Gabarito Extensivo – MATEMÁTICA volume 1 – Frente B

sen
cos
tan
Gabarito Extensivo – MATEMÁTICA
volume 1 – Frente B
30° 45° 60°
1
2
01) E
x 4 5
2 2 2
3
2
3
3
2
x 25 16
2
x 9
x 3
x+y=3+8=11
02) 2 3 2 m
2
2
2
2
3
2
1
2
1 3
sen30
1 4
2 y
y 8
cateto oposto
hipotenusa
Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura x da colina.
Importante observar que o triângulo AOC é isósceles com as medidas AO OC 4 x .
tg30
3 x
3 4 x
cateto oposto
cateto adjacente
4 3 x 3 3x
x 3 3x 4 3
x 3 3 4 3
x
4 3 4 3
3 3 3 3
4 3 3 3 12 3 12 12 3 12
x .
3 3 3 3 9 3 9 3
12 3 12
x 2 3 2 m
6

03) 22m
Seja x a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da
entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada.
cos60
1 x
2 20
2x 20
x 10
x
20
Distância entre os prédios = 10+12=22m
04) A
Seja QR x
tg30
a b
x 10
3 a b
3 x 10
x 3 10 3
3
x 3 10 3
3
a b
x 3 10 3 3x 3
3x 3 x 3 10 3
3x x 10
x 5
x 3 a b
a b x 3
a b 5 3
x 3
tg60
3
a b
x
x 3 a b
a b
x
Mas o cateto a b multiplicado por 3 fica:
5 3. 3 5.3 15 unidades
cos45
2 y
2 12 2
2y 12 4
y
12 2
12.2
y 12
2
y 12

05) B
Seja x a altura da parte do prédio (Cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo.
Com o valor do seno de α podemos encontrar o cosseno e tangente de α utilizando a relação fundamental
2 2
4
sen cos 1 e a fórmula da tangente em função de seno e cosseno. Para sen , inicialmente
5
calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo.
2 2
sen cos 1
4
5
16
25
cos
cos
2
2
2
cos 1
2
cos 1
9
25
3
5
tg
sen
cos
4
tg 5
3
5
4 5
.
5 3
4
3
tg
4
3
Logo, x + altura da casa = altura do prédio = 11,2+4,8 = 16
06) A
Tangente de α em função dos
catetos:
x
tg
8,4
4 x
3 8,4
x 11,2
Seja x a altura da montanha.
cat.oposto
tg30
cat.adjacente
x
tg30
600
3 x
3 600
3x 600 3
x
600 3
3
x 200 3 m
07) A
Altura da rampa = 15cm + 15cm = 30cm = 0,3m= cateto oposto ao ângulo de 30°.
x = comprimento da rampa.
0,3
sen3
x
0,3
0,05
x
0,3
x
0,05
x 6m

08) E
tg30
x
80 y
3 x
3 80 y
tg60
3
x
y
x y 3
x
y
3 x
3 80 y
3 y 3
3 80 y
80 y
3y 3
3
3y y 80
y 40
Altura do prédio é igual a x mais a altura da pessoa que é 1,73m. Logo,
x+1,73 = 69,2+1,73≈71m
09) C
cos45
1000
x
2 1000
2 x
x 1000 2 1414m
10) A
cos60
1 10
2 L
2
2
L 20
11) C
10
L
2
H
tg60
10
H
3
10
H 10 3
sen30
1 10 3
2 L
1
1
1
L 20 3
L 34,6
H
L
1
x y 3
x 40 3
x 69,2
L1+L2=20+34,6
L1+L2≈54,6m

x
tg60
1,8
x
3
1,8
x 1,8 3
x 3,1
12) D
Conforme os dados do exercício, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distância
AC = x, basta aplicar o teorema de Pitágoras.
2 2 2
x 6 (8 x)
x 36 64 16x x
16x 100
x
2 2
13)
Observe que a h (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo:
Logo, com relação:
sen
sen30
1 h
2 200
h 100m
14)
cat.oposto
hipotenusa
h
200
Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no segmento DE . Observe ainda que o ângulo DFA
mede 30° fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja x = DF = AE :
25
4

