Porque Tardaram a Aparecer as Geometrias Não Euclidianas - EACH

Anais do IX Seminário Nacional de
História da Matemática
Sociedade Brasileira de
História da Matemática
Por Que Tardaram a Aparecer as Geometrias Não-Euclidianas?
Why Did the Non-Euclidean Geometries Take Too Long to Appear?
Resumo
Rafael Montoito 1
Devido ao modo como o currículo escolar está organizado e, também, à percepção comum que se tem, desde criança, do mundo em que
vivemos, os conceitos da Geometria Euclidiana acabam ficando fortemente arraigados em nossa compreensão. Quando falamos, então, em
Geometrias Não-Euclidianas, percebemos que este é um assunto que muitos alunos e professores de Matemática desconhecem. No entanto,
com relativa facilidade, encontram-se bastantes livros, artigos ou sites que explicam as características e demonstram os teoremas da
Geometria Hiperbólica e da Geometria Elíptica (também chamadas de Geometrias Não-Euclidianas Clássicas). Devido a isto, este trabalho
não trata das estruturas axiomáticas destas Geometrias: o que nos propomos com este artigo é apresentar um possível caminho que explique
por que as Geometrias Não-Euclidianas tardaram tanto tempo para aparecer na História da Matemática. A partir do quinto postulado de
Euclides e da estranheza do seu enunciado, vários matemáticos tentaram, ao longo dos séculos, demonstrá-lo como se fosse um teorema –
apesar de abandonadas muitas vezes, algumas destas tentativas, juntamente com diversas mudanças filosóficas e sociais, podem ser
consideradas pistas válidas que conduziram o homem ao conhecimento de outros espaços geométricos diferentes daquele sistematizado por
Euclides. Nosso objetivo com este texto é trazer ao leitor a história das ideias matemáticas para que, acompanhando-a, ele perceba como,
quando e por que foi necessário se passar tantos anos até que a Geometria Euclidiana perdesse sua onipresença. Ao percorrermos tantos anos
de História da Matemática, abordaremos, entre outros assuntos, os conceitos e aplicações distintas que eram atribuídos à Geometria na
Antiguidade, as correntes filosóficas de Descartes, Hume e Kant e como elas influenciaram na percepção do espaço geométrico, e as
mudanças significativas ocorridas nos Séculos XVIII e XIX. Por fim, desejamos demonstrar que, a partir do momento em que se admitiu,
através da Geometria Hiperbólica e da Geometria Elíptica, a existência de novos espaços, o homem segue procurando outros espaços que
sustentam novas geometrias.
Palavras-chave: Geometrias Não-Euclidianas. Aspectos Históricos. Aspectos Filosóficos. Aspectos Epistemológicos.
Abstract
The concepts of Euclidean Geometry get deeply-rooted to our understanding due to the way the curriculum is organized as well as the
common perception one has of the world we live, since a child. Then when talking about Non-Euclidean Geometries it is possible to notice
that this is a subject which many students and Mathematics teachers do not know. However, it is relatively easy to find many books, articles
or sites that explain the characteristics and show the theorems of Hyperbolic Geometry and Elliptic Geometry (so-called Classical non-
Euclidean Geometries). Because of it, this work does not treat of the axiomatic structures of these Geometries: what is proposed with this
article is to present a possible way that explains why the Non-Euclidean Geometries took so much time to appear in the History of
Mathematics. From the fifth Euclid‟s postulate and the strangeness of his proposition several mathematicians have tried, through the
centuries, to show it as a theorem – despite having been abandoned many times, some of these attempts, together with several social and
philosophical changes can be considered valid tips that led to man‟s knowledge other geometrical spaces different from the one systematized
1 Professor do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense de Pelotas (IFSUL/RS) e doutorando no Programa de Pós-
Graduação em Educação para a Ciência na UNESP de Bauru (SP), sob orientação do Prof. Dr. Vicente Garnica.

