aplicaç ões de métodos de topologia e geometria diferencial à física

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Sebastião Alves Dias CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 H (1,t) = G(1,t) = γ (t). Além disso, ⎧ ⎨ F (2s,0) = x0, 0 ≤ s ≤ 1/2, H (s,0) = ⎩ G(2s − 1,0) = x0, 1/2 ≤ s ≤ 1. com um cálculo similar sendo feito para H (s,1). = x0, 0 ≤ s ≤ 1, Naturalmente, o próximo passo será impor um produto no espaço quociente, gerado pela relação de homotopia. A proposta mais óbvia, baseada nas nossas considerações anteriores, é [α] ∗ [β] = [α ∗ β] . Contudo, antes de verificar se, com esta lei de composição, o espaço quociente se torna um grupo, devemos garantir a independência em relação ao representativo, como mencionamos na primeira aula. Se tomarmos outros laços representando as classes, α ′ e β ′ , a independência do representativo estaria garantida se α ′ ∗ β ′ = [α ∗ β]. Devemos, então, mostrar que α ′ ∗ β ′ é homotópico a α ∗ β. Suponha que A(s,t) seja uma homotopia entre α e α ′ , e B (s,t), uma homotopia entre β e β ′ . Veremos que ⎧ ⎨ F (s,2t) , 0 ≤ t ≤ 1/2, C (s,t) = ⎩ G(s,2t − 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1, é uma homotopia entre α ∗ β e α ′ ∗ β ′ . De fato, ⎧ ⎨ A(0,t) , 0 ≤ t ≤ 1/2, C (0,t) = ⎩ B (0,2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1, ⎧ ⎨ α (t) , 0 ≤ t ≤ 1/2, = ⎩ β (2t − 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1, Além disso, = α ∗ β (t). ⎧ ⎨ A(1,t) , 0 ≤ t ≤ 1/2, C (1,t) = ⎩ B (1,2t − 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1, ⎧ ⎨ α = ⎩ ′ (t), 0 ≤ t ≤ 1/2, β ′ (2t − 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1, = α ′ ∗ β ′ (t), 190
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Aplicações de Métodos de ... e, C (s,0) = A(s,0) = x0 e C (s,1) = B (s,1) = x0. Daí, [α ′ ∗ β ′ ] = [α ∗ β], e o produto de classes de equivalência está bem definido. Este produto induz uma estrutura de grupo no espaço quociente. Para ver isso, vamos verificar que as propriedades usuais que caracterizam um grupo estão satisfeitas. A candidata natural para identidade é a classe de equivalência do laço constante. Para isso ocorrer, temos que mostrar que [α ∗ c] = [c ∗ α] = [α] . A homotopia entre α ∗ c e α é ⎧ ⎨ α (2t/(1 + s)), 0 ≤ t ≤ (1 + s)/2 F (s,t) = , ⎩ x0, (1 + s)/2 ≤ t ≤ 1 enquanto a homotopia entre c ∗ α e α é ⎧ ⎨ x0, 0 ≤ t ≤ (1 − s)/2 F (s,t) = . ⎩ α ((2t − 1 + s)/(1 + s)), (1 − s)/2 ≤ t ≤ 1 Assim, vemos que [c] faz o papel de identidade no candidato a grupo. A homotopia ⎧ ⎨ α(2t (1 − s)), 0 ≤ t ≤ 1/2 F (s,t) = ⎩ α(2(1 − t)(1 − s)) , 1/2 ≤ t ≤ 1 interpola entre α ∗ α −1 e c. Daí, α ∗ α −1 = [c], e pode-se mostrar, analogamente, que α −1 ∗ α = [c], o que seleciona o elemento inverso como sendo [α] −1 = α −1 . A associatividade segue do fato de que ⎧ ⎪⎨ α(4t/(1 + s)), 0 ≤ t ≤ (1 + s)/4 F (s,t) = β (4t − s − 1) , ⎪⎩ γ ((4t − s − 2) /(2 − t)), (1 + s)/4 ≤ t ≤ (2 + s)/4 (2 + s)/4 ≤ t ≤ 1 é uma homotopia entre (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ). Com isso, está mostrado que o espaço das classes de equivalência por homotopia é um grupo, que recebe o nome de grupo fundamental (ou primeiro grupo de homotopia) de X no ponto x0, e é indicado por π1 (X,x0). Tal como foi exposto, pareceria, numa primeira vista, que o grupo fundamental teria que ser calculado em cada ponto do espaço X. Isso não é verdade. Tomemos um laço α que tenha x0 como ponto base, um outro laço β que seja baseado em x1 e um caminho γ saindo de x0 e chegando em x1. Usando γ e γ −1 , observamos que o laço γ −1 ∗α∗γ está baseado em x1, assim 191
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