面積分總論

面 積 分 總 論
1. 基 本 函 數 圖 形
(1). 直 線 y=ax+b
截 距 法 ,y 之 截 距 為 b,x 之 截 距 為
−b
a
Ex1: y=3x, y=-3x, y=2x+4, y=-2x+4,y=2x-4,y=2x+4
2
(2). 拋 物 線 y = ax + bx + c
(A). 先 看 a >0, or a 0 ---> 凹 向 上
a 凹 向 下
(B). 再 利 用 配 方 來 求 高 低 點 :
2
y = x + 4x+
7
2
= ( x + 2) − 4+
7
2
= ( x + 2) + 3
a=1> 0 ---> 凹 向 上 , 有 低 點 (-2,3)

2
3x
6 9
y =− + −
2
3( x 2x
3)
=− − +
2
3[( x 1) 1 3]
=− − − +
2
3[( x 1) 2]
=− − +
2
3( x 1) 6
=− − −
a=-3< 0 ---> 凹 向 下 , 有 高 點 (1,-6)
n
(3). 多 次 方 y = ax
(4). 無 理 函 數 y = x 1 1
2
3
2 , y = x 3 , y = x 3 , y = x 2

(5). 指 數 與 對 數 ( y = a x , y = log x)
a
a > 1 a < 1
y = 3 x y = ( 1 2 )x
(6). 三 角 函 數 (sinx ,cosx)
(7). 圓
(x − x o ) 2 +(y − y o ) 2 = R 2
圓 心 為 ( x0, y
0)
而 半 徑 為 R 之 圓

x
(8). 橢 圓 ( 2 y
2
+ = 1)
2 2
a b
x
(9). 雙 曲 線 ( 2 y
2
− = 1)
2 2
a b

2. 求 曲 線 下 之 面 積
π π
(1). 求 y = sin x , 由 x= ~ x= 和 y=0, 所 圍 之 面 積 為 何 ?
4 2
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
π π 2
2 4 2
π
2
2
π sin xdx= =-(cos
π
-cos )=
4 4
∫
-cosx π
2
(2). 求 y = x − 2x+ 6 , 由 x=0~x=2 和 y=0 , 所 圍 之 面 積 為 何 ?
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
∫
0
2
3
2 x 2 8
(x -2x-6)dx= -x +6x = - 4+12
3 3
2
0
x
(3). 求 y = e , 由 x=0~x=2 和 y=0, 所 圍 之 面 積 為 何 ?
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
∫
2
x x
2
2
0
edx=e =e-1
0
2 2
x y
(4). 求 橢 圓 + = 1 , 由 x=0~x=2 和 y=0, 所 圍 之 面 積 為 何 ?
4 9
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
y = 3 1− x2
4
x
x
(3 1- )dx=3 1- dx
4 4
2 2
2 2
∫ ∫
0 0

令 :
x
x = u = u dx=
udu
4
π
x= 0, u = 0, x= 2, u =
2
原 式 為 :
2
2
2sin , sin , 2cos ,
x
4
2
π
2
2 2
(3 1- )dx=6 cos udu
0 0
∫ ∫ and(
2
cos 2x=2cos x-1)
π π π
1+cos 2u
∫
2
∫ ∫
3π
= 2
2 2 2
=6 du=3 1du+3 2udu
0 0 0
3. 求 兩 曲 線 圍 成 之 面 積
π π
(1). 求 y=sinx , 由 x= ~ x= 和 y=0.5, 所 圍 之 面 積 為 何 ?
2 4
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
π π 2
2 4 2
π
π
2 2
A1= ∫ π sin xdx= -cos x π =-(cos -cos )=
4 4
π
π
π
2 2
A2= ∫ π 0.5dx= 0.5x π =
4 4 8
2 π
A=A1-A2= -
2 8
2
(2). 求 y = x − 2x+ 6 , 和 y=6, 所 圍 之 面 積 為 何 ?
( 請 圖 示 所 求 之 面 積 )
解 :
3
2
2 x 2 8
A1= ∫ (x -2x+6)dx= -x +6x = -4+12
0
3 3
2
0

∫
2
2
A2= 8dx=8x =16
A=A1-A2
0 0
2
(3). 求 拋 物 線 yx ( ) = x, 和 y( x)
= x所 圍 成 之 面 積
解 : 兩 線 所 圍 之 面 積 範 圍 為 [0,1] 間 ,
2
1
1 x
A1= ∫ xdx= =1
0
2
0
3
1
1
2
A2= ∫ x dx= =
0
0
2
A=A1-A2= 3
x 1
3 3
3
(4). 求 由 y(x)=4x 和 yx ( ) = x所 圍 成 的 面 積
(5). 求 y( x) = cosx和 y( x) = sinx, 在 x=0, 至 x = 2π
間 所 圍 成 的 面 積 。
(6). 求 由 y( x)
(7). 求 由 y( x)
2
= x和 y = 2x+ 8所 圍 成 的 面 積 。
π π
= x和 y( x) = sinx,
x = − , x = 所 圍 成 的 面 積 。
4 2