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by Euclid. The objective of this text is to introduce to the reader the history of the mathematical ideas. Once he follows it, he can notice how,
when and why it was necessary to take so many years until the Euclidean Geometry could lose its omnipresence. Going through so many
years of the History of Mathematics, subjects such as the concepts and distinct applications that were attributed to Geometry in ancient times,
the philosophical chains of Descartes, Hume and Kant and how they influenced the perception of geometrical space, and the meaningful
changes that occurred in the XVIII and XIX centuries, will be approached. Finally, it is presented from the moment it was admitted the
existence of new spaces through the Hyperbolic Geometry and Elliptic Geometry that man will continue to look for other spaces that support
new Geometries.
Key-words: Non-Euclidean Geometries. Historical Aspects. Philosophical Aspects. Epistemological Aspects.
Dos primórdios da Geometria até sua sistematização em Os Elementos de Euclides
O matemático, sabemos, vê o mundo segundo sua perspectiva. Talvez seja necessário
a nós, que nos dedicamos à Educação Matemática, variar as perspectivas. Entretanto, não
seria sensato negligenciar pontos de vista tão arraigados e historicamente construídos. Assim,
em outras palavras, no discurso matemático, a Geometria hoje „aparece‟ tanto no mundo „real‟
quanto no imaginário, naquele que não podemos ver ou experenciar pelos sentidos: não há,
segundo esse discurso, um mundo desprovido de leis geométricas. No entanto, nem sempre
foi assim. Até meados do século XIX, a Geometria estava intimamente ligada ao mundo
visível e ao mundo que os gregos nos ensinaram a ver e a dominar.
O primeiro a pensar numa ideia que se contrapunha à Geometria Euclidiana parece ter
sido Aristóteles: segundo Mlodinow (2005), ele se deu conta, na época em que todos
acreditavam que a Terra era plana, mais ou menos em 2.400 a.C., que, de um navio que se
afastava, primeiro sumia o casco e depois, lentamente, os mastros, o que seria a primeira
evidencia observada de que a Terra era curva.
Desde antes de Euclides, a Geometria já dividia opiniões. Platão dizia que a Geometria
era o conhecimento daquilo que existia eternamente (BRITO, 1995), baseado na sua crença de
que as figuras reais existiam apenas no mundo das ideias. Para ele, a realidade não estava nas
coisas sensíveis, e só podia ser atingida por uma atividade da alma isolada do corpo, de modo
que tudo aquilo que nossas sensações nos revelam não são senão sombras da verdade. A
Geometria era, assim, uma representação da verdade. Para o filósofo, a matemática era
“concebida como um conhecimento importante não pelo seu valor prático, mas pela sua
capacidade de despertar o pensamento do Homem” (MIORIM, 1998, 18). Para os egípcios,
não era isso o que importava. A Geometria – e a Matemática em geral – apresentava-se como
uma criação humana que os auxiliava a resolver coerentemente seus problemas cotidianos. A
agrimensura e a necessidade de estocagem parecem ter sido o estopim para o estudo das
figuras geométricas e suas propriedades (MLODINOW, 2005).

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A crença vigente naquela época era de que os deuses organizavam tudo o que existia e
que os homens envolviam-se nesta cadeia para harmonizá-la ou retorcê-la. Somente por volta
do século VI a.C. aparecem os primeiros indícios daquilo que hoje chamamos de „a ciência
grega‟ nas cidades-estado que se desenvolveram na Jônia: Mileto, Quios, Samos, Atenas etc.
