PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR– 2011 – 1 Fase ...

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2011 – 1 a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
Questão 01.
Considerando-se as funções f: R → R e g: R → R definidas por f(x) = x – 1 e
g(x) = log(x² + 1), é correto afirmar:
(01) A função f é bijetora, e sua inversa é a função h: R → R definida por h(x) = x + 1.
(02) O conjunto imagem da função g é o intervalo [0, +∞[.
(04) A função g é uma função par.
(08) Existe um número real x tal que f(g(x)) = g(f(x)).
(16) O ponto (0, 0) pertence ao gráfico da função g.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
A função f é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é igual ao seu contra-domínio R; a função f é
injetora, pois para todo x 1 ≠ x 2 , f(x 1 ) ≠ f(x 2 ), logo é verdadeiro que f é bijetora.
Determinando f – 1 , função inversa de f: substituindo as coordenadas do par (y, x) em f(x) = x – 1, tem-se
x = y – 1 ⇒ y = x + 1, logo a inversa de f é a função h: R → R definida por h(x) = x + 1.
(02) VERDADEIRA.
O conjunto imagem da função g, é o conjunto
formado por todos os valores reais de y que a
satisfazem e que constituem o domínio da sua
função inversa.
Substituindo as coordenadas do par (y, x) em g(x)
= log(x² + 1): x = log(y² + 1), ⇒
y
2
x
2
x
+ 1 = 10 ⇒ y = 10 −1
⇒ y = 10 −1
cujo
domínio é a solução da inequação
10
x
x
− 1 > 0 ⇒ 10 > 10 ⇒ x > 0 .
0
x
Conclusão: O conjunto imagem da função g, é
intervalo [0, +∞[.
(04) VERDADEIRA.
Uma função é par quando f(x) = f(– x). O gráfico acima confirma essa igualdade. Logo a função g é uma
função par.
1

(08) FALSA.
f(g(x)) = log(x² + 1) – 1 e g(f(x)) = log[(x – 1)² + 1]
Fazendo f(g(x)) = g(f(x)) ⇒ log(x² + 1) – 1 = log[(x – 1)² + 1] ⇒
log(x² + 1) = log(x² – 2x + 2) + 1 ⇒ log(x² + 1) = log(x² – 2x + 2) + log 10 ⇒
log(x² + 1) = log[10(x² – 2x + 2)] ⇒ x² + 1 = 10(x² – 2x + 2) ⇒ 9x² – 20x + 19 =0 ⇒
∆ = 400 – 684 = – 284 ⇒ não existe um número real x tal que f(g(x)) = g(f(x)).
(16) VERDADEIRA.
Se o ponto (0, 0) pertence ao gráfico da função g, g(x) = log(x² + 1) ⇒
log(0 + 1) = 0 ⇒ log1 = 0.
Questão 02.
Um indivíduo aplicou um capital por três períodos consecutivos de um ano. No primeiro ano, ele investiu
em uma instituição financeira que remunerou seu capital a uma taxa anual de20%, obtendo um montante
de R$3 024,00. Em cada um dos anos seguintes, ele buscou a instituição financeira que oferecesse as
melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) O capital aplicado inicialmente foi de R$2 520,00.
(02) Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e
somente se, as taxas de juros anuais forem iguais.
(04) Se em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o
rendimento anual também dobrou.
(08) Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%. O capital acumulado no terceiro ano
foi de R$5 110,56.
(16) Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram, respectivamente, de
30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros
anual fosse constante e igual a 20%.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
3024
M = 1,20C = 3 024 ⇒ C = = 2520 ⇒O capital aplicado inicialmente foi de R$2520,00.
1,20
(02) VERDADEIRA.
Os montantes obtidos (3024, 3024x, 3024x²) ao final de cada período de um ano formam uma progressão
geométrica .
(04) FALSA.
Ano 1: rendimento anual = 0,20 × 2520 = 504.
Ano 2: rendimento anual = 0,40 × 3024 = 1209,60 ≠ 2 × 504.
2

