolhendo 9
pontos em 12, pelo menos haverá um trio de pontos consecutivos. Demostração:
Nomeie os vértices em ordem de V 1 a 12 V , sendo que 1 V é consecutivo de V12 e
V 2 ; 2 V é consecutivo de 1 V e V 3 e assim por diante. Sejam:
G =
{ V ; V ; V }
1 1 2 3
40