1 Fase RESOLUÇÃO

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2010 – 1 a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 01
Sobre números reais, é correto afirmar:
(01) Se m é um número inteiro divisível por 3 e n é um número inteiro divisível por
5, então m + n é divisível por 15.
(02) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também por 7.
(04) Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é ímpar.
(08) Se x e y são números reais positivos, então existe um número natural n tal
que n > x
y .
(16) Se x é um número real positivo, então x 2 > x.
(32) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Contra-exemplo: considere-se m = 3, n = 5 e m + n = 8, que não é múltiplo de 15.
(02) VERDADEIRA.
Seja m = 7a, com a inteiro, m 2 = 7².a², então, m 2 é um múltiplo de 7.
(04) FALSA.
Numa divisão inexata por 3, os restos só podem ser 1 ou 2.
Contra-exemplo: 16 = 5 3 + 1. O resto 1 é ímpar, porém o dividendo 16, é par.
(08) VERDADEIRA.
Seja, por exemplo, x = 9 e y = 16. Tem-se
números naturais maiores que x
y .
y 16
1,7777.... 2 existem infinitos
x 9
(16) FALSA.
Se x é um número real positivo, com 0 < x < 1, x 2 < x.
Exemplo: Se x = 2
1 então, x 2 = 4
1 x 2 < x.
(32) FALSA.
Contra-exemplo: Sejam os números irracionais
2
3
3 e
3 3
3
números é 2 3 5 9 10 27 30 que é um número racional.
5
3
9 . O produto desses
1

QUESTÃO 02
2
n n
Considerando-se as seqüências (a n ) e (b n ) definidas por a ( 1)
e
n 2
n 1
b
1
1
n 2 , para n = 1, 2, 3, ..., é correto afirmar:
n
bn1
b
n 1
(01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) é um
número negativo.
(02) Para qualquer n, tem-se 1 < a n < 1.
(04) A sequência (b n ) é crescente.
(08) Existe n tal que a n = 2
1 .
(16) A sequência (b n ) é uma progressão aritmética.
(32) A sequência (a n ) é uma progressão geométrica de razão negativa.
RESOLUÇÃO:
Desenvolvendo cada uma das sequências:
2
2
n n
1 1
2
2 4
1) a ( 1)
n
a
2
1 = ( 1) ; a ( 1)
2
;
2
n 1
11
2
2 1
5
2
2
3
3 9
4
4 16
a ( 1)
3
; a ( 1)
2
4
;....
2
3 1
10
4 1
17
1 4 9 16
(a n ) = , , , ,....
2 5 10 17
b1
1
3 4 3 5 5
2) n 2 b 1 = 1; b 2 = ; b3 = 2 ; b 4 = 2 ;
b
n1
bn
2 3 2 4 2
n 1
6 5
b 5 = 3 ;....
5 2
3 5 7
(b n ) = 1 , , 2, ,3, ,4,....
2 2 2
(01) VERDADEIRA.
Dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) são números com sinais
opostos.
(02) VERDADEIRA.
Para qualquer número natural n, tem-se n 2 < n 2 + 1 e então, sempre se verifica a
desigualdade 1 < a n < 1.
(04) VERDADEIRA.
1 < 2
3 < 2 < 2
5 < 3 < .........
2

(08) FALSA.
1 4 9 16
Analisando os termos da sequência (a n ) = , , , ,....
2 5 10 17
(16) VERDADEIRA.
A sequência (b n ) é uma progressão aritmética de razão 2
1 .
(32) FALSA.
1 9 4
Na sequência (a n ) tem-se , .
2 10 5
Questão 03
Sendo f: R R, g: R R, h: R ] 0, +∞[ e q: ] 0, +∞[ R as funções definidas
por f(x)=x 2 −5x, g(x)=3x−1, h(x)=2 x e q(x)=−log 2 x, é correto afirmar:
(01) A função h é a inversa da função −q.
(02) A função q é crescente.
(04) O conjunto imagem da função gοh é ]−∞, 1[ .
(08) Os gráficos das funções f e g se intersectam em exatamente dois pontos.
(16) Para qualquer x > 5, tem-se q(f(x)) = q(x) + q(x − 5).
(32) O perímetro do triângulo cujos vértices são a origem do plano cartesiano e os
pontos de interseção do gráfico da função g com os eixos coordenados é igual a
10 4 u.c.
3
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Se q(x)=−log 2 x, então − q(x) = r(x)= log 2 x. Nessa função trocando x por y e y
por x: x = log 2 y y = 2 x (− q(x)) 1 = h(x).
(02) FALSA.
Ao tem-se lado, o gráfico de q(x)=−log 2 x.
Pela análise do gráfico conclui-se que q(x) é
uma função decrescente.
2
3