(08) VERDADEIRA.
C acumulado = 3024 × 1,30² = 5110,56 .
(16) FALSA.
Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e o terceiro ano, foram, respectivamente, de 30%
e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual
fosse constante e igual a 20%.
Opção I: 1,2 × 1,3 × 1,1 C = 1,716 C
Opção II: 1,2 × 1,2 × 1,2 C = 1, 728 C.
Os resultados seriam diferentes.
Questão 03.
O gráfico representa uma projeção do valor de mercado, v(t), de um imóvel, em função do tempo t.
contado a partir da data de conclusão de sua construção, considerada como a data inicial t = 0. O valor
v(t) é expresso em milhares de reais, e o tempo t, em anos.
Com base nesse gráfico, pode-se afirmar:
(01) Aos dez anos de construído, o imóvel terá valor máximo.
(02) No vigésimo quinto ano de construído, o imóvel terá um valor maior que o inicial.
(04) Em alguma data, o valor do imóvel corresponderá a 37,5% do seu valor inicial.
(08) Ao completar vinte anos de construído, o imóvel voltará a ter o mesmo valor inicial.
2
(t−10)
−
(16) Se v(t) = 200 × 2
100
, então, ao completar trinta anos de construído, o valor do imóvel será igual
a um oitavo do seu valor inicial.
3

RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Aos dez anos de construído, o imóvel terá atingido
o valor máximo de 200 mil reais.
(02) FALSA.
No vigésimo quinto ano de construído, o imóvel
terá atingido o valor a, em milhares de reais,
menor que 100.
(04) VERDADEIRA.
Na data ?, o valor do imóvel corresponderá a
37,5% do seu valor inicial, ou seja a 37,5 mil reais.
(08) VERDADEIRA.
Ao completar vinte anos de construído, o imóvel voltará a ter o mesmo valor inicial.
(16) VERDADEIRA.
2
(t−10)
−
Se v(t) = 200 × 2
100
⇒ v(30) =
200 × 2
2
(30−10)
−
100
2
( 20)
−
= 200 × 2
100
⎛ 1 ⎞
= 200 × ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
400
100
=
200
16
=
100
8
.
Questão 04.
No dia do aniversário de sua fundação, uma empresa premiou cinco clientes que aniversariavam nesse
mesmo dia, todos nascidos no século XX. Observou-se que as idades dos premiados, expressas em anos,
eram todas distintas e que a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma.
Com base nessas informações, sobre as idades dos premiados na data da entrega do prêmio, realizada em
março de 1999, pode-se afirmar:
(01) Organizadas na ordem crescente ou decrescente, formam uma progressão aritmética.
(02) A média e a mediana são iguais.
(04) Se a diferença entre duas idades consecutivas é um número ímpar, então três das idades são números
pares.
(08) Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então o desvio padrão é igual a 2 2
(16) Se a idade de um dos premiados, na entrega do prêmio, é igual a oito vezes a dezena do ano de seu
nascimento, então essa dezena é um número primo.
(32) É possível que todas as idades sejam números primos menores que 21.
4

RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Como a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma, e sendo essa diferença igual a r, e x a
idade mediana, essas idades poderão ser representadas por: x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, que é uma
progressão aritmética de razão r.
(02) VERDADEIRA.
x − 2r
+ x − r + x + x + r
5
+ x + 2r
( ) ( ) ( ) ( ) A média dessas idades é: = = x
5 + 1
Considerando que as idades estão em ordem crescente, a idade mediana será a de posição = 3 ou
2
seja a idade x.
Logo a média e a mediana das idades são iguais.
(04) FALSA.
Sendo a diferença entre duas idades consecutivas um número ímpar, então essas idades serão sempre um
número par e um número ímpar, nessa ordem ou não.
Pode-se ter
Opção I PAR ÍMPAR PAR ÍMPAR PAR 3 pares
x – 2r ,x – r x x + r x + 2r
Opção 2 ÍMPAR PAR ÍMPAR PAR ÍMPAR 3 ímpares
5x
5
.
(08) VERDADEIRA.
Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então podem ser representadas por:
x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4.
Do item anterior viu-se que a média x i = x. O desvio padrão é calculado pela fórmula:
2
2 2
2
( − 4) + ( − 2) + 0 + ( 2) + ( 4)
∑ ( x − x )
2
i
40
ρ = ⇒ ρ =
= = 8 = 2 2 .
n
5
5
(16) VERDADEIRA.
Considere-se d, a dezena do ano de nascimento de um dos premiados. Na entrega do prêmio, a sua idade
é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, logo a sua idade é 8d. Como o prêmio foi
entregue em 1999, pode-se escrever: 1999 – 8d = 1900 + d ⇒ 9d = 99 ⇒ d =11 que é um número primo.
(32) FALSA.
Os números primos menores que 21 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
Não há como selecionar entre eles cinco “consecutivos” com a mesma diferença:
2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5+ 2 = 7; 7 + 4 = 11; 11 + 2 = 13; 13 + 4 = 17 e 17 + 2 = 19.
5

