Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV ...

Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática – Ensino Fundamental
Título: Soluções de Sistemas de Equações do Primeiro Grau
Tópico
11. Sistemas de Equações do
Primeiro Grau
Introdução
Habilidades
11.1. Identificar a(s) solução(ões) de um sistema de duas
equações lineares.
11.2. Resolver problemas que envolvam um sistema de
duas equações do primeiro grau com duas
incógnitas.
Em muitos problemas temos informações que relacionam duas grandezas
através de equações lineares. Vejamos, através de alguns exemplos, que
somente uma tal informação em geral não é suficiente para determinarmos o
valor exato de cada uma das grandezas relacionadas:
1. Se uma sala de aula possui 50 estudantes, o que podemos dizer sobre
a quantidade de meninos e meninas nesta sala de aula? Ora, só
podemos dizer que o número de meninos mais o número de meninas é
igual a 50. Mas o número exato de meninos e de meninas na sala é
impossível de ser determinado somente com a informação de que
existem 50 estudantes na sala. Isto porque podem existir várias
possibilidades: 1 menino e 49 meninas; 2 meninos e 48 meninas, 3
meninos e 47 meninas; e assim sucessivamente.
2. Com a venda de refrigerante e de pão-de-queijo uma lanchonete
arrecadou em um dia R$ 42,00. O que podemos dizer da quantidade
de refrigerante e da quantidade de pão-de-queijo vendidos nesse dia
se cada refrigerante custa R$ 2,00 e cada pão-de-queijo custa R$
0,50? Como no exemplo anterior, aqui temos duas grandezas
relacionadas: a quantidade x de refrigerante e a quantidade y de

pão-de-queijo vendidos. Dos dados do problema, a única coisa que
podemos dizer é 2 x + 0,
5y
= 42 . Entretanto, através desta equação que
relaciona x e y não podemos calcular os valores individuais de x e
de y . Isso porque esta equação possui várias soluções, tais como:
x = 21 e y = 0 ; x = 20 e y = 4;
x = 19 e y = 8 , etc.
Estes exemplos ilustram que somente uma informação que relaciona duas
grandezas não permite a determinação do valor individual de cada uma
dessas grandezas. Entretanto, neste módulo didático, veremos que se
possuímos duas relações lineares entre duas grandezas, em geral, podemos
determinar o valor exato de cada uma delas.
Exemplos de sistemas lineares
Exemplo 1: Uma sala de aula possui 50 estudantes e tem 20 meninas a mais
que meninos. Qual a quantidade de meninos e de meninas nesta sala?
Solução: neste exemplo temos duas informações sobre o número de meninos
e de meninas na sala: a soma destas quantidades é igual a 50, e a diferença
entre o número de meninas e o número de meninos é igual a 20. Vejamos
que estas duas informações se traduzem em duas equações lineares entre
as grandezas: quantidade de meninos x e quantidade de meninas y .
• Como o número de meninos mais o número de meninas é igual a 50
vemos que x + y = 50 .
• Como existem 20 meninas a mais que meninos vemos que y = x + 20 .
Assim vemos que para determinar o valor de x e o valor de y devemos
resolver as equações x + y = 50 e y = x + 20 simultaneamente. Para
representar que x e y são soluções destas duas equações ao mesmo
tempo, escrevemos essas duas equações sobre o mesmo sinal de chaves,
como está indicado a seguir:

⎧x
+ y = 50
⎨
⎩y
= x + 20
Neste Módulo Didático veremos algumas técnicas de resolução de duas
equações simultaneamente. Entretanto, para este exemplo específico
podemos proceder do seguinte modo. Como y = x + 20 podemos substituir y
por x + 20 na equação x + y = 50 . Deste modo obtemos:
30
x + y = 50 ⇒ x + ( x + 20)
= 50 ⇒ 2x
+ 20 = 50 ⇒ 2x
= 30 ⇒ x = ⇒ x = 15.
2
Agora, como x = 15 e y = x + 20 podemos calcular y do seguinte modo:
y = x + 20 = 15 + 20 = 35 . Essas contas mostram que x = 15 e y = 35 .
Portanto na sala de aula existem 15 meninos e 35 meninas.
Observação: é importante verificar que os valores calculados satisfazem as
informações dadas no enunciado do problema: a quantidade total de alunos
na sala é igual a 50, e que existem 20 meninos a mais que meninas. Mas isso
pode ser facilmente verificado por 15+35=50 e que 35=15+20.
Exemplo 2: Com a venda de refrigerante e de pão-de-queijo uma lanchonete
arrecadou em um dia R$ 42,00. Além disso, ela vendeu o triplo de pão-de-
queijo do que de refrigerante. O que podemos dizer da quantidade de
refrigerante e da quantidade de pão-de-queijo vendidos nesse dia se cada
refrigerante custa R$ 2,00 e cada pão-de-queijo custa R$ 0,50? Como
Solução: Neste exemplo temos duas informações que relacionam as
grandezas: quantidade x de refrigerante e quantidade y de pão-de-queijo
vendidos: o total arrecadado foi de R$ 42,00 e foi vendido o triplo de pão-de-
queijo. Em termos das variáveis x e y essas informações podem ser
traduzidas do seguinte modo:

