out - Ufersa

3. Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
C
out
= C
in
−
0
( C − C )
in
out
e
Qin
− t
V
. **
Se os caudais de entrada e saída forem diferentes (Q in ≠ Q out ), mas constantes ao
longo do tempo, então é óbvio que o volume de líquido não será constante. Temos então que
resolver a equação de balanço volúmico:
dV
dt
= Q in
− Q out
⇒ V ( t)
= ( Qin − Qout
) t + V0
em que V 0 é o volume no instante t = 0. Agora a equação de balanço a A fica:
d
( VC )
dt
out
= C
in
Q
in
− C
out
Q
out
⇔ V
dC
dt
out
+ C
out
dV
dt
= C
in
Q
in
− C
out
Q
out
dC
out
⇔ V + Cout(
Qin
− Qout)
dt
= C
in
Q
in
− C
out
Q
out
⇔
⇔
dC
out
V + CoutQin
=
dC
dt
dt
out
Q
=
V
in
C
in
( C −C
)
in
out
Q
in
Não nos podemos esquecer que V é função de t! Substituindo o resultado anteriormente
obtido ficamos com:
dC
dt
out
=
( Q − Q )
in
Q
in
out
t + V
0
( C − C )
in
out
.
Esta EDO é de variáveis separáveis:
C
dC
in
out
− C
out
=
Q
( Q − Q )
in
in
out
t + V
0
dt .
O resultado, já após aplicação da condição inicial, é:
C
out
= C
in
−
Qin
( ) ( Q ) Qin
Qout
in
Qout
t V
−
0
−
0
C −C
⎜
⎟
in
out
⎛ +
⎜
⎝ V0
⎞
⎟
⎠
−
.
** Esboce graficamente o aspecto da curva de variação de C out com o tempo.
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