Métodos Quantitativos

Métodos Quantitativos
PROF. DR. Renato Vicente

Aula 6A
Revisão

Inferência
Estatística
Método Estatístico
População
Teoria de
Probabilidades
Amostra
Estatística
Descritiva

Jogos de Azar
Linha do Tempo da Estatística
Teoria de
Probabilidades
Teoria de
Evolução
1
2
3
Aritmética do Estado
Inferência Estatística
Métodos Nãoparamétricos
2000 aC 0 1000 1500 1750 1870 1930 1960 1980
Demografia
Teoria de
Erros
1 2 3
Computadores
Eletrônicos

Estatística Descritiva: Variáveis qualitativas
Classes de qualitativas:
Setores, barras, barras, rosa
de Nightingale

Ranking do PIB (do mais pobre
para o mais rico)
Estatística Descritiva: Variáveis quantitativas
140
120
100
80
60
40
20
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Índice de Desenvolvimento Humano
Quant X quant : Dispersão

Estatística Descritiva: Distribuições de variáveis
aleatórias
Histograma
Boxplot

Estatística Descritiva: Resumindo informação
+ robusto
Rol dos dados
Histogramas ou tabelas de freqüência
Média e Desvio Padrão
Sumário dos 5 números: Min, Segundo
Quartil (25%), Mediana (50%), Terceiro
Quartil (75%), Máx
Moda e Largura a Meia altura

Inferência
Estatística
Método Estatístico
População
Teoria de
Probabilidades
Amostra
Estatística
Descritiva

Probabilidades: Calculando Riscos de
Extrapolação
População
Média desconhecida=x
Amostra real estimativa
da média = x1
Dada uma única amostra de tamanho n, qual seria o
intervalo que conteria a média populacional
desconhecida em 95 % das vezes ?

Amostras
hipotéticas do
mesmo tamanho
Probabilidades: Calculando Riscos de
Extrapolação
Amostra real
Estimador= x1
População
Grandeza desconhecida=x
1. Imaginamos um número bem grande de amostras aleatórias
do mesmo tamanho.
2. Imaginamos que calculamos valores estimados em cada um
delas. Estes valores estimados estariam distribuídos em
torno do valor desconhecido da grandeza.
3. A Teoria de Probabilidades nos permite então descrever a
distribuição destes valores.

Inferência
Estatística
Inferência Estatística
População
Amostra
A teoria de probabilidades nos permite estimar a
partir de uma amostra um intervalo com confiança
definida para os valores na população. Para isso
calculamos um estimador de intervalo.

Inferência Estatística
Suponha que queiramos determinar a MÉDIA POPULACIONAL de uma
quantidade. A amostra tem tamanho n. Calculamos a média amostral:
E o desvio padrão amostral:
O intervalo de confiança é :
c depende do nível de confiança desejado e do número de dados n

Estatística T
Quando a amostra for pequena teremos que fixar uma confiança (por exemplo,
95%) e procurarmos pelo valor de c em uma tabela conhecida como estatística T.
http://www.dim.fm.usp.br/info/tabelat/tabelat.php
Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:
141 148 132 138
Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95%
para a média da população. Começamos por calcular a média:
Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75
Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:
DPA = 6,65

Estatística T
Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:
141 148 132 138
Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95% para a média
da população. Começamos por calcular a média:
Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75
Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:
DPA = 6,65
O número de graus de liberdade é n-1=3 (df=3). Consultando a tabela usamos
t(0.975), pois queremos um intervalo com 2,5% em cada lado (95% no total,
portanto). Na tabela obtemos t(0.975)= 3,18.
Assim teremos o seguinte intervalo com confiança de 95%:
139,75-3,18*6,65/RAIZ(4) < MÉDIA POP < 139,75+3,18*6,65/RAIZ(4)
IC_MédiaPop(95%) = [129,150]

Aula 6B
Regressão

Biometria: Regressão Linear
i 1 2 3 4 5 6 7
x(i) 11.2 12.4 13.5 15.7 17.1 18.5 19.0
y(i) 3.0 3.2 4.0 4.8 4.8 4.9 5.6
http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html

Regressão Linear
As distâncias entre as
observações e a reta escolhida
são aleatórias.
A melhor reta é aquela que
minimiza a soma total destas
distâncias (mínimos
quadrados)
http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html
A qualidade do ajuste é
medida pelo R2 (quadrado da
correlação de Pearson) que
significa a fração da variação
que é explicada pelo ajuste.
Assim R2=1 indica ajuste
perfeito.