• Com cada refrigerante custa R$ 2,00 e foram vendidos x refrigerantes,
foram arrecadados 2 x reais com a venda de refrigerantes. Por outro
lado, cada pão-de-queijo custa R$ 0,50 e como foram vendidos y
pães-de-queijo foram arrecadados 0 , 5y
reais com a venda de pães-
de-queijo. Daí, como o total arrecadado foi de R$ 42,00, podemos
escrever a equação 2 x + 0,
5y
= 42 .
• Além disso, foram vendidos o triplo de pães-de-queijo do que
refrigerantes. Isso significa então que y = 3x
.
Assim a quantidade de refrigerante e a quantidade de pão-de-queijo vendidos
são números x e y que satisfazem a equação 2 x + 0,
5y
= 42 e a equação
y = 3x
ao mesmo tempo. Como no exemplo anterior, para indicar que
queremos resolver essas duas equações ao mesmo tempo, as escrevemos
sobre um mesmo sinal de chaves, como indicado a seguir.
⎧2x
+ 0,
5y
= 42
⎨
⎩y
= 3x
Podemos proceder do seguinte modo para resolver essas duas equações.
Como y = 3x
, substituímos y por 3 x na equação 2 x + 0,
5y
= 42 . Desse modo
obtemos 2 x + 0,
5(
3x)
= 42 ⇒ 2 x + 1,
5x
= 42 ⇒ 3 , 5x
= 42 ⇒ x = 12 . Daí,
como y = 3x
obtemos y = 3 ⋅12
= 36 .
Portanto concluímos que a lanchonete vendeu 12 refrigerantes e 36 pães-de-
queijo.
Observação: ao terminar a solução de um exercício como esse sempre vale a
pena verificar se os valores encontrados realmente satisfazem os dados do
problema ou, equivalentemente, as equações deduzidas durante a solução.
Neste caso, substituindo x = 12 e y = 36 nas equações 2 x + 0,
5y
= 42 e
y = 3x
obtemos 2 ⋅ 12 + 0,
5 ⋅36
= 42 e 36 = 3⋅12
, que são expressões
verdadeiras. Procedendo deste modo, verificamos que a solução do problema
está, de fato, correta.

Equações e Sistema Lineares
Uma equação linear nas incógnitas x e y é uma equação do tipo ax + by = c
em que a , b e c são números dados. Exemplos de equações lineares são:
2 x + 5y
= 7 − 4 x + 8y
= 35 0 . 4x
− 3y
= 4.
2 x + 2 y = 9
5 1
x − 2y
= 3x = 4 − 5y
8 y − 7x
= 1 x = 3y
4 3
Por outro lado, as equações a seguir não são lineares, pois elas não são do
tipo ax + by = c em que a , b e c são números.
1 1
3 xy = 4 + = 1
x y
2
1
x − 3y
= 4
− 4y
= 7
x
Agora, um sistema linear nas incógnitas x e y é um conjunto de duas
equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente.
Representamos, como nos exemplos a seguir, as duas equações que devem
ser resolvidas simultaneamente sobre um mesmo sinal de chaves.
⎧3x
− 2y
= 1
⎨
⎩x
+ 5y
= 10
A solução de um sistema linear
⎧x
− y = 2
⎨
⎩x
+ 2y
= 1
⎧0,
1x
+ 2y
= 3,
4
⎨
⎩2x
− 0,
2y
= 5,
1

⎧4x
− y = 3
Exemplo 3: Considere o sistema linear ⎨ . Uma solução para este
⎩−
x + 2y
= 8
sistema é um par de números x e y que tornam as duas equações
verdadeiras. Vejamos, que para esse exemplo os números x = 2 e y = 5
constituem uma solução do sistema. Para fazer isso, precisamos somente
substituir esses valores nas equações e verificar que elas se tornam
expressões verdadeiras. De fato, se x = 2 e y = 5 então
4 x − y = 4 ⋅ 2 − 5 = 8 − 5 = 3 e
− x + 2 y = −2
+ 2 ⋅5
= −2
+ 10 = 8 .
Portanto, para x = 2 e y = 5 vemos que as equações do sistema são
verdadeiras, e assim x = 2 e y = 5 constituem uma solução deste sistema.
Exemplo 4: Considere o sistema linear
⎧2x
+ 3y
= 5
⎨
. Vamos verificar que os
⎩−
4x
+ y = 6
números x = −2
e y = 3 não constituem uma solução deste sistema.
Solução: Substituindo os valores x = −2
e y = 3 nas equações do sistema
obtemos:
⎧2
⋅ ( −2)
+ 3⋅
3 = 5
⎨
⎩−
4 ⋅ ( −2)
+ 3 = 6
⇒
⎧−
4 + 9 = 5
⎨
⎩8
+ 3 = 6
⇒
⎧5
= 5
⎨
⎩11
= 6
Este desenvolvimento nos mostra que os valores x = −2
e y = 3 satisfazem a
primeira equação, mas não satisfazem a segunda equação do sistema. Assim
esses números não constituem uma solução do sistema pois eles não
satisfazem simultaneamente as suas duas equações.

