aplicac¸ ˜oes de métodos de topologia e geometria diferencial `a física

Sebastião Alves Dias CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006
Por outro lado, a Teoria das Cordas propiciou o desenvolvimento de novas técnicas na área
de Topologia Algébrica e as chamadas Teorias Topológicas de Campos foram fundamentais na
resolução de problemas antigos num ramo da Matemática chamado de Teoria dos Nós.
Este seminário visa apresentar, de maneira sucinta, algumas técnicas matemáticas que tem
encontrado aplicações modernas na Física, em todas as suas áreas. Vamos nos concentrar nos
espaços quocientes (com maior detalhe), devido ao fato destes espaços serem o ponto de partida
para uma ampla variedade de métodos matemáticos. A partir daí, apresentaremos o conceito
de homotopia e de grupo fundamental, e apenas mencionaremos a definição das variedades
diferenciáveis e seu papel nas modernas teorias das interações fundamentais. A maior parte
dos assuntos que abordaremos aqui poderá ser estudada em muito maior detalhe na bibliografia
citada ao final destas notas [1–3], onde também poderão ser encontradas muitas referências a
mais, inclusive aos trabalhos originais.
II. LEIS DE COMPOSIÇÃO, HOMOMORFISMOS E GRUPOS
Começamos imaginando um conjunto X no qual esteja definida uma operação (que chamare-
mos de lei de composição) que associa, a cada dois elementos de X, digamos a e b, um terceiro
elemento que chamaremos de a ◦ b. Como exemplo, podemos tomar o conjunto de todas as
matrizes n × n reais, com a seguinte lei de composição:
a ◦ b = ab − ba = [a,b] ,
onde ab refere-se ao produto de matrizes usual. Observe que a lei de composição acima não é
necessariamente comutativa (a ◦ b = b ◦ a) nem associativa ((a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)).
Considere dois conjuntos, X e Y , onde sejam definidas leis de composição. Vamos denotar
a operação em X pelo símbolo ◦ e a operação em Y por ∗. Assim, estamos supondo que, se a
e b pertencem a X, a ◦ b também pertence, e se u e v pertencem a Y , u ∗ v ∈ Y . Um mapa
f : X → Y é chamado de homomorfismo se
f (a ◦ b) = f (a) ∗ f (b).
Podemos ver que a estrutura algébrica do espaço X é preservada em Y , ou seja, o que acontece
em X entre a e b acontece em Y entre f (a) e f (b). Se, além disso, o mapa f for bijetivo
(sobrejetivo e injetivo), o homomorfismo em questão é chamado de isomorfismo, os espaços X
e Y são ditos isomorfos e este fato é denotado por X ∼ = Y .
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