aplicaç ões de métodos de topologia e geometria diferencial à física

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Sebastião Alves Dias CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 O conjunto formado por todas as classes de equivalência é chamado conjunto quociente de X pela relação R (ou espaço quociente, ou grupo quociente, dependendo da estrutura que ele acomodar) e é denotado como X/ ∼. Teremos bastante interesse num tipo específico de relação de equivalência, imposto sobre conjuntos que possuam a estrutura de grupo. Dado um subgrupo H ⊂ G, podemos estabelecer a seguinte relação de equivalência em G: diremos que g1 ∼ g2 se g1 = g2h, onde h ∈ H (mostre você mesmo que esta é uma relação de equivalência!). A classe de equivalência de g é usualmente denotada por [g] ≡ gH, e é chamada de classe lateral à esquerda (em inglês, left coset). O conjunto quociente do grupo G por esta relação de equivalência é chamado G/ ∼≡ G/H. Um método sistemático para montar as classes de equivalência de G/H consiste em fixar um elemento g e multiplicá-lo por todos os elementos de H. se as outras classes de equivalência encontradas assim não são redundantes. É preciso, contudo, checar Em geral G/H não possui estrutura de grupo, exceto na circunstância em que H é um subgrupo normal. Pode-se mostrar isto, a partir de uma proposta de lei de composição no conjunto quociente da seguinte forma (g1H)(g2H) := (g1g2) H. Com a lei de composição acima, é fácil mostrar que G/H é um grupo. Contudo, quando tratamos com classes de equivalência, devemos mostrar que a lei de composição é válida independente do representativo, para obter consistência em nossas afirmações. Tomemos ¯g1 como representativo de g1H e ¯g2 representando g2H. Será que (¯g1H) (¯g2H) = (g1g2) H? Para isto, devemos mostrar que (g1g2) H = (¯g1¯g2) H, ou seja, devemos encontrar um h ∈ H tal que ¯g1¯g2 = g1g2h. Mas, ¯g1 = g1h1 e ¯g2 = g2h2, com h1 e h2 ∈ H. Assim, ¯g1¯g2 = g1h1g2h2 = g1h1g2h2g −1 2 g2. Como o subgrupo H é normal, g2h2g −1 2 = h3 ∈ H. Prosseguindo na mesma linha, g1h1h3g2 = g1h4g2 = g1g2g −1 2 h4g2 = g1g2h5, 182
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Aplicações de Métodos de ... onde usamos que H é um subgrupo para que h4 = h1h3 ∈ H e o fato de H ser normal para definir h5 = g −1 2 h4g2 ∈ H. Mostramos, assim, que ¯g1¯g2 = g1g2h5, com h5 = g −1 2 h1g2h2, que era o que queríamos provar. Observe a importância crucial do fato de H ser subgrupo normal, na demonstração acima. Caso H não fosse normal, a definição de produto de classes de equivalência seria dependente do representativo e, portanto, não faria sentido. Observe ainda que sempre há uma classe de equivalência [h], formada pelos elementos de H. Quando H é normal, esta classe desempenha o papel de identidade no grupo quociente. Com isto, estamos prontos para mostrar o teorema fundamental do homomorfismo, que diz o seguinte: considere dois grupos G1 e G2 e um homomorfismo f : G1 → G2. Então, G1/ker f ∼ = Im f Para mostrar o teorema, vamos definir um mapeamento φ : G1/ker f → Im f como φ([g]) = f (g). Como todo mapeamento envolvendo classes de equivalência, primeiro devemos nos certificar de que ele seja bem definido, ou seja, independente do representativo. De fato, os elementos de uma classe [g] diferem entre si por produtos com elementos h ∈ ker f, Assim g ′ = gh. φ g ′ = f g ′ = f (gh) = f (g) f (h) = f (g) ē = f (g) = φ([g]) . Vamos mostrar que φ é um isomorfismo. Para isto, verificamos primeiro que ele é um homomorfismo, φ([g1] [g2]) = φ([g1g2]) = f (g1)f (g2) = φ([g1])φ([g2]) , onde, lembramos, pudemos usar a lei de composição bem definida no espaço quociente pelo fato de ker f ser um subgrupo normal de G1. Devemos mostrar que φ é injetivo e sobrejetivo 183
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