aplicaç ões de métodos de topologia e geometria diferencial à física

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Sebastião Alves Dias CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Mostraremos agora que Imf é um subgrupo de G2: sejam ¯g1 e ¯g2 ∈ Im f. Então, ¯g1 = f (g1) e ¯g2 = f (g2), para pelo menos dois g1 e g2 ∈ G1. O produto de ¯g1 e ¯g2 pode, então, ser escrito como ¯g1¯g2 = f (g1)f (g2) = f (g1g2) = f (g) , com g = g1g2. Assim, se ¯g1 e ¯g2 ∈ Im f, ¯g1¯g2 ∈ Im f. A identidade pertence a Im f, pois f (e) = f (ee) = f (e) f (e) . Multiplicando por (f (e)) −1 dos dois lados (lembre-se que G2 é um grupo!), f (e) = ē, o que diz que ē ∈ Im f (e, além disso, que é, pelo menos, a imagem da identidade de G1). Se ¯g pertence a Im f, e ¯g = f (g), f gg −1 = ē = f (g) f g −1 = ¯gf g −1 = f g −1 ¯g. Isso diz que f g −1 = ¯g −1 (a inversa é única, para cada elemento do grupo, tente mostrar!). A associatividade é novamente decorrente da propriedade similar em G2, o que estabelece que Imf é um subgrupo de G2. Além disso, ker f é um subgrupo normal de G1 (um subgrupo H de um grupo G é dito normal se, para cada h ∈ H, ghg −1 ∈ H, para todo g ∈ G). Para ver isso, tomemos um h ∈ ker f e um g arbitrário em G1. Vemos que, f ghg −1 = f (g) f (h) f g −1 = f (g) ēf g −1 = f (g) f g −1 = f gg −1 = f (e) = ē. Portanto, ghg −1 ∈ ker f para todo g ∈ G. III. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E CONJUNTOS QUOCIENTES Precisaremos, para explorar a relação entre os homomorfismos e os espaços conectados por eles, do conceito de relação de equivalência: chamamos de relação R num conjunto X, um 180
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Aplicações de Métodos de ... subconjunto de X × X ≡ X 2 . Se um ponto (a,b) de X 2 está em R, dizemos que a se relaciona com b pela relação R, ou ainda aRb. Um exemplo de relação é o subconjunto de R 2 R = {(a,b) |a e b ∈ R e a < b} . A relação entre a e b é denotada, nesse caso, como a < b. Uma relação é dita de equivalência se satisfaz às seguintes propriedades 1. (a,a) sempre pertence a R, para todo a ∈ X; 2. Se (a,b) ∈ R, (b,a) ∈ R; 3. Se (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ R, então (a,c) ∈ R. Uma relação de equivalência (observe que o exemplo citado não satisfaz os requisitos acima) é usualmente denotada pelo símbolo “∼”. Assim, se (a,b) pertence à relação, escrevemos a ∼ b e lemos “a é equivalente a b”. Como exemplo, tomemos o conjunto X = {a,b,c}. ver que R = {(a,a) ,(b,b) ,(c,c) ,(a,b) ,(b,a)} é uma relação de equivalência sobre X. É simples A existência de uma relação de equivalência num conjunto X faz com que ele se particione naturalmente em subconjuntos onde, em cada um, todos os elementos são equivalentes uns aos outros. Estes subconjuntos são chamados de classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento a é denotada por [a]. O elemento a usado para denotar a classe de equivalência [a] (poderia ser qualquer elemento equivalente a a) é chamado de representativo da classe. No exemplo dado acima temos duas classes de equivalência, [a] e [c]. Mostramos muito facilmente que: 1. As classes de equivalência são disjuntas ou coincidem (se duas classes têm interseção não nula, não pode haver elemento de uma que não pertença também à outra): de fato, suponha que a ∈ [a1] e a ∈ [a2] e que b ∈ [a1] e b /∈ [a2]. Então a ∼ a1, o que implica em a1 ∼ a. Como a ∼ a2, pela terceira propriedade, a1 ∼ a2 e, então, [a1] = [a2]. Logo, b ∈ [a2], o que contraria a hipótese; 2. Todo elemento de X está em uma e apenas uma classe de equivalência: como, para todo a ∈ X, a ∼ a, vemos que a ∈ [a]. Se ele pertencer a outra classe, ela coincidirá com [a], pelo que foi mostrado no ítem anterior. 181
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