tg30
3 x
3 50
x
50
x
50 3
3
DF
50 3
3
FA
50 3
3
Portanto, AB 50 25 75
cos30
x
50 3
3
3 x
2 50 3
3
50 3. 3
2x
3
50.3
2x
3
2x 50
x 25
15)
Seja x a distância entre o ponto B e o pinheiro.
tg( )
h
d x
tg( )
h
x
d x
h
tg( )
x
h
tg( )
h
x d
tg( )
h h
d
tg( ) tg( )
h h
tg( ) tg( )
d
1 1
h d
tg( ) tg( )
tg( ) tg( )
h d
tg( ).tg( )
h
h
16) C
d
tg( ) tg( )
tg( ).tg( )
d.tg( ).tg( )
tg( ) tg( )
Observe que a hipotenusa do triângulo destacado é 2,5m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y.
2
2,5
2
1,5
2
y
Seja z = y+x
2
y 6,25 2,25 4,00
2
3,9
2
1,5
2
z
y 2m
2
z 12,96
z 3,6
x+y=3,6
x+2=3,6
x=1,6
17) D
3tg 4tg
tg
4tg
3
tg
h
PT
h 4tg
PT 3
tg
3h
4PT
18)
tg
h 10
PT
h 10 3h
PT 4PT
h 10
3h
4
4h 40 3h
h 40m

sen60
3 x
2 8
x 4 3
x
8
y
cos60
8
1 y
2 8
y 4
Y+4=4+4=8
10 8 z
2 2 2
2
z 36
z 6
Altura do poste: x z 4 3 6 6 4 3 m
19) C
Seja h a altura da torre e x a distância entre a torre e o ponto de observação em no qual formou-se um
ângulo β tal que tg 3 3 :
tg60
3
rad 60
3
h
4 x
h
4 x
4 3 x 3 h
x 3 h 4 3
tg
x 3
h
x
h
3
x 3 h 4 3
x 3
h
3
h
h
3
4 3
2h
3
4 3
h 6 3
h 4 3
h
3

20)
a)
Seja x a distância entre P e Q:
2
x
2
1
2
7
2
x 49 1
2
x 48
x 4 3
PQ 4 3dm
Seno do ângulo BPQ (α):
No triângulo BPQ, a distância PB = hipotenusa = y
2
y
2
2
2
(4 3)
2
y 4 48
2
y 52
y 2 13dm
Cateto oposto
sen
hipotenusa
2 1 13 13
sen .
2 13 13 13 13
sen
b)
13
13
O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60°. Dessa forma a distância percorrida pela bicicleta
numa volta completa da roda maior (360°) é,
60 60
D 2 r dm
360 360
Comprimento da circunferência menor C2=2πr C2=2π2 C2=4π dm
Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor, e observe a relação envolvendo o comprimento da
circunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:

360
D C
2
360
4
90
Comprimento da circunferência maior C1=2πr= C1=6π,
A relação entre os comprimentos C1 e C2 é
C1 6 3
1,5
C2 4 2
Isso significa que a quando a volta maior dá uma volta completa, a roda menor dá 1,5 volta. Nessas
condições, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará 1,5x80=120 voltas
21)
Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:
tg
10
30
1
3
tg
h 1,5
x
1 h 1,5
3 x
x 3h 4,5 i
Juntando i e ii, temos:
3h 4,5 2h 7
3h 2h 7 4,5
h 11,5m
tg
10
20
1
2
tg
h
x
1,5
10
1 h 1,5
2 x 10
x 10 2h 3
x 2h 7 ii