Exemplo 5: Sabe-se que os números -3 e 1 constituem uma solução do
sistema linear
⎧7x
− 3y
= 16
⎨
. Quais são os valores de x e de y que
⎩3x
+ 4y
= −9
constituem a solução deste sistema?
Solução: Neste exemplo queremos ilustrar o fato que não é suficiente dizer
que os números -3 e 1 constituem uma solução do sistema. Isso porque,
neste caso, não foi informado o valor correspondente de cada incógnita x e
y . Observe que sendo –3 e 1 números que satisfazem o sistema, temos
duas opções: x = −3
e y = 1,
ou então x = 1 e y = −3
. Devemos analisar cada
um destes casos e verificar qual deles define a solução do sistema.
Substituindo x = −3
e y = 1 nas equações do sistema obtemos:
⎧7(
−3)
− 3⋅1
= 16
⎨
⎩3(
−3)
+ 4 ⋅1
= −9
⇒
⎧−
21−
3 = 16
⎨
⎩−
9 + 4 = −9
⇒
⎧−
24 = 16
⎨
⎩5
= −9
Como x = −3
e y = 1 não satisfazem as equações do sistema, vemos que
x = −3
e y = 1 não é uma solução do sistema dado.
Agora vamos substituir x = 1 e y = −3
nas equações do sistema. Neste caso
obtemos:
⎧7
⋅1
− 3(
−3)
= 16
⎨
⎩3
⋅1
+ 4(
−3)
= −9
⇒ ⎨
⎩ ⎧7
+ 9 = 16
3 −12
= −9
⇒ ⎨
⎩ ⎧16
= 16
− 9 = −9
Como x = 1 e y = −3
tornaram verdadeiras as equações do sistema, vemos
que x = 1 e y = −3
constituem a sua solução.

Resolvendo sistemas lineares
Na seção anterior, vimos como verificar se dois números específicos são a
solução de um dado sistema linear. Agora, veremos algumas técnicas para a
determinação da solução de um sistema linear.
Resolvendo sistemas lineares: método da substituição
Para resolver um sistema linear utilizando o método da substituição, podemos
seguir os seguintes passos:
(1) Isolamos uma das incógnitas x ou y em qualquer uma das equações
do sistema.
(2) Substituímos a expressão da incógnita isolada na outra equação do
sistema.
(3) Isso nos fornece uma equação em uma única incógnita. Resolvendo
essa equação, obtemos o valor de x ou de y .
(4) Substituímos esse valor na expressão obtida no item (1) por exemplo,
para calcularmos o valor da outra incógnita.
Exemplo 6: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧3x
− 2y
= −4
⎨
.
⎩4x
+ y = 13
Solução: Vamos resolver este sistema utilizando o método da substituição,
seguindo os passos descritos acima.

(1) Podemos isolar o valor de y na segunda equação do sistema. Isso
nos fornece a igualdade y = 13 − 4x
.
(2) Agora vamos substituir y por 13 − 4x
na primeira equação do sistema.
Fazendo isso obtemos a seguinte equação que só tem a incógnita x
3x − 2(
13 − 4x)
= −4
.
(3) Agora devemos resolver essa equação, procedendo, por exemplo, do
seguinte modo
3x − 2(
13 − 4x)
= −4
⇒ 3x − 26 + 8x
= −4
⇒ 11 x = 22 ⇒ x = 2 .
(4) Agora substituímos esse valor x = 2 na equação y = 13 − 4x
obtida no
passo (1). Assim obtemos y = 13 − 4 ⋅ 2 = 13 − 8 = 5.
Portanto obtemos x = 2 e y = 5 como solução do sistema linear dado.
Antes de terminar este exemplo é importante observar que, após resolver um
sistema linear, podemos substituir os valores calculados nas equações do
sistema para verificar se os números encontrados realmente satisfazem as
equações, ou se cometemos algum erro durante a solução do problema.
Substituindo então x = 2 e y = 5 nas equações do sistema obtemos:
⎧3
⋅ 2 − 2 ⋅5
= −4
⎨
⎩4
⋅ 2 + 5 = 13
⇒
⎧6
−10
= −4
⎨
⎩8
+ 5 = 13
⇒
⎧−
4 = − 4
⎨
⎩13
= 13
Como obtemos duas igualdades verdadeiras, concluímos que resolvemos
corretamente o sistema e que sua solução de fato é x = 2 e y = 5 .
Exemplo 7: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧3x
− 2y
= 12
⎨
.
⎩2x
+ 5y
= −11
Solução: Neste exemplo também vamos seguir detalhadamente os passos
descritos acima para a solução de um sistema pelo método da substituição.

