aplicaç ões de métodos de topologia e geometria diferencial à física

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Sebastião Alves Dias CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Fig. 2: Correspondência entre laços baseados em x0 e em x1. O caminho γ sai de x0 e chega em x1. como γ ∗ β ∗ γ −1 é um laço baseado em x0. Assim, se o espaço é conectado por arcos, a cada laço em x0 pode ser associado um laço em x1 e vice versa (figura 2). Com isto, podemos propor o seguinte mapeamento entre π1 (X,x0) e π1 (X,x1): se [α] é um elemento de π1 (X,x0), σγ ([α]) = γ −1 ∗ α ∗ γ . Da mesma forma, se β é um laço em x1, pertencente à classe [β] ∈ π1 (X,x1), existe outro mapeamento entre π1 (X,x1) e π1 (X,x0): σ γ −1 ([β]) = γ ∗ β ∗ γ −1 . Vamos mostrar que ambos são homomorfismos e que um é o inverso do outro, o que mostra que σγ é, na verdade, um isomorfismo entre π1 (X,x0) e π1 (X,x1). Para isso, precisamos de um resultado auxiliar: vamos ver que o laço γ ∗ γ −1 em x0 é homotópico ao loop constante. 192
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02): 177-195, 2006 Aplicações de Métodos de ... Este laço é escrito explicitamente como γ ∗ γ −1 ⎧ ⎨ γ (2t) , 0 ≤ t ≤ 1/2 (t) = . ⎩ γ (2(1 − t)) , 1/2 ≤ t ≤ 1 A seguinte homotopia interpola entre γ ∗ γ−1 e c: ⎧ ⎨ γ (2t (1 − s)), 0 ≤ t ≤ 1/2 F (s,t) = ⎩ γ (2(1 − t)(1 − s)) , 1/2 ≤ t ≤ 1 Podemos, agora, ver facilmente que [α1 ∗ α2] = [α1] ∗ [α2] = [α1] ∗ [c] ∗ [α2] = [α1] ∗ γ ∗ γ −1 ∗ [α2] = α1 ∗ γ ∗ γ −1 ∗ α2 (imagine que, por exemplo, α1 circunde um buraco e α2 circunde outro; γ ∗ γ −1 não circunda buraco nenhum, pois, por definição, vai e volta sobre si mesmo continuamente, o que faz com que possa ser continuamente contraído a um ponto, não contribuindo para a classe de equivalência). Assim, σγ ([α1 ∗ α2]) = σγ α1 ∗ γ ∗ γ −1 ∗ α2 = γ −1 ∗ α1 ∗ γ ∗ γ −1 ∗ α2 ∗ γ = γ −1 ∗ α1 ∗ γ ∗ γ −1 ∗ α2 ∗ γ = σγ ([α1]) ∗ σγ ([α2]). De modo similar, vemos que σ γ −1 também é um homomorfismo, mas de π1 (X,x1) em π1 (X,x0). Vemos, então que e σγ σγ−1 [α] −1 = σγ γ ∗ α ∗ γ = γ −1 ∗ γ ∗ α ∗ γ −1 ∗ γ = [α] , σ γ −1 (σγ [β]) = σ γ −1 γ −1 ∗ β ∗ γ = γ ∗ γ −1 ∗ β ∗ γ ∗ γ −1 = [β]. 193
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