22) D
x = OA0
sen30
1 1
2 x
x 2
23) C
1
x
Ângulo Â0=60°
y=A0A2
cos60
y
1
y
1
2
0,5
Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.
tg30
3 20
3 x
20
x
x 20 3cm
OA2=2-0,5=1,5
z=A2A3
sen30
z
1,5
1 z
2 1,5
z
1,5
2
3
2
2
3
4
Cada degrau mede 20 3cm de comprimento. Como o comprimento horizontal da escada é de
280 3cm , então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo
comprimento do degrau.
280 3cm
14 degraus
20 3cm
24) D
Considere x BE :
3,84
cos16
x
3,84
0,96
x
3,84
x 4m
0,96
Como o comprimento do telhado é de 4m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelhas com
2,20m cada uma, portanto 2,2+2,2=4,4m. Logo, o transpasse será de 40cm
25) D
Seja x AD e y DO :

sen60
3 x
2 r
x
AD
3r
2
3r
2
x
r
3r
2
y r
y
2 2
r
2
2
y r
3r
4
2 2
3r r r 3r
AD DB BE CE r
2 2 2 2
2r
AD DB BE CE r
2
AD DB BE CE 2r
26) B
B 180 75 45 60
x = Distância do pontos A ao ponto C
8 x
sen45 sen60
8 x
2 3
2 2
x 2 8 3
2 2
x 2 2.8 3 8 3
2 2 2 2
8 3 2
x .
2 2
x 4 6
27) 2 2 2
4 2 3 2.2.3cosB
16 4 9 12cosB
12cosB 13 16
1
cosB
4
01 correto
2
DB r
r
2
r
2
BE DO
r
2
CE r
2 2 2
3 2 4 2.2.4cosA
9 4 16 16cosA
16cosA 20 9
11
cosA 16
02 correto
3r
2
2 2 2
2 3 4 2.3.4cosC
4 9 16 24cosC
24cosC 25 4
7
cosC 8

2 2
sen C cos C 1
2 2
sen C 1 cos C
2
sen C 1
15
2
sen C
64
senC
15
8
04 correto
7
8
2
2 2
sen B cos B 1
2 2
sen B 1 cos B
2
sen B 1
15
2
sen B
16
senC
15
4
08 correto
O triângulo ABC é obtusângulo, pois cosB
1
4
90 B 180
Logo, a resposta correta é 01+02+04+08+16=31
28) A
Com os dados o triângulo fica. Observe ainda que o ângulo 75° = 45°+30°
1
4
2
. (16 – correto)
Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, necessitaremos calcular o valor do seno de 75°.
Utilizaremos o seno de arco duplo:
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
sen75°=sen(45°+30°)
sen a b sen a cos b cos a sen b
sen 45 30 sen45 cos30 cos45 sen30
2 3 2 1
sen 45 30 . .
2 2 2 2
sen 45 30
sen 45 30
sen 75
6 2
4
6 2
4 4
6 2
4
2 a
sen45 sen60
2 a
2 3
2 2
3 a 2
2. 2 2
a 2 2 3
a 6

2 b
sen45 sen75
2 b
2 6 2
2 4
b 2 6 2
2
2 4
b 2 4
6 2
4
b 2 6 2
b
b
6 2
2
6 2
2 2
b 3 1
Perímetro:
P = a + b + c
P 2 3 1 6
P 3 3 6 cm
29) C
O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a Lei dos cossenos podemos calcular o
cosseno de A:
2 2 2
8 4 6 2.4.6.cosA
48cosA 52 64
cosA
1
4
2 2
sen A cos A 1
2
2 1
sen A 1
2
sen A 1
4
1
16
15
2
sen A
16
senA
15
4

30)
C 180 60 75 45
30 x
sen45 sen60
30 x
2 3
2 2
3 2
30. x
2 2
30 3 2
x .
2 2
x 15 6
Seja y a altura do edifício CD .
y
tg30
15 6
3 y
3 15 6
y
15 6 3
3
y 5 18m
Agora, dividindo o resultado por 2 :
5 18
2
5 9 15m
31) B
6 8
sen30 senB
6 8
1 senB
2
8
6senB 2
6senB 4
2
senB
3
32) C
Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo

Logo, os cossenos desses ângulos são:
33) 12
cosB
3
5
2
sen B
2
cos B 1
2
2 3
sen B 1
2
sen B 1
5
2
sen B
25
4
senB 5
9
25
16
2 2 2
1 2 2 2.2.2cos
8cos 8 1
cos
7
8
1 1 7
, e
4 4 8 .
Pela lei dos cossenos:
2
x (x
2
1) (x
2
2) 2(x 1)(x 2)cosB
2 2 2 2
x x 2x 1 x 4x 4 2(x 2x x 2)
5
2 2
0 x 6x 5 (2x 4x 2x 4)
5
2 2
5x 30x 25 6x 12x 6x 12
2
x
ou
12x 13
5
0
2
x 12x 13
x1 0
x
13
1 Não serve
2
Logo, os lados do triângulo são 13, 14 e 15. Agora basta calcular a altura y
y
senB 13 2
4 y
5 15
3
0
3
2 2 2
2 2 1 2.2.1cos
4cos 5 4
cos
1
4

y
15.4
5
y 12
34) D
Errata: Considere CBD=90° .
Observe que ABD 60 90 150 . Com a lei dos cossenos para cos150 cos30 e x=AD:
2 2 2
x 3 4 2.3.4( cos30 )
2
x 9 16 24.
2
2
x 15 12 3
x 15 12 3
35) A
3
Com o ângulo ABC 150 , podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância x=AC e
cos150°=-cos30°
2
2 2
x 300 3 200 2.300 3.200cosB
2
x 90000.3 40000 120000 3.
2
x 270000 40000 60000.3
2
x 490000
x 700m
36) E
PSQ 60
PQS 30
Seja PQ=x:
tg30
3 x
3 3
x 1
PQ 1
x
3
RS 12 x
RS 11
3
2
QS y
2 2
y 1 3
2
y 1 3
y 2
QS 2
2
QR z
2 2
z 12 3
2
z 144 3
z 147
QR 147
2

Aplicando a lei dos senos com sen(120°)=sen(60°) no triângulo QRS
11 147
sen sen60
11 147
sen 3
2
11 147 2
.
sen 1 3
11 147
2
sen 3
11
2 49
sen
11
2.7
sen
11
sen
14
37)
OAP 120
BAP 60
APB 45
AP y
AB x
3 3 y
sen120 sen30
3 3 y
3 1
2 2
y 3 3 3
2 2
y 3 3 3
3 3 3 3 3 3
y .
3 3 3
y 3 1
x 3 1
sen45 sen75
Pelo exercício 28, sen75°= sen75
x 3 1
2 6 2
2 4
2 3 1 4
x . .
2 1 6 2
6 2 4
x .
2 6 2
x 2
AB 2km
6 2
4

38)
1
MB
2
1
BN
2
No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no
ângulo B :
2 2 2
14 1 1 1 1
2 cosB
4 2 2 2 2
7 1 1 2 cos B
8 4 4 4
7 2 cos B
8 4 2
A 180 B
cos A cos(180º B)
3
2
Com a Lei dos cossenos em DAM :
Seja, x DM ¨
2
2 2
1 1
x 1 2 .1cos A
2 2
2
x 1
x
x
x
2
2
1 3
4 4
1
2
4
4
4
3
2
2
cos B 1 7
2 2 8
cos B 3
2 8
3
cos B
2