(1) Vamos isolar o valor da incógnita x na primeira equação do sistema:
12 + 2y
3x
− 2y
= 12 ⇒ 3x
= 12 + 2y
⇒ x = .
3
(2) Substituindo esse valor de x na segunda solução do sistema obtemos a
12 + 2y
seguinte equação que só envolve a incógnita y : 2 + 5y
= −11.
3
(3) Agora devemos resolver essa equação efetuando, por exemplo,
12 + 2y
2 + 5y
= −11
⇒ 2(
12 + 2y)
+ 15y
= −33
⇒ 24 + 4y
+ 15y
= −33
3
19y = −57
⇒ y = −3
.
(4) Agora podemos substituir o valor y = −3
na equação
⇒
12 + 2y
x = para
3
12 + 2(
−3)
12 − 6 6
calcularmos o valor de x . Obtemos assim: x = = = = 2 .
3 3 3
Portanto concluímos que a solução do sistema é x = 2 e y = −3
.
Calculada a solução do sistema, vamos agora substituir os valores
encontrados nas equações do sistema só para verificar que não cometemos
nenhum erro durante a sua resolução. Efetuando estas substituições obtemos
⎧3
⋅ 2 − 2(
−3)
= 12
⎨
⎩2
⋅ 2 + 5(
−3)
= −11
⇒
⎧6
+ 6 = 12
⎨
⎩4
−15
= −11
⇒
⎧12
= 12
⎨
⎩−11
= −11
Como obtemos duas igualdades verdadeiras, confirmamos que a resolução
do sistema está correta e que, realmente, x = 2 e y = −3
constituem a
solução do sistema linear dado.

Nos próximos exemplos continuaremos a resolver um sistema linear pelo
método da substituição. Porém mostraremos que na prática não precisamos
ficar detalhando cada passo executado.
Exemplo 8: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧2
⎪ x + 2y
= 6
⎨3
.
⎪
⎩4x
− 3y
= 6
Solução: Isolando y na primeira equação do sistema, obtemos
2
2
1 ⎛ 2 ⎞
1
x + 2y
= 6 ⇒ 2y
= 6 − x ⇒ y = ⎜6
− x⎟
⇒ y = 3 − x .
3
3
2 ⎝ 3 ⎠
3
Substituindo esse valor de y na segunda equação do sistema, obtemos a
⎛ 1 ⎞
seguinte equação na incógnita x : 4 x − 3⎜3
− x⎟
= 6 . Agora resolvemos essa
⎝ 3 ⎠
equação procedendo, por exemplo, como:
⎛ 1 ⎞
4 x − 3⎜3
− x⎟
= 6 ⇒ 4 x − 9 + x = 6 ⇒ 5 x = 15 ⇒ x = 3
⎝ 3 ⎠
1
Agora substituindo o valor x = 3 na equação y = 3− x obtemos
3
1
y = 3 − 3 ⇒ y = 3 −1
⇒ y = 2 . Portanto a solução do sistema é x = 3 e y = 2 .
3
Entretanto, como sempre, podemos substituir os valores calculados nas
equações do sistema para termos certeza de que essa resolução está
correta. Então, efetuando estas substituições, obtemos

⎧2
⎪ ⋅3
+ 2 ⋅ 2 = 6
⎨3
⎪
⎩4
⋅3
− 3⋅
2 = 6
⇒
⎧2
+ 4 = 6
⎨
⎩12
− 6 = 6
⇒
⎧6
= 6
⎨
⎩6
= 6
Como obtemos duas igualdades confirmamos que, de fato, a solução do
sistema é x = 3 e y = 2.
Exemplo 9: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧2x
+ 4y
= 1
⎨ .
⎩6x
− 5y
= 3
Solução: Isolando x na primeira equação do sistema obtemos
1−
4y
2x
+ 4y
= 1 ⇒ 2x
= 1−
4y
⇒ x = .
2
Substituindo esse valor de x na segunda equação do sistema obtemos uma
⎛1 − 4y
⎞
equação que só contém a incógnita y : 6 ⎜ ⎟ − 5y
= 3.
Agora resolvemos
⎝ 2 ⎠
essa equação para calcularmos o valor de y .
⎛1 − 4y
⎞
6 ⎜ ⎟ − 5y
= 3 ⇒ 3(
1−
4y)
− 5y
= 3 ⇒ 3 −12y
− 5y
= 3 ⇒ 17y
= 0 ⇒ y = 0
⎝ 2 ⎠
Substituindo y = 0 na equação
que a solução do sistema linear dado é
1− 4y
x = obtemos
2
1
x = e y = 0 .
2
1
x = , e daí concluímos
2
Finalmente, para terminar o exemplo, vamos substituir os valores
encontrados nas equações do sistema para verificar que a solução executada