Mas foi particularmente em Mileto que a chamada escola jônica mudou o cenário vigente,
uma vez que “buscava na natureza, por meio de um esquema racional, a explicação para a
origem e o funcionamento do universo, dispensando a intervenção dos deuses” (BRITO,
1995, 23), o que resultou na transformação da Geometria em conhecimento dedutivo. Ao
tentar encontrar respostas racionais para as questões sobre a origem e a essência do mundo, os
pensadores jônicos descobriram na Matemática uma fonte muito rica de conhecimento: não
naquela Matemática essencialmente prática que eles haviam conhecido em suas viagens ao
Egito e à Babilônia, mas em uma „nova Matemática‟, a qual, pensavam, os ajudaria a
“encontrar a ordem no caos, a ordenar as ideias em sequências lógicas, a encontrar princípios
fundamentais, ou seja, uma Matemática racional.” (STRUIK apud MIORIM, 1998, 14)
Tales, o famoso matemático grego,
(...) passou longos períodos de tempo no Egito. Os egípcios tinham a capacidade de construir
as pirâmides, mas não tinham o discernimento necessário para medir a sua altura. Tales
buscou explicações teóricas para os fatos descobertos empiricamente pelos egípcios. Com tal
compreensão, Tales foi capaz de deduzir técnicas geométricas, uma da outra, e de roubar a
solução de um problema a partir de um outro, pois tinha extraído o princípio abstrato da
aplicação prática particular. (MLODINOW, 2005, 25)
Tem-se, aí, o início do método dedutivo, o qual surge também como tendência anti-
ilustrativa, uma vez que era hábito traçar modelos de resolução e armar contas na areia, mas
“o traçado na areia continuou a ser, por séculos e séculos, o único resolutivo dos problemas
geométricos” (BRITO, 1995, 27), afinal, as mudanças não são imediatas.
De acordo com a concepção da antiga sociedade escravagista grega, as atividades
práticas deviam ser realizadas pelos escravos, pois não eram dignas dos homens livres, os
quais deviam engajar-se somente na contemplação teórica – a única exceção era a arquitetura,
elevava ao nível de uma profissão para cidadãos, talvez porque dependesse fundamentalmente
da geometria. Essa arquitetura, por sua vez, corroborava a ideia de uma matemática imutável
e eterna, pois aquilo que era edificado permanecia por séculos inalterado no tempo e no
espaço.

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Foi o matemático grego Pitágoras quem fez com que a geometria se tornasse parte da
educação dos homens livres. No entanto, foram os pitagóricos, seus alunos, que envolveram a
matemática num manto de mistério e introduziram a concepção de que “os conceitos
matemáticos são superiores aos demais” (MIORIM, 1998, 14-15). Também foram eles que,
dando ênfase à retórica e à oratória, importaram dos filósofos eleáticos do sul da Itália a
demonstração indireta, conhecida hoje como demonstração por absurdo. “Foram Parmênides
e os eleáticos que, claramente, fizeram da ausência de contradição o critério de verdade de
uma afirmação.” (BRITO, 1995, 28)
A filosofia grega também teve grande influência na concepção de matemática que se
tinha naquela época: a busca de um método racional que ordenasse de forma imutável o caos,
e a crença de que “as verdades geométricas eram absolutas no sentido de independerem do
tempo e do ser humano, além de fornecerem explicações racionais para o funcionamento do
universo” (BRITO, 1995, 30) foram intensificadas quando os gregos da Antiguidade isolaram
o ponto, a linha e o ângulo, tomando-os como elementos imutáveis que geravam os demais
entes geométricos. Mudar a concepção de Geometria passou a ser algo bastante difícil e, até a
Idade Moderna, a Geometria compreendia a matemática em geral, a astronomia, a óptica
geométrica, a estática e a teoria musical, ou seja, a Geometria dava conta do universo
conhecido, e por isso resistiria por muito tempo ainda às mudanças: primeiro seria necessário
separar as partes do todo.
Por volta de 430 a.C. Hipócrates de Quios desenvolveu aquele que é tido como o
primeiro sistema axiomático para a Geometria. Em seguida, no século IV a.C., tem-se notícia
dos trabalhos de Leon e de Theudius de Magnésia. “Todos esses autores escreveram
Elementos, título dado a todos os tratados de matemática gregos” (BRITO, 1995, 33).
Somente depois de tudo isso é que nos deparamos com Euclides. “A história de Euclides é
uma história de revolução. É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do
nascimento da própria razão” (MLODINOW, 2205, 15). Isso pode servir para nos mostrar que
nada ocorre „despregado‟ do fluxo do mundo. Há ideias criativas, há sistematizações potentes,
grandes criações, mas tudo isso surge por haver – de alguma forma – um caminho
pavimentado anteriormente que nos permite essas criações, essas criatividades, essas
sistematizações. Nunca nada é puramente a origem, é sempre continuidade.
