prova de matemática prova de matemática ... - Colégio Anchieta

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA
- JULHO DE 2010.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÃO 01.
Um capital aplicado a juros simples por 6 meses gera um montante de R$744,00 e o mesmo capital
aplicado a mesma taxa de juros simples por 10 meses gera um montante de R$840,00. Qual a taxa de
juros mensal destas aplicações?
01) 4% 02) 5% 03) 6% 04) 7% 05) 8%
RESOLUÇÃO:
Capital Tempo de Montante Capital Tempo de Montante
aplicado aplicação
aplicado aplicação
C 6 meses C + 6i= 744 C 10 C + 10i = 840
⎧C
+ 6Ci = 744
⎨
(L
⎩C
+ 10Ci = 840
RESPOSTA: Alternativa 01
2
⎧4Ci
= 96 ⎧C
+ 6 × 24 = 744 ⎧600i
= 24
− L1)
⇒ ⎨ ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩Ci
= 24 ⎩C
= 600 ⎩i
= 0,04
QUESTÃO 02.
0
Um triângulo equilátero ABC e dois setores circulares de centros A e B estão representados na figura
abaixo.
Calcule o valor da área, em cm², da região hachurada considerando 3 = 1, 7 e π = 3,1.
01) 6,6 02) 6,9 03) 7,4 04) 8,7 05) 9,2
1

RESOLUÇÃO:
A área hachurada é determinada da seguinte forma:
S
⎛ 2 × 36π
3 ⎞
( 2S + S ) = −
⎜ +
4 6 4 ⎟ sec tor 60 CDE
⎠
ABC − °
144
Substituindo 3 por 1, 7 e π por 3,1:
3
⎝
36
( 12 × 3,1 + 9 × 1,7 ) = 61,2 − ( 37,2 + 15,3) 8, 7
36 × 1,7 −
=
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 03.
0
Uma pessoa tem um cheque pré-datado de R$7.000,00 que vence daqui a quatro meses e outro de
R$7.500,00 que vence em seis meses. Ela resolve então ir numa financeira para descontar estes cheques
hoje utilizando uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao mês. Calcule o valor que a pessoa vai
receber pelos dois cheques hoje.
01) R$ 12.310,00 02) R$ 12.450,00 03) R$ 12.500,00
04) R$ 12.650,00 05) NRA
RESOLUÇÃO:
Valor futuro: R$7.000,00
Valor futuro: R$7.500,00
Valor atual: 7000 ( 1− 4 × 0,03) = 6160 . Valor atual: 7500 (1 − 6×
0,03) = 6150 .
VA= 6.160 + 6.150 = 12.310
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 04.
0
Seja p(x) o polinômio do terceiro grau, com coeficiente de x³ igual a 1, cujas raízes são iguais às raízes de
q(x) = x³ − 7x + 6 aumentadas em uma unidade.
O valor de p(1) é:
01) 4 02) 5 03) 6 04) 7 05) 8
RESOLUÇÃO:
q(1) = 1 − 7 + 6 = 0 ⇒ 1 é raiz de q(x) ⇒q(x) = x³ − 7x + 6 é divisível por x – 1.
Pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
1 0 −7 6
1 1 0 −6 0
q(x) = x³ − 7x + 6 = (x – 1)(x² – 6) = ( x − 1) ( x − 6 )( x + 6 ) ⇒ 1, 6 e 6
portanto, 2, 1+ 6 e 1− 6 são raízes de p(x) ⇒ p(x) = ( x 2) [ x − ( 1+
2 )] [ x − ( 1−
2 )]
p(1) = ( 1 − 2) [ 1−
( 1+
6 )] [ 1−
( 1−
6 )] = −1( − 6 )( 6 ) = 6
RESPOSTA: Alternativa 03.
− são raízes de q(x) e
− ⇒
2