está correta. Substituindo
do exemplo obtemos
1
x = e y = 0 nas equações dadas no enunciado
2
⎧ 1
⎪2
⋅ + 4 ⋅ 0 = 1
2
⎨
⎪ 1
6 ⋅ − 5 ⋅ 0 = 3
⎪⎩
2
⇒
⎧1
= 1
⎨ .
⎩3
= 3
Como obtemos duas igualdades, concluímos que a solução do exemplo está
correta e que a solução do sistema é, de fato,
1
x = e y = 0 .
2
Resolvendo sistemas lineares: método da eliminação
Vamos apresentar agora, através de alguns exemplos, o método da
eliminação para a solução de um sistema linear.
Exemplo 10: Vamos calcular a solução do sistema linear ⎨
⎩ ⎧2x
+ 3y
= 8
.
x − 4y
= 15
Solução: Para resolver um sistema pelo método da eliminação, devemos
multiplicar uma, ou eventualmente as duas equações do sistema, por um
número que torne iguais os coeficientes da incógnita x (ou y , tanto faz) nas
duas equações do sistema. Neste exemplo em particular, observamos que se
multiplicarmos a segunda equação por 2, as duas equações terão o termo
2 x . Efetuando essa multiplicação obtemos
⎧2x
+ 3y
= 8
⎨
⎩2x
− 8y
= 30
Agora subtraímos (termo a termo) uma equação da outra. Observe que ao
fazer isso, eliminamos as parcelas iguais 2 x .

E obtemos uma equação que só envolve y : 3y − ( −8y)
= 8 − 30 . Esta equação
implica que 11y = −22
, ou seja, y = −2
. Agora basta substituir esse valor de
y em qualquer uma das equações do sistema para obtermos o valor de x .
Substituindo na segunda equação x − 4 y = 15 , por exemplo, obtemos
x − 4 ⋅ ( −2)
= 15 , o que implica que x = 15 − 8 = 7 .
Portanto a solução do sistema é x = 7 e y = −2
.
Para concluir vamos substituir esses valores no sistema dado para verificar
que eles são, de fato, soluções do sistema. Substituindo x = 7 e y = −2
nas
equações do enunciado do exemplo obtemos
⎧2
⋅ 7 + 3⋅
( −2)
= 8
⎨
⎩7
− 4 ⋅ ( −2)
= 15
⇒
⎧14
− 6 = 8
⎨
⎩7
+ 8 = 15
⇒
⎧8
= 8
⎨
⎩15
= 15
Como obtemos duas igualdades verdadeiras, confirmamos que x = 7 e
y = −2
constituem, de fato, a solução do sistema.
Exemplo 11: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧3x
+ 2y
= 1
⎨ .
⎩11x
+ 6y
= 1
Solução: Neste exemplo vamos efetuar algumas operações nestas equações
para eliminar a variável y . Para isso, observe que se multiplicarmos a
primeira equação por 3, as duas equações terão o fator 6 y , conforme pode
ser observado a seguir:

⎧9x
+ 6y
= 3
⎨
⎩11x
+ 6y
= 1
Agora subtraímos (termo a termo) essas duas equações para obter uma
equação que só contém a incógnita x .
Efetuando essa subtração obtemos então a igualdade 9x − ( 11x)
= 3 −1,
ou
seja, − 2 x = 2 ⇒ x = −1.
Agora substituímos o valor x = −1
em qualquer uma das duas equações do
sistema dado para calcularmos o valor de y . Efetuando essa substituição na
primeira equação, obtemos
3 ⋅ ( −1)
+ 2y
= 1 ⇒ − 3 + 2y
= 1 ⇒ 2y
= 4 ⇒ y = 2 .
Portanto a solução do sistema é x = −1
e y = 2 .
Para verificar que esta solução está correta, vamos substituir os valores
x = −1
e y = 2 nas equações dadas. Efetuando estas substituições obtemos
⎧3
⋅ ( −1)
+ 2 ⋅ 2 = 1
⎨
⎩11⋅
( −1)
+ 6 ⋅ 2 = 1
⇒
⎧−
3 + 4 = 1
⎨
⎩−11+
12 = 1
⇒
⎧1
= 1
⎨ .
⎩1
= 1
Estas duas igualdades nos mostram que esta resolução está correta e que,
de fato, x = −1
e y = 2 constituem a solução do sistema.

Exemplo 12: Vamos calcular a solução do sistema linear ⎨
⎩ ⎧3x
− 2y
= −22
.
− 6x
+ y = 29
Solução: Neste exemplo vamos ilustrar que podemos eliminar uma incógnita
do sistema somando suas equações em vez de subtrair suas equações,
como procedemos nos dois últimos exemplos. Neste exemplo em particular,
devemos primeiramente multiplicar a primeira equação por 2. Neste caso, a
primeira equação passará a ter o termo 6 x e, como a segunda equação tem
o termo − 6x
, esses termos serão eliminados quando as equações forem
somadas.
Após multiplicar a primeira equação por 2 obtemos:
⎧ 6x
− 4y
= −44
⎨
⎩−
6x
+ y = 29
Somando estas duas equações obtemos:
Ou seja, 3 y = 15 ⇒ y = 5 . Agora substituindo o valor y = 5 na primeira
equação do sistema podemos calcular o valor de x procedendo, por
exemplo, como:
3x − 2y
= −22
⇒ 3x
− 2 ⋅ 5 = −22
⇒ 3x
−10
= −22
⇒ 3x
= −12
⇒ x = −4
.
Portanto a solução do sistema é x = −4
e y = 5 .
Para terminar esse exemplo vamos substituir os valores calculados nas
equações do enunciado do problema para verificar que esta resolução está
correta. Efetuando estas substituições obtemos