Aula 6C
Testes de Hipóteses

Popper: Método Indutivo
Em 1934 Karl Popper publicou a Lógica da
Pesquisa Científica. Neste livro Popper procura
delimitar hipóteses científicas a partir da
propriedade de falseabilidade, ou seja, a partir da
possibilidade de realizar-se um experimento que
contradiga previsões deduzidas de uma hipótese
científica.
H -> C1, C2, C3, ... Cn
Como em geral não é possível verificar todos os
experimentos possíveis, não seria possível provar
uma hipótese. Mas apenas uma observação
contraditória seria suficiente para rejeitá-la.
Também não é possível garantir que as mesmas
consequências não possam emergir de outras
hipóteses.

Teste de Significância: valor p
Ronald A Fisher
(1890-1962)
Em 1925 Fisher publicou um livro que viria a ser o
primeiro manual de métodos estatísticos:
Statistical Methods for Research Workers . Neste
livro são apresentadas técnicas para avaliação do
VALOR-p, medida da probabilidade de obtermos
resultados iguais ou mais extremos do que nossas
observações dado que uma HIPÓTESE NULA
H0 seja verdadeira
Quanto menor p, mais improvável a observação
se H0 for verdadeira.
Se p< nível de significância (usualmente 5%)
rejeitamos H0. Se p>5% não-rejeitamos H0.
Poderia haver outra explicação, mas não há
evidência contra H0.
http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html

Neyman e Egon Pearson: Testes de
Hipóteses
Egon Pearson
(1895-1980)
Neyman e Pearson (filho de
Karl Pearson, odiado por R.A.
Fisher) notaram que os testes
de significância podem ser
aplicados de forma mais efetiva
quando a Hipótese nula é
comparada à uma Hipótese
Alternativa.
http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html
Jerzy Neyman
(1894-1981)

Comparando médias: Teste T
Grupo
controle
Grupo
em tratamento
Suponhamos duas amostras em um experimento com dois tratamentos. AS
distribuições amostrais são representadas acima

Comparando médias: Teste T
variabilidade
média
variabilidade
baixa
variabilidade
alta
Dependendo da variabilidade observada a diferença entre médias será mais
ou menos significativa.

Comparando médias: Teste T
sinal
Diferença entre as médias
ruído Variabilidade dos grupos
A estatística T mede a relação sinal ruído da diferença entre as médias
amostrais . Após calcular o valor t. Basta observar a significância em uma
tabela T. A Hipótese nula corresponde a médias idênticas. A hipótese
alternativa a médias diferentes.

Tipos de Erros
Inocente Culpado
Condenado Erro TIPO I Correto
Liberado Correto Erro TIPO II
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II

Tipos de Erros
http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II
Tipo II
inocente
Inocentes
suspeitos
culpado
Criminoso
s espertos
com bons
advogados
aparência de culpa
Tipo I

Poder e Significância de um Teste
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II
O poder de um teste é a probabilidade de que o teste rejeite uma
hipótese nula falsa. Ou seja é a probabilidade de que H1 seja julgada
verdadeira quando realmente for verdadeira.
Alternativamente é a chance de que o teste não cometa um erro do Tipo
II, ou seja será 1-β=1-P(Erro Tipo II).
A probabilidade de erros do tipo I é a significância do teste α=P(Erro
Tipo I). Normalmente fixa-se primeiro a significância (1% ou 5%), a partir
disso define-se o intervalo de rejeição da hipótese nula. O poder do
teste é conseqüência desta escolha, do tamanho da amostra e da
própria amostra. Testes com poder muito baixo são pouco informativos.
http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html