39) B
Errata, considere o ângulo 105° no lugar de 150°:
Considere primeiramente o triângulo ABC, com B 45 e x BC :
x 50
sen30 sen45º
x 50
1 2
2 2
2 50
x
2 2
x 25 2
Agora, basta calcular a altura h do triângulo retângulo BDC.
h
sen30
25 2
1 h
2 25 2
2h 25 2
h 12,5 2m
40) E
O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo
ao lado x+2:
2 2
2
x 2 x x 1 2x x 1 cos
2 2 2 2
(2x 2x)cos x x 2x 1 x 4x 4
2 2
(2x 2x)cos x 2x 3

cos
2
x 2x 3
2
(2x 2x)
(x 1)(x 3)
cos
2x(x 1)
(x 3)
cos
2x
41) B
É necessário calcular os lados x e y do triângulo:
Lei dos cossenos com lado y:
2
y
2
x
2
8 16x cos60
1
2 2
y x 64 16x.
2
2
y
2
x 64 8x (2)
Utilizando a equação (1) em (2):
2
x 64 8x 12 x
x 64 8x 144 24x x
8x 24x 144 64
2 2
16x 80
x 5m
x y 12
5 y 12
y 7m
42) A
2
Seja x AB BC e pela lei dos cossenos em 30°,
3
2
1
2
x
2
x
2
2x cos30
2
2 2
3 1 2x 2x .
2
2
2 2
3 1 2x 2x .
2
2 2
2x x 3 3 2 3 1
2
x 2 3 4 2 3
2
x 2 3 2 2 3
3
3
Com perímetro medindo 20m,
x y 8 20
x y 12
y 12 x
2
2
y 12 x (1)

x
2
2
x 2
x 2
2 2 3
2 3
Altura do triângulo ABC:
2
x
2
h
3
2
1
2
2
2 h
2
3 2 3
4
1
Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula:
AB.BC.sen30
Área
2
1
2. 2. 2
Área
2
Área
Área
1
2.
2
2
1
2
2
43) B
O Triangulo AOC é retângulo com hipotenusa AC = 5. Nessas condições
2 2 2
OA OC AC
OC 5 3
2 2 2
OC 4
Seja α o ângulo OCD que é igual ao ângulo ODC . Então, o DOC 180 2
sen
1
3
2
sen
2
cos 1
1
3
2
2
cos 1
1
2
cos 1
9
2 2
cos
3
Agora, para calcular a área do triângulo OCD, basta utilizar a mesma fórmula do exercício anterior,
considerando que sen(180°-2α)= sen(2α). Devemos utilizar a fórmula:
sen(2α)=2 sen(α).cos(α).

Área
4.4.sen(2 )
2
Área
4.4.2sen( ).cos( )
2
Área 16.sen( ).cos( )
1 2 2
Área 16. .
3 3
Área
44) B
32 2
9
Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo)
BISSETRIZ(A)
Seja x=AB
AC.AB
.2Cos
AC AB
A
2
o
3x 90
2 .2Cos
3 x 2
OBS: cos45
3x 2
2 .2
3 x 2
3x
1 .1
3 x
3x 3 x
2
2
45
3
x
2
Agora, basta utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa BC:
2 2 2
BC AC AB
2
BC
2
3
3
2
2
BC 9
9
4
BC
BC
BC
2
45
4
45
4
3 5
2
45) C
(a b c)(a b c) 3ab
2
2
a ab ac ab
2
b bc ac bc
2
c 3ab
2 2 2
a 2ab b c 3ab
Isolando c:

2 2 2
a 2ab b c 3ab
2 2 2
c a 2ab b 3ab
2 2 2
c a b ab (A)
Mas pela lei dos cossenos em C :
2
c
2
a
2
b 2abcos C (B)
Fazendo (A) = (B):
2 2 2 2
a b 2abcosC a ab b
2 2 2 2
2abcosC a ab b a b
2abcosC ab
ab
cos C 2ab
1
cos C 2
Logo, C 60
46) A
Seja x=AB AC=3x
2
2 2
32 x (3x) 2.x.3x.cos
1
2 2
32 x 9x 6x .
3
32 x 9x 2x
2 2 2
2
32 8x
x 2
Então, AB é um inteiro par!
Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto ao lado x:
2
2 2
2 6 32 2.6. 32.cos
4 36 32 12.4. 2.cos
48 2.cos 64
cos
64
48 2
4 2
cos .
3 2 2
cos
4 2
3.2
2 2
cos 0,942809
3
O Cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante, e como 0,94
ângulo 30 .
1
, podemos concluir que o
2