Uma das poucas coisas que se sabe sobre a vida de Euclides é que ele escreveu pelo
menos dois livros: um deles, perdido, sobre cônicas, que posteriormente formou uma base
importante para a obra de Apolônio que, por sua vez, fez progredir as ciências da navegação e

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a astronomia, e Os elementos. Euclides é da fase helenística ou alexandrina da cultura grega e
viveu numa Alexandria que vivia seu apogeu e que criou um espaço – algo como o que hoje
chamaríamos de museu – cujo objetivo era organizar todo o conhecimento científico
existente. Ao trabalhar lá, Euclides escreveu Os Elementos. Vale ressaltar que ele não
escreveu toda sua obra: quase toda ela é composta de compilações de trabalhos de outros
autores. Devido ao fato de ter sido o livro dele o único que chegou aos nossos dias, não nos é
possível compará-los a outros livros do mesmo tema, mas isso não diminui de forma alguma o
valor desta sua „organização‟.
Euclides não reivindicou ter sido original em relação a qualquer dos teoremas. Ele viu o seu
papel como o de organizador e sistematizador da geometria conforme compreendida pelos
gregos. Ele foi o arquiteto do primeiro relato abrangente sobre a natureza do espaço
bidimensional através do raciocínio puro, sem nenhuma referência ao mundo físico.
(MLODINOW, 2005, 19-40)
Euclides, através do método dedutivo, oferece ao leitor os elementos que alicerçarão
toda a construção do conhecimento matemático em axiomas 2 (suposições comuns a todas as
ciências) e postulados (suposições particulares da ciência em estudo). “O objetivo de Euclides
era que o seu sistema fosse livre de suposições não reconhecidas baseadas na intuição, em
conjecturas e na inexatidão” (MLODINOW, 2005, 43). Segundo a tradução de Bicudo (2009,
99) para Os elementos de Euclides, os postulados aparecem organizados como se seguem:
1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado
menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente,
encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos 3 .
O quinto postulado de Euclides, chamado de o postulado das paralelas, não parece tão óbvio
ou intuitivo como os demais. É invenção do próprio Euclides, não é parte do grande corpo de
conhecimento que ele estava resumindo. Mas, aparentemente, ele não gostava desse
postulado, pois parece que evitava usá-lo sempre que possível. Os matemáticos posteriores
2 Atualmente não se faz mais distinção entre axiomas e postulados.
3 Muitos anos depois, o quinto postulado de Euclides ganhou um novo e equivalente enunciado, dado por
Playfair (1748 – 1819), ficando do modo que o conhecemos até hoje: por um ponto P, tomado fora de uma reta
l, podemos traçar uma única reta h paralela a l.

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também não gostaram dele, sentindo que não era suficientemente simples para um postulado,
e deveria ser demonstrável com um teorema (MLODINOW, 2005, 46).
A representação gráfica do quinto postulado, tal como aparece abaixo, torna sua ideia
imediatamente compreensível – mas ser compreensível não bastava para que os matemáticos
acreditassem que ele era, de fato, um postulado.
Figura 1 – Representação gráfica do quinto postulado
Esta é a dúvida histórica que impulsionou uma das maiores cruzadas da matemática: o
„desvelar‟ 4 das geometrias não-euclidianas. E esta dúvida é reforçada pelo fato de o próprio
Euclides tê-lo utilizado, pela primeira vez, para demonstrar o teorema de número 29. Muitos
acreditaram que ele tardou tanto a usá-lo por não ter certeza quanto à sua própria natureza.
Há ainda outras crenças da sociedade grega que parecem ter influenciado no
surgimento destas dúvidas: o ideário grego de elegância e beleza:
Uma teoria axiomática é tanto mais elegante quanto menor for o seu número de axiomas e
estes devem ser escolhidos com a preocupação de que sejam consistentes, suficientes e
independentes. Um conjunto de axiomas é consistente se não conduzir a teoremas
contraditórios, isto é, a um teorema e à sua negação (...). Os axiomas dizem-se independentes
quando nenhum deles pode ser demonstrado a partir dos demais. Quando se verifica que um
dos axiomas pode ser demonstrado a partir dos outros, tal axioma passa a ser um dos teoremas
da teoria e, com isto, o conjunto de axiomas torna-se menor, o que é sempre desejável.