(04) FALSA.
gοh(x) = 3(2 x ) −1 3(2 x ) −1 = 0
3(2 x ) = 1 (2 x ) = 1/3 x log 2
1
3
.
Analisando o gráfico abaixo, conclui-se que o
conjunto imagem da função gοh é ] −1,∞ [
e não ]−∞, 1[.
(08) VERDADEIRA.
Os gráficos das funções f e g se intersectam no(s) ponto(s) onde f(x) = g(x)
x 2 −5x=3x−1 x 2 8 64 4
−8x + 1= 0 x =
2
8 60
34
151
11
3 15
0,ou
x x 4 15 y
2
34
151
11
3 15
0
Os pontos de intersecção são: 4 15,
11
3 15
e
4 15,
11
3 15
Graficamente:
Sendo f: R R, g: R R, h: R ] 0, +∞[ e q: ] 0, +∞[ R as funções definidas
por f(x)=x 2 −5x, g(x)=3x−1, h(x)=2 x e q(x)= −log 2 x, é correto afirmar:
(16) VERDADEIRA.
Sendo f(x)=x 2 −5x, q(x)=−log 2 x e q(f(x)) = q(x) + q(x − 5), tem-se
q(f(x)) = −log 2 (x 2 – 5x) e q(f(x)) = q(x) + q(x − 5)= −log 2 x −log 2 (x − 5)
log 2 (x 2 – 5x) = −log 2 x −log 2 (x − 5) (I).
A condição de existência dessa igualdade é dada por x 2 – 5x > 0 e x − 5 > 0
x > 5.
Desenvolvendo o segundo membro da igualdade (I):
−log 2 (x 2 – 5x) = −log 2 x −log 2 (x − 5) −log 2 (x 2 – 5x) = −[log 2 x +log 2 (x − 5)]
log 2 (x 2 – 5x) = log 2 (x 2 − 5x)
Logo, a igualdade q(f(x)) = q(x) + q(x − 5) é verdadeira para todo x > 5.
4

(32) VERDADEIRA.
O gráfico de g(x)=3x−1 é a reta BC representada no gráfico
ao lado.
1
2 1 10 1
1
, AB = e AC =
3
9 3 3
Sendo BC = 0 0
1
1, o perímetro do triângulo ABC é:
2
10 1 10 4
1
u.c.
3 3 3
Questão 04
Uma empresa observou que a quantidade Q, em toneladas, de carne que ela
exporta em uma semana é dada por Q(x) = ax 2 + bx + c, sendo a, b e c
constantes, e x o preço do produto, em reais, por quilograma, praticado na referida
semana, sendo 3 ≤ x ≤ 8. Sabe-se que para o preço de R$3,00, a quantidade é de
7,5 toneladas, que para R$4,00, a quantidade é máxima e que para R$8,00, a
quantidade é zero.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) A quantidade Q(x) diminui à medida que o preço x aumenta.
(02) Para o preço de R$5,00, a quantidade é de 7,5 toneladas.
(04) A constante a
b é igual a −8.
(08) Existe um único preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tal que Q(x) = 3,5.
(16) Para cada preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tem-se Q(x) = −x 2 + 8x.
RESOLUÇÃO:
Como para x = R$4,00 a quantidade de toneladas de carne exportada é máxima,
tem-se:
b
x v
4 b 8a
que a função Q(x) = ax 2 + bx + c tem a forma:
2a
2
Q(x) ax 8ax
c .
Nesta última equação, substituindo as variáveis pelas coordenadas dos pares
ordenados (3; 7,5) e (8; 0):
9a
24a c 7,5 15a
c 7,5 15a
7,5
2
Q(x) 0,5x
4x.
64a
64a c 0 c
0
a
0,5
5

(01) FALSA.
Analisando o gráfico ao lado, verificase
que a função Q(x) é crescente
quando o valor de x cresce no
intervalo [3,4] e é decrescente quando
o valor de x cresce no intervalo ]4, 8].
(02) VERDADEIRA.
A reta x = 4 é o eixo de simetria da parábola e as retas x = 3 e x = 5 são
simétricas em relação a esse eixo, logo interceptam a parábola em pontos
simétricos e de mesma ordenada. Assim como para o preço de R$3,00, a
quantidade é de 7,5 toneladas, também o é para o preço de R$5,00.
O que pode ser confirmado fazendo Q(5) = − 0,525 +40,5 = − 12,5 + 20 = 7,5.
(04) VERDADEIRA.
b b
4 2
8
2a 2a
b
a
8
.
(08) VERDADEIRA.
Resolvendo a equação −0,5x 2 + 4x =
3,5 5x² – 40x – 35 = 0
x² – 8x – 7 = x = 1 ( não
pertencente ao domínio) e x = 7.
Pela análise do gráfico, percebe-se
que somente o valor de R$7,00
pertencente ao domínio da função.
(16) FALSA.
Para cada preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tem-se Q(x) = −0,5x 2 + 4x.
Questão 05
Considerando-se operações de empréstimo com taxa de juros compostos de 5% ao
mês e operações de desconto simples com taxa de 2% ao mês, é correto afirmar:
(01) Contraindo-se um empréstimo de R$1000,00, o montante a ser pago, ao final
de 30 dias, será R$1500,00.
(02) Para um empréstimo a ser pago no prazo de 10 meses, o total de juros será
igual à metade do valor do empréstimo.
(04) O montante de um empréstimo a ser pago ao final de n meses é igual ao valor
do empréstimo multiplicado por 1,05 n .
(08) Para uma operação de desconto simples, o valor atual de um título, com valor
nominal R$2000,00 e vencimento em três meses, é igual a R$1880,00.
6