47) B
No triângulo BAD com a lei dos cossenos:
2
DB
2
13
2
46 2.13.46.cos120
2
DB 169 2116 1196cos120
2
DB 2285 1196.
2
2
DB
2
2285 598
DB 2883
DB 2883
DB 961.3
DB 31 3
BD
AC sen120
31 3
AC 3
2
31 3 2
AC .
1 3
AC 62
48) D
Pela lei dos senos, temos que
1
diferente,
sen a 1 a c
sen c
sen
sen
a
b
3
5
b
5a
3 ou
a b c 44
5c
c c 44
3
5c
2c 44
3
44
c 3. 11
c 12
Como a=c, a 12
b
a b c
sen sen sen
5c
3
, ou ainda escrevendo a mesma lei de forma

a b c 44
12 b 12 44
b 20
Maior lado, b=20.
49) D
Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos:
2 2 2
4 b 1 2.b.1cos x
2
16 b 1 2bcos x
2
b 2b cos x 15 0
Com a fórmula de Báscara:
b
b
b
b
2
( 2cos x) ( 2cos x) 4.1.( 15)
2.1
2
2cos x 4cos x 60
2
2
2cos x 4(cos x 15)
2
2
2cos x 2 cos x 15
2
2
b cos x cos x 15
Interessante que até aqui já dispomos de um resultado válido, no entanto aplicando a igualdade
fundamental da trigonometria:
2 2
cos x sen x 1
2 2
cos x 1 sen x
2
b cos x 1 sen x 15
2
b cos x 16 sen x
50) B
51) E
O é o centro da circunferência de raio AO=OB
Como o comprimento de arco menor AB é 1cm, o perímetro em cm é igual:
2 .1 1 1 1 2 1

52) C
sen(x)
2 2
sen x cos x 1
12
13
2
12
13
2
cos x 1
144
2
cos x 1
169
2
cos x
cos x
25
169
5
13
Resposta: 5
3
53) A
sen(x)
tg x = ?
4 3
,
5 2
x 2
2
sen x
2
cos x 1
2
cos x 1
16
2
cos x 1
25
cos x
3
5
, pois está no segundo quadrante.
4
5
sen(x) 4 5 4
tg(x) .
cos(x) 5 3 3
tg(x)
4
3
2

54)
cos
2 2
sen x cos x 1
2
2 3
sen x 1
2
sen x 1
25
2
sen x
senx
3
5
5
16
25
4
5
9
sen(x) 4 5 4
tgx .
cos(x) 5 3 3
tgx
4
3
55) E
Dividimos 4555° por 360°, e analisamos o resto da divisão = 235°. Este é o ângulo equivalente e está no
terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é 4555°-360° = 4195°.
56) A
sen(x) 2m 3
0 2m 3 1
3 2m 1 3
3 2m 4
3 m 2
2
57)
sen(x) 1
37 2sen(x) 37 2( 1) 37 2
y 13
3 3 3
y 13
58) C
cos
,
2
3m 1
4

3m 1
1 0
4
4 3m 1 0
4 1 3m 1
3 3m 1
1
1 m 3
59) C
1 2k 1 0
1 1 2k 1
0 2k 1
0 k
60) A
1
2
sen 0 e cos 0 3 Q
cos 0 e tg 0 2 Q
sen 0 e cot g 0 1 Q
61) C
I. sen 1 < sen 3 (falso)
II. cos 1 < cos 3 (falso)
III. cós 1< sem 1 (verdadeiro)
62)
sen40 sen320 .log13
7
243 15
Temos que:
sen 320° = -sen 40°
Então,
23
23 23 23
sen40 sen40 .log13 0.log13 0
243 15 243 15 243 15
7 7 7
23
0 0