(CASTRO, 2009, 303)
Deixar o sistema axiomático de Euclides ainda menor e mais belo foi o mote de
muitos matemáticos que desconfiaram da sua exposição, ao longo de muitos anos.
As tentativas de demonstração do quinto postulado e as mudanças filosóficas
É impossível citarmos todos os que se envolveram nesta cruzada, pois em um único
livro, entitulado Saggio di uma bibliografia Euclidea, Parte IV, publicado em Bolonha em
1890, podemos encontrar 24 páginas de títulos de textos publicados entre 1607 e 1890, que
tentaram, em vão, demonstrar o quinto postulado. Dentre os mais conhecidos ou os que maior
contribuição deram para o estudo das Geometrias Não-Euclidianas podemos citar Ptolomeu
4 Optamos pelo termo „desvelar‟ para deixar claro nossa crença de que as Geometrias Não-Euclidianas sempre
existiram, mas não eram percebidas, o que se contrapõe à idéia de criação ou invenção das Geometrias Não-
Euclidianas.

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(séc I d.C.), Proclus (410 – 485), Nasir Eddin Al Tusi (1201 – 1274), John Wallis (1616 –
1703), Girolamo Saccheri (1667 – 1733), Johanna Heinrich Lambert (1728 – 1777), Adrien-
Marie Legendre (1752 – 1833), Wolfang Farkas Bolyai e János Bolyai (1802 – 1860), Johann
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), Nicolai Lobatchevsky (1792 – 1856). Olhemos, agora,
em pormenores alguns destes matemáticos e os resultados curiosos que foram descobrindo.
Por muitos séculos, matemáticos tentaram provar o quinto postulado de Euclides,
utilizando-se da redução ao absurdo. Eles não chegaram a contradições, apesar de muitas
vezes crerem que sim, o que acabou “retardando em muitos séculos o aparecimento das
Geometrias Não-Euclidianas. O que estes geômetras supunham ser contradições, na verdade
eram resultados válidos nessas novas geometrias” (COUTINHO, 2004, 27), mas, como elas
ainda não eram conhecidas, os esforços foram abandonados porque pareciam levar a
compreensões irreais, improváveis e incorretas.
O primeiro registro importante que temos é sobre o quadrilátero de um padre jesuíta,
nascido em San Remo, o qual leva o seu nome: Quadrilátero de Saccheri. Ele tentou
demonstrar o quinto postulado utilizando quadriláteros que tivessem dois ângulos retos e dois
lados congruentes, de modo que os outros dois ângulos poderiam ser retos, obtusos ou
agudos.
Figura 2 – Quadrilátero de Saccheri
Fonte: TERDMAN – A geometria hiperbólica e sua consistência
Parece-nos absurdo supor que os dois outros ângulos de um quadrilátero possam não
ser retos 5 , mas querendo demonstrar o primeiro caso (e, então, o postulado das paralelas), que
é o caso da Geometria Euclidiana, Saccheri tentou demonstrar que os outros dois casos (dos
ângulos obtusos e agudos) levavam a contradições, ou seja, utilizou-se de demonstrações por
absurdo. No entanto, só conseguiu resultados para o segundo caso. “Saccheri parece ter
perdido a paciência e, preferindo não acreditar no que via, decidiu refutar à força a hipótese
do ângulo agudo” (GARBI, 2009, 335). Mesmo sem conseguir uma contradição para o
terceiro caso, ele conseguiu “deduzir vários resultados estranhos, mas não uma contradição
(...). Embora não o reconhecesse, Saccheri descobriu a Geometria Não-Euclidiana”
(TERDIMAN, 1989, 34).
5 Uma demonstração acerca de os demais ângulos do quadrilátero de Saccheri serem congruentes e agudos pode
ser encontrada em „Convite às geometrias não-euclidianas‟, de Lázaro Coutinho, na página 54.