Questão 05
Segundo dados da Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNDA), realizada anualmente pelo
IBGE, a população brasileira, no ano 2007, contava com, aproximadamente, 35 milhões de pessoas
matriculadas no ensino fundamental e, com 31 milhões de pessoas na faixa etária de 6 a 14 anos.
A Taxa de Escolarização Líquida do ensino fundamental (TEL) é o percentual da população na faixa
etária de 6 a 14 anos que está matriculada no ensino fundamental. De acordo com o PNAD, a TEL
relativa ao ano de 2007 foi 97%.
Em todos os anos pesquisados, uma parte da população brasileira matriculada no ensino fundamental
encontrava-se fora da faixa etária de 6 a 14 anos, que é considerada a faixa adequada para matrícula no
ensino fundamental. A Taxa de Escolarização Bruta (TEB) é a razão, expressa em termos percentuais,
entre a população no ensino fundamental e a população na faixa etária de 6 a 14 anos.
Com base nessas informações, em relação à população brasileira, é correto afirmar:
(01) Se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, então, nesse ano, todas as pessoas da faixa etária de 6 a 14
anos estarão matriculadas no ensino fundamental.
(02) Se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, então pode-se garantir que, nesse ano, a TEB também será
de 100%.
(04) Em 2007, 3% da população na faixa etária de 6 a 14 anos não estavam matriculados no ensino
fundamental.
(08) Em 2007, a TEB foi de, aproximadamente, 130%.
(16) Em 2007, aproximadamente, 4,9 milhões de pessoas matriculadas no ensino fundamental tinham
idade inferior a 6 anos ou superior a 14 anos.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Como a (TEL) é o percentual da população na faixa etária de 6 a 14 anos que está matriculada no ensino
fundamental, se no ano de 2014, for igual 100%, então, nesse ano, todas as pessoas da faixa etária de 6 a
14 anos estarão matriculadas no ensino fundamental.
(02) FALSA.
Sendo a TEB, a razão, expressa em termos percentuais, entre a população no ensino fundamental e a
população na faixa etária de 6 a 14 anos, se no ano de 2014, a TEL for igual 100%, e como em todos os
anos pesquisados, uma parte da população brasileira matriculada no ensino fundamental encontrava-se
fora da faixa etária de 6 a 14 anos então pode-se garantir que, nesse ano, a TEB será maior que 100%.
(04) VERDADEIRA.
Em 2007, 3% da população na faixa etária de 6 a 14 anos não estavam matriculados no ensino
fundamental, pois a TEL foi de 97%.
6

(08) FALSA.
PNAD 35
TEB = = = 1,1290 ≅ 1,13 = 113%
TEL 31
(16) VERDADEIRA.
35 000 000 – 0,97 × 31 000 000 = 35 000 000 – 30 070 000 = 4 930 000.
Questão 06.
Considerando-se a matriz M =
⎛ 0
⎜
⎜cos a
⎜
⎝sen a
cos b
tg a
0
sen b ⎞
⎟
0 ⎟ , em que a e b são números reais, é correto
2 2
sen a + cos b
⎟
⎠
afirmar:
(01) Existem a e b tais que M é a matriz nula de ordem 3.
(02) Se a = b = 0, então existe uma única matriz N tal que M + N é a matriz identidade de ordem 3.
(04) Se a = b, então M é uma matriz simétrica.
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(08) Se a = b, então o produto de M pela matriz ⎜cos a ⎟ é a matriz ⎜sen a ⎟ .
⎜ ⎟
⎝sen a
⎜ ⎟
⎠ ⎝sen a ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
(16) Se a = 0, P = ⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
e C =
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟
, então, para cada b, o sistema M.P = C tem solução única .
⎜ ⎟
⎝0⎠
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
⎛ 0
⎜
Para que a matriz M = ⎜cos a
⎜
⎝sen a
cos b
tg a
0
sen b ⎞
⎟
0 ⎟ seja a matriz nula de ordem 3, todos os seus
2 2
sen a + cos b
⎟
⎠
termos terão que ser iguais a zero, e não existe nenhum valor de a, por exemplo, para o qual
cos a = sen a = 0.
(02) VERDADEIRA.
⎛0
⎜
Se a = b = 0, M = ⎜1
⎜
⎝0
(04) VERDADEIRA.
⎛ 0
⎜
Se a = b, então M = ⎜cos a
⎜
⎝sen a
pois todo m = m .
i j
ji
1
0
0
0⎞
⎛ 1
⎟
⎜
0⎟
, e se M + N é a matriz identidade de ordem 3, N = ⎜−1
1
⎟
⎜
⎠
⎝ 0
cos a
tg a
0
sen
2
sen a ⎞ ⎛ 0 cos a sen a ⎞
⎟ ⎜
⎟
0 ⎟ = ⎜cos a tg a 0 ⎟
2
a + cos a
⎟ ⎜
⎟
⎠ ⎝sen a 0 1 ⎠
−1
1
0
0⎞
⎟
0⎟
.
0
⎟
⎠
que é uma matriz simétrica
7