(16) Em uma operação de desconto simples, o valor atual de um título, com
vencimento em um mês, é igual a 98% do seu valor nominal.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
M = C(1 + i) n = 1000 (1 + 0,05) = 1050.
(02) FALSA.
j = C(1 +0,05) 10 – C = 1,63C– C = 0,63C > 0,5C.
(04) VERDADEIRA.
M = C(1 + i) n = C(1+0,05) n = C 1,05 n .
(08) VERDADEIRA.
A = 2000 – 0,02 2000 = 2000 – 120 = 1880.
(16) VERDADEIRA.
A = N – 0,02N = 0,98N
Questão 06
Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas três turmas de um curso
de Inglês.
Turma A Turma B Turma C
Número de meninos 17 18 15
Número de meninas 23 22 25
Com base nesses dados, é correto afirmar:
(01) Em cada turma, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é
menor que 4
3 .
(02) O número de meninos do curso é igual a 40% do total de alunos
matriculados.
(04) A média do número de meninas por turma é menor que 23.
(08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com meninas é igual a
2415.
(16) Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser uma menina da
23
turma A é igual a . 120
(32) Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser uma menina ou
87
ser da turma A é igual a . 120
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Reduzindo as quatro frações à forma de número decimal, tem-se a constatação de
que a afirmativa é falsa.
17 18 15
0,7391; 0,8181; 0,60 e
23 22 25
3
4
0,75
(02) FALSA.
Para verificar a validade da afirmação basta determinar a razão entre o número de
meninos matriculados no curso e o total de alunos:
17 18 15
50
0,4167 41,67%
17 23 18
22 15
25 120
15
25
17
23
3
4
18
22
.
7

(04) FALSA.
23 22 25 70
É falsa porque a média é: m = 23,3333..
> 23.
3 3
(08) VERDADEIRA.
70 69
O total de meninas é 70, e C 70, 2
35
69 2415
2
(16) VERDADEIRA.
n(alunas da A) 23
p =
.
n(total de alunos) 120
(32) VERDADEIRA.
p(M A) = p(M) + p(A) – p(AM) =
70
120
40 23 87
.
120 120 120
Questão 07
Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4,
2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa
pela origem do sistema de coordenadas e
pelo ponto B.
Com base nessa informação, pode-se
afirmar:
(01) O triângulo BCD é equilátero.
(02) A área do setor circular hachurado é
π
igual a u.a.
4
(04) A equação y = 2
x representa a reta r.
(08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30°.
(16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de
coordenadas (4, 1).
(32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão 3
1 é um triângulo de área
(64) A imagem do ponto D pela rotação de 45° em torno da origem do sistema, no
sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3).
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
O triângulo BCD é retângulo e isósceles.
(02) VERDADEIRA.
A área do setor circular, hachurado, é igual a
S círculo π
u.a.
4 4
(04) VERDADEIRA.
Considerando como O a origem dos eixos, no
2 1
triângulo retângulo ABO, a tg(AÔB) = ,
4 2
8