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peculiar.
Lambert tentou demonstrar o quinto postulado com um quadrilátero ainda mais
Figura 3 – Quadrilátero de Lambert
Fonte: TERDMAN – A geometria hiperbólica e sua consistência
Com um quadrilátero que se supunha ter apenas 3 ângulos retos, o matemático
deduziu muitas proposições para o caso de o quarto ângulo ser agudo 6 e mostrou que a
hipótese do ângulo agudo implicava a área do triângulo ser proporcional a suas
„deficiências‟ 7 . A partir disso, especulou que esta hipótese correspondia à Geometria sobre
uma esfera de raio imaginário.
Apesar de estes quadriláteros terem sido importantíssimos no processo de „desvelar‟
as Geometrias Não-Euclidianas, eles foram deixados de lado por muitos anos, pois continham
um quê de absurdo em sua construção. Para os que viviam naquela época, era difícil – e
também desnecessário, pois a humanidade ainda não pensava em dominar o macro e o micro
espaços com suas viagens para fora do planeta e para dentro do corpo humano – admitir a
existência de outros espaços. “Mesmo que o nosso universo não seja euclidiano no seu todo,
localmente, isto é, na nossa vizinhança imediata, comporta-se como um universo euclidiano”
(COUTINHO, 2004, 27) e, por isso, até onde a visão abarcava e tudo aquilo que se precisava
resolver geometricamente era totalmente satisfeito pelos resultados da Geometria Euclidiana.
Para que fosse possível começar a pensar em algo diferente daquilo que os olhos
humanos percebiam, foi necessário primeiro pensar em outras correntes filosóficas e passar
por diversas mudanças sociais – a matemática não é somente trabalho do pensamento,
realizado por um indivíduo só que se mantém longe das ideias e dos acontecimentos que
circulam pelo mundo, ela é um esforço humano, cujo desenvolvimento é influenciado por
sonhos, desejos, intuições, contatos com outras pessoas etc. Mas até então a intuição não era
tida como uma boa aliada da ciência, e o universo que se considerava existir era apenas aquele
que se podia ver.
6 Uma demonstração acerca de o quarto ângulos do quadrilátero de Lambert ser agudo pode ser encontrada em
„Convite às geometrias não-euclidianas‟, de Lázaro Coutinho, na página 56.
7 Segundo Terdiman (2009, 36), se o triângulo ABC é um triângulo qualquer, então 180º menos a soma dos
ângulos internos do triângulo ABC é um número maior ou igual a zero. Esse número é chamado „deficiência‟ do
triângulo e tem um papel muito importante na Geometria Hiperbólica. Um triângulo tem deficiência 0 (zero) se a
soma das medidas dos ângulos internos é 180º.

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As correntes filosóficas de maior influência no século XVII eram o Racionalismo de
Descartes e o Empirismo de Bacon, e ambas se opunham às ideias que vigoravam durante o
Feudalismo. “O conhecimento, na Europa, durante a Idade Média, era entendido como o
caminho de reconciliação do homem com o mundo; na Idade Moderna, o conhecimento é
visto como um meio de dominar a natureza, extraindo dela a riqueza material” (BRITO, 1995,
73). Neste cenário, a filosofia de Descartes difundiu-se prioritariamente na França, enquanto a
de Bacon difundia-se na Inglaterra.
Sucintamente, o racionalismo acreditava na possibilidade de se alcançar a verdade
através do pensamento, numa sistematização organizada na qual quaisquer conclusões
estariam (ou deveriam estar) embasadas nas afirmações anteriores a elas. Para uma corrente
filosófica que defendia a ordem do universo e pregava a indubitável existência de Deus,
pensar a existência de quadriláteros como os de Saccheri e Lambert era algo sem sentido.
Tudo aquilo que não fosse organizado, harmônico e imutável era produto das falsas sensações
geradas pelos sentidos humanos e, portanto, deveria ser descartado. Deus havia criado todas
as coisas e, portanto, o homem não podia contrapor-se a Ele e inventar novos espaços. As
propriedades dedutivas e organizadas da Geometria Euclidiana tinham no racionalismo um
trunfo que as defendia e legitimava.