QUESTÃO 05.
0
Dados os conjuntos A ={2 , {2} , 3 , {4}} e B = {2 , ∅}, considere as proposições:
01) {2 , {2}} ⊂ A
02) {2} ∈ A
03) B ⊂ A
04){{2}} ⊂ A
05) O conjunto A tem exatamente 16 subconjuntos
O número de afirmativas verdadeiras dentre as acima é:
01) 01 02) 02 03) 03 04) 04 05) 05
RESOLUÇÃO:
01) A afirmativa {2 , {2}} ⊂ A é verdadeira porque 2 e {2} são elementos de A.
02) A afirmativa {2} ∈ A é verdadeira porque {2} é elemento de A.
03) A afirmativa B ⊂ A é falsa pois ∅ é elemento de B, mas não é de A.
04) A afirmativa {{2}} ⊂ A é verdadeira porque {2} é elemento de A.
05) A afirmativa: “O conjunto A tem exatamente 16 subconjuntos”, é verdadeira porque A tem 4
elementos e o número de seus subconjuntos é portanto: 2 4 = 16
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 06.
0
Considere a equação matricial AX – X = B onde A =
Calcule detX.
⎛2
⎜
⎝1
1
⎟ ⎞
1⎠
⎛0
e B =
⎜
⎝4
2
⎟ ⎞
.
1⎠
01) 8 02) –4 03) 6 04) –12 05) 10
RESOLUÇÃO:
AX – X = B ⇒ (A – I)X = B ⇒
⎛0
1 ⎞⎛1
⎜
1 1
⎟
⎜
⎝ − ⎠⎝1
1⎞
⎛0
1 ⎞⎛
0
X
0
⎟ =
⎜
1 1
⎟
⎜
⎠ ⎝ − ⎠⎝
4
RESPOSTA: Alternativa 01.
⎡⎛
2 1⎞
⎛1
0⎞⎤
⎛0
2⎞
⎛1
1⎞
⎛0
⎢
⎜
⎟ −
⎜
⎟⎥X
=
⎜
⎟ ⇒
⎜
⎟X
=
⎜
⎣⎝1
1⎠
⎝0
1⎠
⎦ ⎝4
1⎠
⎝1
0⎠
⎝4
2⎞
⎛ 4 1⎞
X ⇒ det X = 4 + 4 = 8
1
⎟ ⇒ =
⎜
4 1
⎟
.
⎠ ⎝−
⎠
2⎞
⎟ ⇒
1⎠
3

QUESTÃO 07.
0
Numa cidade existem apenas três jornais, A, B e C. Sabe-se que:
01) quem lê o jornal A, não lê o jornal B;
02) 25% dos habitantes lêem o jornal A;
03) 35% dos habitantes lêem o jornal B;
04) 45% dos habitantes lêem o jornal C;
05) 10% dos habitantes lêem apenas o jornal C.
Qual o percentual de habitantes dessa cidade que não lêem qualquer dos três jornais?
01) 10% 02) 15% 03) 20% 04) 25% 05) 30%
RESOLUÇÃO:
Considerando como x o número de habitantes da cidade,
n(A∪B∪C) = a + b + c + d + 0,10x = 0,25x + 0,35x + 0,10x = 0,70x ⇒ o número dos habitantes da
cidade que não lêem nenhum jornal é 0,30x.
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 08.
0
O plano α, paralelo à base de uma pirâmide determina um tronco de pirâmide de volume 97cm³ e uma
pirâmide menor.
As distâncias do plano α, respectivamente, ao vértice e à base da pirâmide estão na razão 3/5.
O volume da menor pirâmide, em cm³, é:
01) 5,4 02) 6,2 03) 6,8 04) 7,2 05) 8,4
RESOLUÇÃO:
As duas pirâmides são semelhantes, logo:
V
V
menor
maior
⎛ 3 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠
3
⇒ V
menor
27V
=
512
maior
⇒
4

V
tronco
27Vmaior
= Vmaior
− = 97 ⇒ 512Vmaior
− 27Vmaior
= 512×
97 ⇒ 485Vmaior
= 512×
97 ⇒
512
512 × 97 512
27 512
Vmaior = = ⇒ Vmenor
= × = 5,4
485 5
512 5
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 09.
0
Numa pesquisa de mercado, onde foram entrevistadas 300 pessoas, sobre o consumo de três marcas de
medicamentos genéricos A, B e C, apresentou os seguintes resultados:
Marca
N o de pessoas
A 135
B 120
C 150
A e B 45
B e C 60
A e C 45
Nem A, nem B e nem C 15
A probabilidade de, sorteando-se um dos entrevistados na pesquisa, encontrarmos alguém que
consome apenas a marca C é:
01) 5% 02) 10% 03) 15% 04) 20% 05) 25%
RESOLUÇÃO:
n(A) + 15 + x + 60 – x + 45 + x = 300 – 15 ⇒ 135 + 120 + x = 285 ⇒ x = 30 ⇒ que o número dos que
consomem apenas a marca C é 75.
75 25
A probabilidade pedida é: p = = = 25%
.
300 100
RESPOSTA: Alternativa 05
5