⎧3
⋅ ( −4)
− 2 ⋅5
= −22
⎨
⎩−
6 ⋅ ( −4)
+ 5 = 29
⇒
⎧−12
−10
= −22
⎨
⎩24
+ 5 = 29
⇒
⎧−
22 = −22
⎨ .
⎩29
= 29
Como obtemos duas igualdades verdadeiras confirmamos que x = −4
e y = 5
são de fato as soluções do sistema dado.
Exemplo 13: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧3x
+ 4y
= −3
⎨
.
⎩2x
+ 5y
= −16
Solução: Neste exemplo ilustramos que, as vezes, é conveniente multiplicar
cada uma das equações do sistema por números diferentes para facilitar a
eliminação de uma incógnita das suas equações. Um procedimento que
sempre funciona para eliminar, digamos a incógnita x é o seguinte:
multiplique a primeira equação pelo coeficiente de x da segunda equação e,
reciprocamente, multiplique a segunda equação pelo coeficiente de x da
primeira equação. Neste exemplo específico devemos então multiplicar a
primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. Efetuando essas
multiplicações obtemos as equações
⎧6x
+ 8y
= −6
⎨
⎩6x
+ 15y
= −48
que contém o termo 6 x . Agora subtraímos essas duas equações para
eliminar o termo 6 x e obtermos uma equação que só contém a incógnita y .
Assim obtemos − 7 y = 42 ⇒ y = −6.
Agora substituímos esse valor, digamos,
na segunda equação do sistema para calcularmos o valor de x .

2 x + 5y
= −16
⇒ 2x
+ 5 ⋅ ( −6)
= −16
⇒ 2x
− 30 = −16
⇒ 2x
= 14 ⇒ x = 7
Portanto a solução do sistema é x = 7 e y = −6
.
Para concluir esse exemplo, vamos substituir os valores calculados nas
equações do sistema dado para verificar se a resolução apresentada está, de
fato, correta. Efetuando estas substituições obtemos:
⎧3
⋅ 7 + 4 ⋅ ( −6)
= −3
⎨
⎩2
⋅ 7 + 5 ⋅ ( −6)
= −16
⇒
⎧21−
24 = −3
⎨
⎩14
− 30 = −16
⇒
⎧−
3 = −3
⎨ .
⎩−16
= −16
Estas igualdades nos mostram que a solução apresentada acima está correta
e que, de fato, x = 7 e y = −6
constituem a solução do sistema dado.
Exemplo 14: Vamos calcular a solução do sistema linear ⎨
⎩ ⎧2x
+ 7 y = 22
.
5x
+ 3y
= −3
Solução: Neste exemplo, vamos eliminar a incógnita y , multiplicando a
primeira equação por 3 (coeficiente de y da segunda equação) e
multiplicando a segunda equação por -7 (relativo ao coeficiente de y da
primeira equação). Após efetuarmos estas multiplicações, obtemos as
equações:
⎧ 6x
+ 21y
= 66
⎨
⎩−
35x
− 21y
= 21
Observe que, procedendo deste modo, obtemos uma equação com o termo
21 y e outra equação com o termo − 21y
, e que esses dois termos serão
eliminados se somarmos estas duas equações.

Efetuando esta soma obtemos 6x + ( −35x)
= 66 + 21 ⇒ − 29x
= 87 ⇒ x = −3
Substituindo o valor x = −3
na segunda equação do sistema dado obtemos
5 x + 3y
= −3
⇒ 5⋅
( −3)
+ 3y
= −3
⇒ −15
+ 3y
= −3
⇒ 3y
= 12 ⇒ y = 4 .
Portanto a solução do sistema é x = −3
e y = 4.
Para terminar vamos, novamente, verificar que esta solução está correta.
Para isso, vamos substituir os valores calculados nas equações do sistema
linear dado. Efetuando estas substituições obtemos
⎧2
⋅ ( −3)
+ 7 ⋅ 4 = 22
⎨
⎩5
⋅ ( −3)
+ 3⋅
4 = −3
⇒
⎧−
6 + 28 = 22
⎨
⎩−15
+ 12 = −3
⇒
⎧22
= 22
⎨
⎩−
3 = −3
Estas igualdades nos mostram que a solução apresentada acima está correta
e que, de fato, x = −3
e y = 4 constituem a solução do sistema dado.
⎧ 2x
− 3y
= 4
Exemplo 15: Vamos calcular a solução do sistema linear ⎨
.
⎩−
6x
+ 9y
= −12
Solução: Neste exemplo vamos ilustrar que existem sistemas lineares que
admitem uma infinidade de soluções. Para esse sistema em particular, vamos
utilizar o método da eliminação e vamos multiplicar a primeira equação por 3.
Efetuando esta multiplicação obtemos

