Eureka! 26 - OBM

EUREKA! N°26, 2007
Sociedade Brasileira de Matemática
f ( − f ( y)) = − y.
Fazendo y = 0 na equação original temos:
f ( x + f ( x)) = 2 f ( x).
Fazendo x: =− f ( u)
e y: = − f ( v)
na equação original, temos que:
f ( f ( uv ) − u) =− 2 u+ f ( u) f ( v).
Fazendo u = 1 nesta última, temos que:
f (2y− 1) = 2 f ( y)
− 2 (*).
Fazendo x = 1 na equação original, temos que f ( f ( y) + 2) = y+
4.
De (*) temos: f (2y− 1) + 2 = 2 f ( y).
Aplicando f dos dois lados desta última
igualdade, temos que f ( f (2 y− 1) + 2) = f (2 f ( y)).
Como f ( f ( x) + 2) = x+
4 , temos que, fazendo x = 2y – 1 nesta última, temos:
f ( f (2y− 1) + 2) = 2y+ 3.
Fazendo y = 0 na equação original, temos f ( f ( x) + x) = 2 f ( x)
(**).
Logo, fazendo x = y nesta última e aplicando f dos dois lados, temos que
f ( f ( f ( y) + y)) = f (2 f ( y)).
Fazendo y = –1 na equação original, temos que f ( f ( x)) = 2 f ( x) − x∴fazendo
x = f ( y) + y nesta última, temos:
f ( f ( f ( y) + y)) = 2 f ( f ( y) + y) − ( f ( y) + y).
Como, por (**),
f ( y+ f ( y)) = 2 f ( y),
temos que a última igualdade fica:
f ( f ( f ( y) + y)) = 4 f ( y) − f ( y) − y = 3 f ( y) − y.
Como 2y+ 3 = f ( f (2 y− 1) + 2) = f (2 f ( y)) = f ( f ( f ( y) + y)) = 3 f ( y) − y,
Temos que 3 f ( y) − y = 2y+ 3 ⇒ f ( y) = y+ 1, ∀y∈R .
Testando na equação original, vemos que os dois lados ficam xy + 2x + 2 ∴temos
que f(x) = x + 1 é a única função que satisfaz o problema.
Resposta: f(x) = x + 1.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: BRENO VIEIRA DE AGUIAR (FORTALEZA – CE)
(interpretando que um número arrojado deve ter exatamente 8 divisores)
i) A quantidade de divisores positivos de um número, é calculada pelo produto de
cada expoente dos seus fatores primos mais um. Daí, como o número tem
exatamente 8 divisores, ele pode ser das formas: Seja N inteiro positivo arrojado
que procuramos:
I) N = p 7 ; p primo
3
II) N = p⋅q ; p, q primos distintos
III) N = p⋅q⋅t; p, q, t primos distintos
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