(08) VERDADEIRA.
Se a = b, então o produto de M pela matriz
⎛ 0
⎜
⎜cos a
⎜
⎝sen a
cos a
tg a
0
sen a ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜cos a ⎟
1
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝sen a ⎠
⎛
2
⎜
cos a + sen
= ⎜ sen a
⎜
sen a
⎝
2
a ⎞
⎟
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎟ = ⎜sen a ⎟ .
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝sen a ⎠
(16) FALSA.
⎛0
⎜
Se a = 0 ⇒ ⎜1
⎜
⎝0
cos b
0
0
sen b ⎞ ⎛ x⎞
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜ y
2
cos b
⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎝ z ⎠
=
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟
.
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛0
⎜
Esta equação terá solução única, para cada b, se det ⎜1
⎜
⎝0
cos b
0
0
sen b ⎞
⎟
0 ⎟
2
cos b
⎟
⎠
≠ 0.
0
Sendo o detM = 1
0
cos b
0
0
sen b
0
cos
2
b
3
= −cos
b , detM ≠ 0 ⇒ − cos 3 b ≠ 0 ⇒ cosb ≠ 0 ⇒ b ≠
π
kπ ± .
2
Logo, há valores de b para os quais a equação M.P = C não tem solução única.
Questão 07.
Com base nos conhecimentos de geometria plana e espacial, é correto afirmar;
(01) Se dois triângulos são semelhantes e possuem a mesma área, então eles são congruentes.
(02) Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos, mede o dobro do outro ângulo agudo, então
um dos catetos mede o dobro do outro.
(04) Se, em um plano, dois retângulos têm a mesma área, então é possível transformar um deles no outro
através da composição de uma rotação com uma translação.
(08) Sendo r e s retas concorrentes contidas, respectivamente, nos planos α e β, se α e βsão
perpendiculares, então r e s também o são.
(16) A razão entre os raios das esferas circunscrita e inscrita num mesmo cubo é igual a 3 .
(32) O segmento que une dois vértices de um mesmo prisma qualquer ou é uma aresta ou uma das faces.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Se dois triângulos são semelhantes, vale a proporção:
S
S
1
2
2
⎛ L1
⎞
= ⎜
L
⎟ . Se além de semelhantes eles
⎝ 2 ⎠
2
⎛ L1 ⎞ L1
possuem a mesma área, 1 = ⎜ ⇒ = 1 ⇒ L1
= L2
L
⎟
, logo eles são congruentes.
⎝ 2 ⎠ L2
(02) FALSA.
8

