out - Ufersa

3. Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
v
kspqt
mg ⎛ ⎞
⎜1 −
m
e ⎟ ( t < 10s)
.
k
spq ⎝ ⎠
=
−
Ao fim de 10 segundos, a velocidade alcançada pelo pára-quedista é:
k spq10
mg ⎛ − ⎞
= ⎜1
− e
m
v
⎟ = 70 ms
k ⎜ ⎟
spq ⎝ ⎠
−1
.
b) Qual a distância percorrida em queda livre?
Já obtivemos na alínea anterior a forma como a velocidade do pára-quedista varia
com o tempo, durante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da
distância percorrida em ordem ao tempo. Então:
Ou seja:
dx
v = ⇒ x = vdt + C =
dt
∫ ∫
mg ⎛ m −
x = ⎜t
+ e
k
spq ⎝ kspq
Aplicando a condição inicial:
E a solução particular vem:
k spqt
m
⎞
⎟ + C .
⎠
2
m g
x(
t = 0) = 0 ⇒ C = − .
2
k spq
k
⎡
spqt
mg m ⎛ − ⎞⎤
⎢ ⎜ m
x = t +
⎟⎥
⎢
e −1
.
kspq
⎣
kspq
⎝ ⎠⎥⎦
kspqt
mg ⎛ − ⎞
⎜ m
1 − e ⎟dt
+ C .
k
spq ⎝ ⎠
Passados os tais 10 segundos, a distância percorrida foi:
5×
10
70×
9.8 ⎡ 7 ⎛ − ⎞⎤
70
t = 10s
⇒ x = ⎢10
+ ⎜e
1⎟⎥
= 392m
5 ⎢⎣
5
− .
⎝ ⎠⎥⎦
Esperemos que o nosso homem se tenha atirado do avião quando este se encontrava a uma
altura superior a 392 m, de contrário ter-se-á estatelado no chão antes de abrir o páraquedas…
c) Qual a velocidade mínima que o pára-quedista poderá atingir, após a abertura do páraquedas?
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