Com relação ao empirismo, o conhecimento surgia das experiências sensíveis e da
indução, de modo que, empiricamente, se acreditava chegar à verdade das coisas não pelo
raciocínio, mas pela generalização do que era observável. Se, por exemplo, considerarmos
que todos os retângulos vistos na natureza possuíam os quatro ângulos retos, é-nos possível
compreender que os empiristas generalizariam este resultado para qualquer retângulo que
pudesse ser encontrado ou concebido no mundo. Havia o universo fora do homem que o
observava: novamente a Geometria Euclidiana ganha apoio da filosofia e sustenta-se na
compreensão de mundo que era assimilada na época.
Isto começa a mudar com o Criticismo de Kant, segundo o qual a síntese
(conhecimento) é realizada a partir de nossas estruturas da razão e da sensibilidade (em
termos simplificados, é possível dizer que o conhecimento se dava por um pouco de
observação e um pouco de raciocínio). Pela primeira vez na história da filosofia, o sujeito
passa a ser a fonte do conhecimento e admite-se que não há conhecimento sem ou fora dele.
No Criticismo não se atinge a verdade, mas se conhece apenas o que se manifesta ao sujeito
cognoscente (o que é chamado de fenômeno) e, ainda que as verdades matemáticas continuem
sendo universais, garantidas pelo apriorismo, elas não se referem mais às coisas em si e só

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existem porque existe o sujeito. Além disso, a imaginação e a intuição passam a ser
valorizadas e o estatuto epistemológico do conhecimento matemático é separado da
metafísica.
Kant entrou para a história das Geometrias Não-Euclidianas de um modo tão polêmico
quanto elas próprias: por um lado, em seu livro Crítica da razão pura, publicado em 1781, o
filósofo, percebendo que os geômetras daquele tempo apelavam para o senso comum e para
representações gráficas nas suas demonstrações, acreditou que a intuição deveria substituir o
rigor e declarou que o espaço euclidiano é uma “necessidade inevitável do pensamento”
(KANT apud MLODINOW, 2005, 123). “Kant foi um euclidiano convicto” (COUTINHO,
2004, 228) que, por outro lado, ao valorizar o papel da intuição, abriu as portas para que o
próprio espaço que defendia fosse subjugado a ela. De um modo paradoxal, então, a filosofia
de Kant permitiu que os matemáticos negassem algo em que o próprio filósofo acreditava.
Não obstante o prestígio de Kant, abandonou-se a ideia de que se poderia provar o quinto
postulado, privilegiando-se a intuição e a „criação‟ de novos espaços (COUTINHO, 2004).
Paralelo a tudo isso havia a escola alemã e, nela, as ideias de Leibniz e Tetens
defenderiam não existir universo fora da imaginação humana, e que toda a atividade poética,
ou seja, criadora, inclusive a ciência, não poderia ser explicada como simples acúmulo de
impressões: a imaginação estabelece um papel fundamental no ato de conhecer. O universo
agora podia ser pensado (e até mesmo inventado) coerentemente. Começava-se, pelo menos, a
admitir esta possibilidade.