QUESTÃO 10.
Um sólido é gerado pela rotação completa de um semi-hexágono regular em torno do seu diâmetro AB .
Sabendo que AB = 8cm, o volume desse sólido, em cm³, é:
01) 36π 02) 40π 03) 48π 04) 54π 05) 64π
RESOLUÇÃO:
O volume do sólido gerado pela rotação completa de um semi-hexágono regular em torno do seu
diâmetro AB , tem a forma acima.
O lado do hexágono regular ACDBEF, inscrito num círculo de raio 4cm, também tem 4cm.
O sólido representado acima é formado de dois cones de altura 2cm e dum cilindro de altura 4cm. Os
raios dos cones e dos cilindros medem
⎛
⎜ π 12
⎜ 3
⎝
RESPOSTA: Alternativa 05.
2
× 2
⎞
⎟
⎟
⎠
4
2
2
− 2 = 12 = 2 3cm
.
( )
O volume do sólido é: 2
+ π ( 12 ) × 4 = 16π
+ 48π
= 64π
2
QUESTÃO 11.
Uma casa deve ser construída por certo número de operários em 12 meses, trabalhando 6 horas por dia.
Dois meses após o início da obra, quinze operários foram demitidos. O restante, trabalhando 10 horas por
dia, concluiu a obra 6 meses depois do previsto. Qual foi o número de operários contratados inicialmente
01) 24 02) 26 03) 28 04) 30 05) 32
RESOLUÇÃO:
Operários Meses Horas/dia Parte da obra
x 2 6 1/6
x – 15 16 10 5/6
Operários
Meses
x 2
2.x 2 : 2 =1
Multiplicando-se o número de operários por 2, o número de
meses automaticamente será dividido por 2, então essas
grandezas são inversamente proporcionais.
6

Operários Horas/dia
x 6
2.x 10:2 = 5
Operários Parte da obra
x 1/6
2.x 2,(1/6)
Multiplicando-se o número de operários por 2, o número de
h/dia de trabalho, automaticamente será dividido por 2,
então essas grandezas são inversamente proporcionais.
Multiplicando-se o número de operários por 2, o número que
representa a parte da obra concluída será também multiplicada por
2, então essas grandezas são diretamente proporcionais.
Operários Meses Horas/dia Parte da obra
x
2
6
1/6
x – 15 ↓
16 ↑
10 ↑
5/6 ↓
x 16 10 1 x 8
= × × ⇒ = ⇒ 3x = 8x −120
⇒ 5x = 120 ⇒ x = 24
x −15
2 6 5 x −15
3
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 12.
⎛1
1
⎜
Escalonando o sistema ⎜2
1
⎜
⎝2
−1
⎛1
1 −1⎞⎛
x⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜0
−1
3 ⎟⎜
y⎟
= ⎜ b ⎟ .
⎜ ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝0
0 a ⎠⎝
z ⎠ ⎝−15⎠
Calcule o valor de a + b.
−1⎞⎛
x⎞
⎛1⎞
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟⎜
y⎟
= ⎜9⎟
2
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎠⎝
z ⎠ ⎝8⎠
obtemos o sistema equivalente
01) 1 02) 2 03) 3 04) 4 05) 5
RESOLUÇÃO:
⎛1
⎜
⎜2
⎜
⎝2
1
1
−1
−1⎞⎛
x⎞
⎛1⎞
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟⎜
y⎟
= ⎜9⎟
2
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎠⎝
z ⎠ ⎝8⎠
⎛1
⎜
⎜
⎜
⎝0
1
−1⎞⎛
x⎞
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
4
⎟⎜
⎟
⎠⎝
z ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝6⎠
( − 2L + L ; −2L
+ L ) ⇒ 0 −1
3 y = 7 ( − 3L + ) ⇒
1 2 1 3
2 L3
− 3
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
1
1
0
−1⎞⎛
x ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
− 3⎟⎜
y⎟
= ⎜ 7 ⎟
− 5
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎠⎝
z ⎠ ⎝−15⎠
⇒ a + b = − 5 + 7 = 2.
RESPOSTA: Alternativa 02.
QUESTÃO 13.
Na figura estão representados um diedro de 120° e
os pontos C ∈ α, D ∈ β, P ∉ α, P ∉ β.
A reta AB é a interseção dos planos α e β.
7

É falso que:
01) Se do ponto P baixarmos perpendiculares aos planos α e β, então o ângulo agudo formado por essas
perpendiculares é de 60°.
02) Se a reta r passa por P e é paralela aos planos α e β, então a reta r é paralela à reta AB .
03) As retas AB e CD são reversas.
04) Toda reta paralela ao plano α é paralela ao plano β.
05) Existe plano paralelo às retas AB e CD .
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA.
Do ponto P baixando perpendiculares aos planos α e
β, e traçando, QR e SR perpendiculares à reta
AB então, no quadrilátero PQRS o ângulo Q Pˆ S
mede 60°.
02) VERDADEIRA.
Traçando t // AB //s, r // t, então r // s ⇒ r // AB .
03) VERDADEIRA.
Considerando , por exemplo, o ortoedro no qual
uma das arestas é o segmento AB , uma aresta
passando por C e outra passando por D. Analisando
a figura conclui-se que as retas AB e CD são
reversas.
04) FALSA.
Na figura ao lado, r passa por P e é paralela à reta s,
logo é paralela ao plano α.
A reta s é concorrente com o plano β, e sendo s // r,
a reta r também é concorrente com o plano β.
8

