Logaritmo e Exponencial - ILEA
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<strong>Logaritmo</strong> e <strong>Exponencial</strong><br />
Ana Maria Xavier<br />
Pesquisadora Titular<br />
Comissão Nacional de Energia Nuclear
A função f(x) = b x<br />
é denominada função exponencial de base b, positiva,<br />
sendo definida para todo número x real.<br />
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático<br />
escocês John Napier (1550-1617), motivado pela<br />
necessidade de simplificar cálculos, tendo sido<br />
aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).<br />
Por meio dos logaritmos, podem-se transformar as<br />
operações de multiplicação em soma e de divisão em<br />
subtração, entre outras transformações.<br />
Na realidade, logaritmo é uma nova denominação para<br />
expoente.
Quando se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, é o<br />
mesmo que dizer que 2 3 = 8, ou seja,<br />
log 2 8 = 3 ⇒ 8 = 2 3<br />
Assim, o logaritmo de um número real e positivo N, na base<br />
b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve<br />
elevar b para se obter N.<br />
log b<br />
N = x ⇒ N = b x<br />
x – logaritmo de N na base b<br />
Pela definição de logaritmo, infere-se que somente os<br />
números reais positivos possuem logaritmo.
Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são<br />
números decimais onde a parte inteira é denominada<br />
característica e a parte decimal é denominada mantissa.<br />
A característica dos logaritmos decimais de números entre 1<br />
e 10 é 0 (zero); para números entre 10 e 100 é 1 (um);<br />
para números entre 100 e 1000 é 2 (dois) e assim<br />
sucessivamente.<br />
1 = 10 0<br />
10 = 10 1<br />
100 = 10 2<br />
1000 =10 3<br />
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS<br />
As seguintes propriedades decorrem da própria definição<br />
de logaritmo:<br />
P1: O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:<br />
log b 1 = 0 porque b 0 = 1.<br />
P2: O logaritmo da própria base é sempre igual a 1, ou seja:<br />
log b b = 1 , porque b 1 = b.
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS<br />
As seguintes propriedades decorrem da própria definição<br />
de logaritmo:<br />
P3: O logaritmo da própria base elevada a uma potência é igual<br />
ao valor dessa potência, ou seja,<br />
log b b k = k , porque b k = b k .<br />
P4: Se logaritmos na mesma base de dois números reais são<br />
iguais, esses números são também iguais, ou seja:<br />
Se log b M = log b N então M = N.<br />
P5: Quando o valor da base, b, é elevado ao logaritmo de M na<br />
base b, o resultado é igual a M.<br />
log<br />
b<br />
M<br />
b = M
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS<br />
PO1 - <strong>Logaritmo</strong> de um Produto<br />
O logaritmo de um produto é igual à soma dos<br />
logaritmos dos fatores, ou seja:<br />
log b (M.N) = log b M + log b N<br />
Exemplo: log 20 = log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010<br />
+ 1 = 1,3010.<br />
Observe que como a base não foi especificada, é<br />
estipulado que ela seja igual a 10.
PO2 - <strong>Logaritmo</strong> de um Quociente<br />
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a<br />
diferença entre os logaritmos do numerador da<br />
fração e do denominador, ou seja:<br />
log b (M/N) = logb M - logb N<br />
Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100<br />
= 0,3010 – 2,0000 = - 1,6990.<br />
Do exposto anteriormente, podemos concluir que,<br />
sendo log 0,02 = –1,6990, então<br />
10 -1,6990 = 0,02.
PO3 - <strong>Logaritmo</strong> de uma Potencia<br />
O logaritmo de uma potência pode facilmente ser<br />
demonstrável como sendo:<br />
log b M k = k . log b M.<br />
uma vez que Mk = M.M.M.......k vezes, e o logaritmo de<br />
um produto é a soma dos logaritmos dos fatores.<br />
Exemplo: log 3 4 = log (3 . 3 . 3 . 3) = log 3 + log 3+ log 3 + log 3 =<br />
= log 3 . ( 1 + 1 + 1+ 1) = 4 . log 3
PO4 - Mudança de Base<br />
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade<br />
de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja,<br />
conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o<br />
logaritmo de N numa base a<br />
Exemplo:<br />
log 2 3 = log 3/log 2 = 0,4771/0,3010 = 1,5850
O logaritmo é a função inversa da função exponencial.<br />
Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções<br />
exponencial e logarítmica são crescentes e para<br />
0 < a < 1, são decrescentes.
LOGARITMOS DECIMAIS<br />
log(1)= 0<br />
log(0) não existe<br />
log(10) = log(10 1 ) = 1<br />
log(1/10) = log(10 -1 ) = -1<br />
log(100) = log(10 2 ) = 2<br />
log(1/100) = log(10 -2 ) = -2<br />
log(1000) = log(10 3 ) = 3<br />
log(1/1000) = log(10 -3 ) = -3<br />
log(10 n ) = n<br />
log(10 -n )= -n
LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL<br />
O logaritmo natural ou neperiano tem por base o<br />
número irracional ε, o qual é definido como:<br />
ε = lim n →∞ (1 + 1/n) n = 2,7182818......<br />
A notação empregada para o logaritmo neperiano de<br />
um número N, é ln N e significa<br />
o logaritmo, na base ε, de N, ou seja:<br />
log ε<br />
N = ln N
Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de<br />
zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada<br />
hipérbole eqüilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no<br />
primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro<br />
quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em ótica e<br />
construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química,<br />
estudos em economia, etc.
O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número<br />
real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista<br />
geométrico, como a área da região plana localizada sob<br />
o gráfico da curva y = 1/x, acima do eixo y = 0, entre as<br />
retas x = 1 e x = u, que está no desenho colorido de<br />
vermelho.<br />
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u,<br />
denotado por ln (u) .<br />
ln (u) = área (1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas<br />
tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical<br />
(que não possui área ou seja, possui área nula) e neste<br />
caso tomaremos ln(1)=área(1,1). Assim:<br />
ln (1) = 0<br />
Quando os valores de u aumentam, esta função de u,<br />
f(u), também tem seus valores aumentados, o que<br />
significa que esta função é crescente<br />
para valores de u > 0.
Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades<br />
operacionais que os demais logaritmos.<br />
ln(1) = 0<br />
ln(x.y) = ln(x) + ln(y)<br />
ln(x k ) = k ln(x)<br />
ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
Exemplos:<br />
ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (3 4 ) = ln (5 . 3 4 ) =<br />
ln(405)<br />
ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/c)