1 cateto oposto a 30°
1
2x + x = 90° ⇒ x = 30°. Como sen30° = , =
2 hipotenusa 2
⇒ medida da hipotenusa é igual
ao dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30°.
(04) FALSA.
Considere-se num plano,por exemplo, dois retângulos de área igual 20cm², um com dimensões
2cm × 10cm, e outro com dimensões 4cm × 5cm. Nunca será possível transformar um deles no outro
através da composição de uma rotação com uma translação.
(08) FALSA.
Na figura ao lado tem-se as retas r e s concorrentes, r ⊂ β e s ⊂ α,
mas r e s não são perpendiculares.
(16) VERDADEIRA.
HB , a diagonal do cubo, é o diâmetro da esfera circunscrita,
então 2R = a 3 .
A medida de MN é igual à medida da aresta do cubo e igual
ao dobro do raio da esfera inscrita no cubo, logo 2r = a.
2R a 3 R
Assim: = ⇒ = 3
2r a r
(32) FALSA.
O segmento que une dois vértices de um mesmo prisma qualquer ou é uma aresta ou uma das faces
quando o prisma for triangular.
Questão 08.
Considere-se uma barraca de camping que tem a forma de uma pirâmide retangular com arestas laterais
congruentes e altura igual a um metro.
Assim sendo, é correto afirmar:
(01) A projeção ortogonal do vértice da pirâmide coincide com o centro da base.
(02) Se a altura e as medidas dos lados da base da pirâmide forem aumentadas em 10%, então o volume
aumentará 33,1%.
(04) Se o piso da barraca tem área máxima entre as áreas de todos os retângulos com perímetro igual a 8
metros, então o piso tem a forma de um quadrado.
9

(08) Se a base da pirâmide tem a forma de um quadrado com lados medindo 2 metros, então o volume é
4
igual a metros cúbicos.
3
(16) Suponha-se que a barraca está montada sobre um terreno horizontal, e sua base é um quadrado com
lados medindo 2 metros. Se, em determinado instante, os raio solares formam um ângulo de 45° com o
solo, então algum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto do solo situado fora da
região coberta pelo piso da barraca.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
VH é a altura dos triângulos isósceles VAC e VBD, então H é o ponto médio das diagonais BD e AC ,
logo H, projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre a base é o centro dessa base.
(02) VERDADEIRA.
V o =
bc ; V1 =
3
(04) VERDADEIRA.
1,1b × 1,1c × 1,1 ⎛ bc ⎞
= 1,331⎜
⎟ = 1,331V
3
⎝ 3 ⎠
b + c = 8 ⇒ b = 8 – c ⇒ S PISO = c (8 – c) = –c² + 8c.
o
= v
o
+ 33,1% V
o
Se a altura e as medidas dos
−8 S PISO atinge valor máximo para c = = 4 metros ⇒ b = (8 – 4) = 4 metros ⇒ c = b, então o piso tem a
− 2
forma de um quadrado.
(08) VERDADEIRA.
2² × 1
V = =
3
4 metros cúbicos.
3
(16) FALSA.
10

O triângulo VHM é isósceles, logo nenhum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto
do solo situado fora da região coberta pelo piso da barraca.
Questão 09.
Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x² − 4x + 3 e g(x) = − x² − bx + c se intersectam
em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b 4 c.
RESOLUÇÃO:
As raízes da função f(x) = x² − 4x + 3 são x = 1 e x = 3, então o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto
(0,3) e o eixo x nos pontos (1, 0) e (3, 0).
Como o gráfico de g intersecta o gráfico de f em um ponto do eixo y, o seu termo independente c = 3,
logo g(x) = − x² − bx + 3.
Como o gráfico de g intersecta o gráfico de f também em um ponto do eixo x, esse ponto é (1, 0) ou (3, 0)
⇒ g(1) = 0 ou g(3) = 0 ⇒ − 1 − b + 3 = 0 ou − 9 − 3b + 3 = 0 ⇒ b = 2 ou b = −2.
Sendo c = 3 e (b = −2 ou b = 2), tem-se b 4 c = 16 × 3 = 48.
RESPOSTA: 48.
11

Questão 10.
Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6),
C'
de coordenadas positivas.
A ' (0, 0),
B'
( 6 2, 0) e um ponto
Sabendo que BÂC = B'Â'C' e AĈB = A'Ĉ' B' , determine o produto das coordenadas de C ' .
RESOLUÇÃO:
2
2
BC = 2 + 2 = 2 2 e AB = 2 + 2 = 2 2 .
Sendo AC = 4, o triângulo ABC é retângulo, pois, AC² = BC² +
AB².
A’Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes pois,
BÂC = B'Â'C' e AĈB = A'Ĉ'B' e a razão de semelhança é 3,
pois B’ = 6 2 = 3 AB.
Assim o triângulo A’B’C’ também é retângulo e isósceles e
C '(6 2, 6 2) .
O produto das coordenadas de C’ é 72.
RESPOSTA: 72.
2
2
12