⎧ 6x
− 9y
= 12
⎨
⎩−
6x
+ 9y
= −12
E se somamos estas duas equações obtemos a igualdade 0 = 0 . Ora, isso
deveria ser assim mesmo, pois as duas equações do sistema são
essencialmente a mesma: a segunda equação é igual a -3 vezes a primeira
equação. Isto significa que qualquer par de números x e y que satisfaça a
primeira equação também satisfaz a segunda equação. Portanto, o conjunto
solução do sistema é igual ao conjunto solução da equação 2 x − 3y
= 4 que,
evidentemente, possui uma infinidade de soluções (como observamos na
introdução deste Módulo Didático).
Exemplo 16: Vamos calcular a solução do sistema linear
⎧−
x + 2y
= 3
⎨
.
⎩ 2x
− 4y
= 10
Solução: Neste exemplo vamos ilustrar que existem sistemas lineares que
não admitem solução alguma. Isto sempre será o caso, quando as duas
equações do sistema forem contraditórias. Neste exemplo específico, vemos
esta contradição se tentamos aplicar o método da eliminação. Então
multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
⎧−
2x
+ 4y
= 6
⎨
⎩ 2x
− 4y
= 10
Somando estas duas equações, obtemos 0 = 16 . Esta contradição implica
que o sistema linear dado não admite solução.
Resolvendo problemas por sistemas lineares
Na introdução deste Módulo Didático vimos alguns exemplos que podem ser
equacionados e resolvidos por sistemas lineares. Veremos agora mais alguns

exemplos desta aplicação dos sistemas lineares. Recomendamos fortemente,
que, como ilustrado nos exemplos da seção anterior, após resolver cada
situação problema, cada sistema linear, o aluno substituía os valores
encontrados nas equações e verifique que sua resolução está correta.
Exemplo 17: Determine dois números cuja soma é 35 e cuja diferença é 17.
Solução: Procuramos números x e y tais que x + y = 35 e x − y = 17 . Ou
seja, x e y são soluções do sistema linear
⎧x
+ y = 35
⎨ .
⎩x
− y = 17
Para resolver este sistema observe que se somarmos suas equações
eliminaremos a incógnita y e obteremos a equação 2 x = 52,
cuja solução é
x = 26 . Substituindo esse valor na equação x + y = 35 obtemos finalmente
26 + y = 35,
ou seja, y = 35 − 26 = 9.
Portanto os números procurados são 26 e 9.
Observe que, como 26 + 9 = 35 e 26 − 9 = 17 , verificamos que esta solução do
problema está, de fato, correta.
Exemplo 18: Dois irmãos possuem juntos R$ 50,00. Se um deles tem
R$ 15,00 a mais que o outro, quanto cada um deles possui?
Solução: Vamos representar por x e y as quantidades que os irmãos
possuem. Como eles têm juntos R$ 50,00 concluímos que x + y = 50 . Como

um deles tem R$ 15,00 a mais que o outro, concluímos por exemplo que
y = x + 15 . Portanto as quantias procuradas x e y são soluções do sistema
linear
⎧x
+ y = 50
⎨ .
⎩y
= x + 15
Para resolver este sistema, substituímos a segunda equação na primeira.
Assim obtemos x + ( x + 15)
= 50 , ou seja, 2 x = 35,
e portanto x = 17,
5 . De
y = x + 15 e x = 17,
5 concluímos que y = 17 , 5 + 15 = 32,
5.
Portanto, um dos
irmãos possui R$ 17,50 e o outro irmão possui R$ 32,50.
Exemplo 19: Em uma lanchonete, um salgado e dois sucos custam R$ 2,60.
Entretanto, cinco salgados e quatro sucos custam R$ 7,90. Quanto custa um
salgado e um suco nesta lanchonete?
Solução: Vamos representar por a o preço de um salgado, e vamos
representar por u o preço de um suco vendido na lanchonete. Como um
salgado e dois sucos custam R$ 2,60 concluímos que a + 2 u = 2,
60.
Como
cinco salgados e quatro sucos custam R$ 7,90 concluímos que
5 a + 4u
= 7,
90 . Portanto os números a e u são soluções do sistema linear
⎧a
+ 2u
= 2,
60
⎨
.
⎩5a
+ 4u
= 7,
90
Isolando a incógnita a na primeira equação obtemos a = 2, 60 − 2u
e
substituindo esse valor na segunda equação obtemos a seguinte equação só
na incógnita u : 5 ( 2,
60 − 2u
) + 4u
= 7,
90 . Resolvendo essa equação obtemos:
5 ( 2,
60 − 2u
) + 4u
= 7,
90 ⇒ 13 −10u + 4u
= 7,
90 ⇒ 6 u = 5,
10 ⇒ u = 0,
85 .
Substituindo esse valor u = 0,
85 na equação a = 2, 60 − 2u
obtemos
a = 2 , 60 − 2 ⋅ 0,
85 = 2,
60 −1,
70 = 0,
90 .
Portanto um salgado custa R$ 0,90 e um suco custa R$ 0,85.