assim a equação y = 2
x representa a reta r.
(08) FALSA.
O ângulo do triângulo retângulo ABO, tem
tangente igual a
2
4
1
2
3
tg30
.
3
(16) FALSA.
O ponto C’ é a imagem do ponto C pela
reflexão em relação à reta r. Pela figura vêse
que a abscissa x’, do ponto C’, é maior
que 4.
(32) FALSA.
4 2
A área do triângulo OAB é: S = 4u.a.
2
O triângulo obtido do triângulo OAB, por uma
homotetia de qualquer razão, é semelhante a
ele.
No caso em questão, considerando O, o centro
da homotetia e 3
1 , a razão de semelhança, temse:
2
S' 1
S 3
S'
4
1
9
S'
4
u.a.
9
(64) FALSA.
O ponto D é vértice do quadrado OEDF de lado 3. OD é
diagonal desse quadrado, logo sua medida é 3 2u.c.
.
Como a imagem do ponto D pela rotação de 45° em
torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o
ponto D’, então as coordenadas desse ponto são dadas
pelo par ordenado ( 0,3 2)
.
Questão 08
Os dados do quadro referem-se ao número de derrotas, empates e vitórias dos três
times que obtiveram as maiores pontuações ao final de um torneio de futebol, em
que todos os times jogaram o mesmo número de partidas. Sabe-se que a
pontuação final de cada time é obtida subtraindo-se um ponto por cada derrota,
somando-se um ponto por empate, e dois pontos por vitória.
Número de
derrotas
Número de
empates
Número de
vitórias
Time A 2 3 5
Time B 1 5 4
Time C x 0 z
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) Sabendo-se que o time C não perdeu todas as partidas, sua pontuação final é
um número inteiro pertencente ao intervalo [−7, 20].
(02) Se o time C obteve pontuação final menor que a dos times A e B, então ele
venceu, no máximo, 6 partidas.
(04) Se o time C venceu 7 partidas, sua pontuação final é igual à do time B.
9

(08) Caso o time C tenha perdido uma partida para o time A e outra para o time B,
é impossível que ele tenha a maior pontuação final entre os três times.
2 3 5
1
(16) Sendo M = 1 5 4
e N = 1 então o produto M.N é uma matriz da forma
x 0 z
2
a
b
tal que a, b e c representam, respectivamente, as pontuações finais dos times
c
A, B e C.
RESOLUÇÃO:
O número de partidas de cada time foi 10, x + z = 10.
Número
de
derrotas
Número de
empates
Número
de
vitórias
Total de pontos
Time A 2 3 5 25 + 13 21 = 11
Time B 1 5 4 24 + 15 11 = 12
Time C x 0 z 2z + 10 x1 = 2z – x
(01) VERDADEIRA.
Como não perdeu todas as partidas, o número máximo de partidas que C poderia
ter perdido é 9. Nesse caso, o seu total de pontos teria sido: 12 19 = −7.
Poderia ter ganho todas as partidas e seu total de pontos, nesse caso, seria 20
Logo, sua pontuação final é um número inteiro, pertencente ao intervalo [−7, 20].
(02) VERDADEIRA.
x
z 10 x
10 z 3z
21
z 6,5,4,3,2,1,0
.
2z
x 11 2z
(10 z) 11 z
7
Então o time C venceu, no máximo, 6 partidas.
(04) FALSA.
Se o time C venceu 7 partidas, empatou 3 partidas e sua pontuação final é igual
27 31 = 11, logo não é igual à pontuação do time B.
(08) FALSA.
Caso o time C tenha perdido uma partida para o time A e outra para o time B, e
ganho as outras 8 partidas, o seu total de pontos será: 28 21 = 14.
(16) VERDADEIRA.
2 3 5
1
1 5 4
1
x 0 z
2
=
11
12 .
2z
x
10

Questão 09
Sendo θ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo,
1
determine .
2
sen θ
RESOLUÇÃO:
Na figura ao lado, o triângulo retângulo ABC tem como
hipotenusa AC , diagonal do cubo, que forma com a face
ABD o ângulo , oposto ao cateto BC .
a 1 3 1 1
Logo o sen = 3 .
2 2
a 3 3 3 sen θ 1
3
RESPOSTA: 03
Questão 10
Considere a proposta, elaborada por um cidadão interessado em melhorar o
sistema penitenciário: Durante o período da pena, o presidiário tem a opção de
trabalhar, no próprio presídio, nos dias em que ele escolher, exceto aos sábados e
domingos, e cada três dias de trabalho reduz um dia da sua pena.
De acordo com essa proposta, se um presidiário, condenado a 364 dias de
detenção, resolver trabalhar todos os dias possíveis desde o seu ingresso no
presídio, terá direito à liberdade t dias antes de completar a pena. Determine t.
RESOLUÇÃO:
Considerando como n o número total de dias do período durante o qual o
presidiário deverá trabalhar, tem-se n + t = 364.
O período de n dias é formado de 7
n semanas. Então o número de sábados e
2n
domingos, nesse período de n dias, é . 7
O número total de dias durante os quais o presidiário deverá trabalhar será:
2n 7n 2n 5n
n .
7 7 7
Como a cada três dias trabalhados, o presidiário tem sua pena reduzida em um dia,
subtende-se que o número total de dias a ser reduzido, na pena, será :
1 5n 5n
t t .
3 7 21
5n 5n
t
n
364 26n
7644 t
364 294
Tem-se então o sistema 21 21
.
n
294 t
70
n
t 364 21n
5n 7644
RESPOSTA: t = 70.
11