Conforme sabemos, a matemática não sofre influência somente das formas como o
pensamento se articula, mas também da sociedade em que se desenvolve. Mudanças na
sociedade podem (ainda que isso não seja determinante) influenciar mudanças conceituais:
entre o final do século XVIII e o início do século XIX, houve uma quantidade de eventos que
modificaram as concepções vigentes sobre o homem, a sociedade e a ciência:
O desenvolvimento do Capitalismo e os ideais da Revolução Francesa fizeram surgir, por um
lado, um número cada vez maior de jovens intelectuais com o desejo de reconhecimento
social e de estabilidade econômica que não queriam, no entanto, entrar para o clero; e de
outro, um número de governantes desejosos em mostrarem-se ilustrados, para os quais a
principal função da educação superior era a formação de funcionários públicos – advogados,
mestres e médicos. A junção desses dois níveis de desejo impulsionou a educação técnica e
científica, levando à criação da Escola Politécnica em 1795 e da Escola Normal Superior em
1794, ambas na França, e a fundação ou a reformulação de várias universidades, sobretudo na

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Alemanha. O modelo de Escola Politécnica foi reproduzido em Praga, Viena, Estocolmo, São
Petersburgo, Copenhagen, em toda a Alemanha e Bélgica. Os matemáticos do século XIX não
se encontravam mais nas cortes reais ou nos salões da aristocracia. A sua principal ocupação
não consistia mais em ser membro de uma academia culta; eram frequentemente empregados
por universidades e escolas técnicas e eram professores, assim como investigadores. A
institucionalização, a partir do século XIX, da profissão de matemático nas universidades
possibilitou a pesquisa dos fundamentos da matemática emancipando-a dos problemas
colocados pela realidade empírica. (BRITO, 1995, 82)
A partir daí, o reinado da Geometria Euclidiana começa a esfacelar-se – mas não se
quebra em sua validade, posto que a Geometria Euclidiana não ficou nem ultrapassada, nem
inútil, mas na sua onipresença. Finalmente, devido a todas estas mudanças históricas,
filosóficas e epistemológicas, o homem percebe outros espaços geométricos.
As Geometrias Não-Euclidianas e outros modos de se ver o mundo
A Geometria Hiperbólica, publicada por János Bolyai em 1832, e a Geometria
Elíptica, publicada por Georg Bernhard Riemann em 1851, são conhecidas como „Geometrias
Não-Euclidianas Clássicas‟. A primeira nega o quinto postulado de Euclides com relação à
unicidade da reta paralela (ela afirma que, dada uma reta qualquer e um ponto fora dela, é
possível determinarmos mais de uma reta paralela a ela passando por este ponto) e a segunda
nega-o em relação à existência da reta paralela (ela afirma que, dada uma reta qualquer e um
ponto fora dela, não é possível determinarmos nenhuma reta paralela a ela passando por este
ponto). Se no início causaram enorme estranheza, estas teorias Geometrias são, hoje,
indiscutíveis realidades matemáticas.
Depois de tantas descobertas que foram modificando os conceitos da Geometria e o
modo como o homem a percebe e se relaciona com ela, atualmente podemos dizer que,
segundo a perspectiva da matemática, “as verdades da Geometria governam todas as coisas
que for possível intuir espacialmente, sejam reais ou produtos da nossa imaginação” (FREGE
apud BRITO, 1995, 19).
Cremos ser importante este „resgate‟ histórico não somente para compreendermos
como surgiram as Geometrias Não-Euclidianas, mas para ressaltar que a Matemática é uma
ciência que continua viva, e que pode ainda acrescentar novas surpresas à sua própria
História. Nos últimos anos, depois de Bolyai e Riemann, outras Geometrias têm surgido,
como a Geometria Projetiva, a Topologia, a Geometria do Taxista e a Geometria Fractal.
Somente o tempo dirá que outras novas Geometrias ainda vamos conhecer.

Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática
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Referências
BRITO, Arlete de Jesus. Geometrias não-euclidianas: um estudo histórico-pedagógico.
Dissertação de Mestrado. Campinas: Universidade Estadual de Campinas, 1995.
CASTRO, Karina A. de. A geometria hiperbólica como um exemplo das geometrias não
euclidianas. Disponível em:
http://www.facef.br/novo/3fem/Inic%20Cientifica/Arquivos/Karina.pdf. Acesso em: 18 nov.
2009.
COUTINHO, Lázaro. Matemática e mistério em Baker Street. Rio de Janeiro: Editora Ciência
Moderna, 2004.
EUCLIDES. Os elementos. São Paulo: Fundação Editora da UNESP, 2009.
GARBI, Gilberto Gerando. A rainha das ciências. São Paulo: Editora Livraria da Física,
2009.
MIORIM, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual,
1998.
MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides. São Paulo: Geração Editorial, 2005.
TERDIMAN, Esther Wajskop. A geometria hiperbólica e sua consistência. Dissertação de
Mestrado. São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 1989.