Exemplo 20: João e Maria possuem, juntos, 60 bolinhas de gude. Se João
desse um terço de suas bolinhas para Maria, eles ficariam com a mesma
quantidade de bolinhas. Quantas polinhas João e Maria possuem?
Solução: Se x representa a quantidade de bolinhas de gude de João e se y
representa a quantidade de bolinhas de gude de Maria, conclui-se que
x + y = 60 , pois eles possuem juntos 60 bolinhas de gude.
Agora, se João desse um terço das suas bolinhas para Maria, João ficaria
2 1
com x , enquanto que Maria ficaria com y + x . Como eles ficariam com a
3
3
2 1
mesma quantidade de bolinhas, conclui-se que x = y + x . Portanto os
3 3
números x e y satisfazem às equações do sistema linear
⎧ x + y = 60
⎪
⎨ 2 1 .
⎪ x = y + x
⎩ 3 3
Multiplicando a segunda equação deste sistema por 3 obtém-se 2 x = 3y
+ x ,
ou seja, x = 3y
. Substituindo esse valor na primeira equação do sistema
obtém-se 3 y + y = 60 ⇒ 4y
= 60 ⇒ y = 15 . De x = 3y
e y = 15 conclui-se
que x = 45.
Portanto João possui 45 bolinhas de gude e Maria possui 15 bolinhas de
gude.

Exercícios:
Finalizamos este Módulo Didático com alguns exercícios propostos.
Sugerimos fortemente que os alunos resolvam cada exercício antes de ler as
respostas apresentadas e que, em cada sistema linear, teste a solução
encontrada, substituindo os valores calculados no sistema.
1. Resolva cada um dos sistemas lineares:
(a)
(c)
⎧3x
− y = −1
⎨
⎩7x
− 2y
= 1
⎧−
2x
+ 3y
= −7
⎨
⎩2x
− 6y
= 6
2. Resolva os seguintes problemas:
(b)
(d)
⎧3x
+ 2y
= 0
⎨
⎩6x
− 6y
= −5
⎧−
x + 2y
= 13
⎨
⎩3x
+ 2y
= 1
(a) Em uma caixa registradora existem 40 notas: umas de R$ 10,00 e
outras de R$ 5,00, num total de R$ 325,00. Determine quantas notas
de R$ 10,00 e quantas notas de R$ 5,00 existem nesta caixa
registradora.
(b) O perímetro de um jardim retangular é igual a 100 metros. O lado
maior do jardim mede 10 metros a mais que o seu lado menor. Quais
são as dimensões desse jardim?
(c) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4
pessoas, outras por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses.
Determine o número de mesas ocupadas por 4 pessoas e o número de
mesas ocupadas por 2 pessoas.

(d) Em uma prova, a cada questão certa o aluno ganha 5 pontos e a cada
questão errada o aluno perde 3 pontos. Se a prova tem 50 questões e
o aluno tirou 130 pontos, quantas questões ele acertou? E quantas ele
errou?
Respostas dos exercícios propostos:
1 (a) x = 3 e y = 10 .
1 (b)
1 1
x = − e y = .
3 2
1 (c) x = 4 e
1
y = .
3
1 (d) x = −3
e y = 5 .
2 (a) Se x representa a quantidade de notas de R$ 5,00 e se y representa a
quantidade de notas de R$ 10,00, tem-se que
⎧x
+ y = 40
⎨
. A
⎩5x
+ 10y
= 325
solução deste sistema é x = 15 e y = 25 . Assim, na caixa registradora
existem 15 notas de R$ 5,00 e 25 notas de R$ 10,00.
2 (b) Suponhamos que o jardim retangular tenha dois lados de medida x
(maior lado) e dois lados de medida y (menor lado). Então
⎧2x
+ 2y
= 100
⎨
. A solução deste sistema é x = 30 e y = 20 . Portanto o
⎩x
= y + 10
jardim retangular tem dois lados de 30 metros e dois lados de 20
metros.
2 (c) Vamos representar por x a quantidade de mesas de 4 lugares, e vamos
representar por y a quantidade de mesas de 2 lugares. Então

⎧x
+ y = 12
⎨
. A solução deste sistema é x = 7 e y = 5 . Portanto
⎩4x
+ 2y
= 38
existem sete mesas de 4 lugares e existem cinco mesas de 2 lugares.
2 (d) Vamos representar por a a quantidade de questões certas e vamos
representar por e a quantidade de questões erradas. Dos dados do
problema obtemos
⎧a
+ e = 50
⎨
. A solução deste sistema é a = 35 e
⎩5a
− 3e
= 130
e = 15.
Portanto o aluno acertou 35 questões e errou 15 questões.