63)
2
(V) sen x
2
cos x 1
Relação fundamental
2
(F) senx
2
sen x
sen(x.x) ≠ senx.senx
2
(V) senx
2
(senx)
(V) cos3 0
(V) sen17°=cos73°
sen(x)=cos(90°-x)
(V) sen 2 20°+ sen 2 70°=1
sen70°=cos20°
Relação fundamental
(V)tg40°.tg50°=1
sen40 cos50
Considere : ,
cos 40 sen50
sen40 sen50 cos50 sen50
. = . 1
cos 40 cos50 sen50 cos50
64) Alternativa falsa.
cos x 0 e tgx 0, então
2
x
3
2
2
65)
x
C
AB
2 ra
360
C
AB
2 .60.a
360
124
a 120
cos120 cos60º
1
2

66) D
Da letra A à R teremos 18 cadeiras
Move-se 5
de uma volta
6
5
18. 15 P
6
67)
I. cos(-x)=-cos(x) Falso
II. cos
2
x sen(x) Verdadeiro
III. cos( x) cos(x) 0
cos(x) cos(x) 0 Verdadeiro
68) A
sen(a) cos , então a
I. a 2k
2
2
Verdadeiro
2 2
2k
2
II. sen a
2
sen 1 Verdadeiro
sen(a) sen cos
2
2 2
cos sen 1
III. sen( a) cos( ) Falso
69) 12
01. Falso,
sen315 sen45
7
sen sen
4 4
02. Falso
180
1 x
3,14x 180
x 57,32
04. Verdadeiro
1h20min
min = 4.30°=120°
horas = 30°+10° = 40°
120° - 40°=80°
08. Verdadeiro

2r = 28
L = 12cm
R=14cm
12 = 14.a
12 6
a 1
14 7
16. Falso
5
p.d.p rad
4
Soma: 04 + 08 = 12
70) C
Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à hipotenusa:
2
m
2
2(b
2
c )
4
2
a
, como o triângulo é retângulo, e ‘a’ for a hipotenusa, logo:
2
m
2 2
2a a
4
2
m
2
a
2
triângulo proposto m
4
bc
bc
2
a
4
a
b
a
a
1
4
(cos )(cos )
1
4
Mas , são ângulos complementares, pois o triângulo é retângulo. sen cos .
(cos )(cos )
1
4
2(cos )(cos )
1
2
sen(2 )
1
2
2
sen (2 )
2
cos (2 ) 1
1
4
2
cos (2 ) 1 cos(2 )
3
2
A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante.
2
Usando a relação trigonométrica: cos ( )
1 cos(2 )
:
2
2
cos ( )
2
cos ( )
1
2
3
2
2 3
2
2

2 2 3
cos ( )
4
cos( )
71) C
3,14
N 1 ?
2 3
4
2.3,14
N 7,85
0,8
Logo, o maior valor de N é 7.
Com isso,
7.0,8 a 2
5,6 a 2.3,14
a 0,68
72) B
Maria
Restaurante
Lanchonete
5.2 R
12
4.2 R
12
5 R
6
4 R
6
Restaurante 2R
Carmem
Lanchonete 2R
2 R
1.
12
12R
6
R R(12
6
)
Sérgio
Restaurante
Lanchonete
2R
2R
2 R
2.
12
2 R
1.
12
12R 2 R R(12 2 )
6 6
12R R R(12 )
6 6
I. Correta
II. Correta
III. Correta
73) A
AB 60°
2 R 2.3.6400.60
L 6400km
360 360
BC 45°
2 R 2.3.6400.45
L 4800km
360 360
ABC = 6400 + 4800
ABC = 11.200km

74)
L
2 R
360
2 R 90
360
2.3.6400 R
4
9600
L 9600km