05) VERDADEIRA.
O plano δ, na figura ao lado, é paralelo às retas
AB e CD .
QUESTÃO 14.
Um recipiente cilíndrico de raio R = 30cm contém água até certa altura.
Quando dois sólidos equivalentes, uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base igual a 15cm e
um cilindro de raio 8cm, são mergulhados, completamente, no recipiente, então o nível da água sobe 2cm.
A soma das alturas desses sólidos, considerando π = 3,1, é:
01) 42,4cm 02) 48,2cm 03) 51,2cm 04) 60,8cm 05) 62,6cm
RESOLUÇÃO:
O volume da água que se deslocou dentro do recipiente, quando dentro dele foram colocados os dois
sólidos equivalentes, isto é, de mesmo volume, formou um cilindro de raio 30cm e altura 2cm, cujo
volume corresponde ao dos sólidos mergulhados: V = πR²h = 3,1 × 30²×2 = 5580cm³.
Então o volume de cada um dos sólidos é (5580 ÷ 2)cm³ = 2790cm³.
2
15 × H
Vpirâmide = = 2790 ⇒ H = 8370 : 225 = 37,2 cm.
3
2
2
Vcilindro = πr
h = 3,1 × 8 h = 2790 ⇒ h = 2790 :198,4 = 14,0625 cm.
H + h = 37,2cm + 14,0625cm = 51,2625cm.
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 15.
Planificando-se a superfície lateral de um cone circular reto, obtém-se um setor circular de área igual a ¾
da área de um círculo.
Calcule a razão entre a altura e o raio desse cone.
01)
2
2
02)
3
2
03)
3
4
04)
5
2
05)
7
3
9

RESOLUÇÃO:
A área lateral do cone é dada pela relação
S L
= πRg
.
3 2
A área do setor circular resultante da planificação da superfície lateral é S ( πg
)
2
3 g
4R
Logo, π Rg = π ⇒ 4R = 3g ⇒ g = .
4
3
Do triângulo retângulo ABV, vem:
2
2 2 2 2 ⎛ 4R ⎞ 2 2 7R R 7 h 7
h = g − R ⇒ h = ⎜ ⎟ − R ⇒ h = ⇒ h = ⇒ = .
⎝ 3 ⎠
9 3 R 3
RESPOSTA: Alternativa 05.
2
setor
= .
4
QUESTÃO 16.
Um obelisco, formado por um ortoedro de altura 4m encimado por uma pirâmide regular de altura 6m,
deve ser construído em concreto.
Um metro cúbico de concreto custa R$200,00.
A tinta a ser usada na pintura da superfície desse obelisco (naturalmente com exceção da base) rende 8m²
por cada 2 litros de tinta. Sabendo que o preço da tinta é de R$40,00 por litro, calcule o preço em reais de
1% do custo do material (concreto e tinta) a ser utilizado na construção do obelisco.
OBSERVAÇÃO: Considerar 37 = 6, 1
10

RESOLUÇÃO:
⎛
2
2 2 6 ⎞
⎜
×
⎟
3
= + pirâmide =
× +
3
⎝
⎠
A área do obelisco a ser pintada é: S = S + S
.
3
prisma =
O volume do obelisco é: V V V 2 4 m = ( 16 + 8) m 24m .
lateral do prisma
lateral da pirâmide
Para o cálculo da área lateral da pirâmide, deve-se determinar a medida de AB , apótema da pirâmide
(altura de uma das faces laterais).
h 2 ⎡ ⎛ 6,1 × 2 ⎞⎤
2
2
= 36 + 1 ⇒ h = 37 = 6,1m ⇒ S = 4 ⎢( 2 × 4) + ⎜ ⎟⎥m
= 4( 8 + 6,1) = 56,4m .
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
Se com 2 litros de tinta são pintados 8m², para pintar 56,4m² serão necessários ( 56,4 : 4) litros = 14,1 litros
de tinta.
O custo total será de: ( 200 24 + 14,1 × 40) reais = 5364
1% de R$ 5364,00 = R$53,64.
RESPOSTA: R$53,64.
× reais.
3
11