第一次作業練習解答(二)

ㄧ、 求 下 列 無 窮 級 數 之 斂 散 性
1.
∞
∑
n=0
(-1) n
n+1
2.
∞
∑
n=0
( ) n+1 2
-1 n
(n+2)!
3.
∞
∑
n=0
( ) n
-1 n!
(2n+1)!
4.
∞
∑
n=0
(-1) n
1+ n
5.
6.
7.
8.
9.
10.
∞
∑
n = 1
∞
∑
n = 0
∞
∑
n = 1
∞
∑
n=
1
∞
∑
n=
1
∞
∑
sin ( π n/2)
n
cosπ
n
n+2
n
(-1) ln
n
cosπ
n
n
n
( −1)
n
n!
n!
( 2) n
n= 1 −
n
n
=
二 、 求 下 列 函 數 之 Maclaurin series? 並 求 其 收 斂 半 徑
1
1.
1+
x
x
2. 1 + x
2
3.
2
1−
x
4. ln(1 + x)
−1
5. tan x
6. x + 1
7. xsin 2x
2
8. sin x

Sol:
1.
2.
n+
1
( −1)
n
∞
(-1)
2
1 1
lim n +
n+ n+
∑ = = lim ( − 1) Q < 1故 收 斂
n
n=0 n+1 n→∞
( − 1) n→∞
n+ 2 n+
2
n + 1
n+
2 2
( − 1) ( n + 1)
n+1
∞
2 2 2
(-1)
n ( n + 3)! ( − 1)( n + 2n+ 1) n + 2n+
1
∑ =lim = lim Q < 1故 收 斂
n 1 2 2 2
n=0 (n+2)! n→∞
+
( − 1) n n→∞
( n+ 3) n ( n+
3) n
( n + 2)!
n+
1
( − 1) ( n + 1)!
n
∞
(-1)
n! (2n
+ 3)! ( − 1)( n+ 1) n+
1
3. ∑ =lim = lim Q < 1故 收 斂
n
n=0 (2n+1)! n→∞
( − 1) n!
n→∞
(2n+ 2)(2n+ 3) (2n+ 2)(2n+
3)
(2n
+ 1)!
4.
5
n+
1
( −1)
n
∞
(-1)
1 1 ( 1)(1 ) 1
=lim
+ n + − + n + n
∑ = lim Q < 1故 收 斂
n
n=0 1+ n
n→∞
( − 1) n→∞
1+ n+ 1 1+ n+
1
1+
n
∞
∑
n+
1
( −1)
∞ n
sin ( π n/2) ( − 1) 2 3
2 1 2 1
lim n
n+ n+
= +
∑ = = lim ( − 1) Q < 1故 收 斂
n
n 2n+ 1 n→∞
( −1)
n→∞
2n+ 3 2n+
3
2n
+ 1
n = 1 n=
0
.
∞
sin ((n+1) π /2)
ps. ∑
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
n = 0 n+1
1 1 1
0 - 0 0 -
3 5 7
∞ n
(-1)
∑ 零 項 次 不 加
2n+1
n = 0
6.
∞
n+
1
( −1)
∞ n
cosπ
n ( −1) 3 ( 1)( 2) 2
= lim n
− n+ n+
= + = lim < 1
n
n+2 n+ 2 n→∞
( −1)
n→∞
( n+ 3) n+
3
n + 2
∑ ∑ Q 故 收 斂
n = 0 n=0
n+
1
( − 1) ln( n + 1)
∞ n
(-1) ln n ln( 1) ln( 1)
7.
=lim n + 1
n n+ n n+
∑ = lim ( − 1) Q < 1且 趨 近 於 0, 故 收 斂
n
n = 1 n n→∞
( − 1) lnn n→∞
( n+ 1)lnn n+
1 lnn
n
8.
∞
n+
1
( −1)
∞ n
cosπ
n ( − 1)
= lim
1 n
=
n +
< 1
n
n
n n
→∞ ( − 1) n+
1
n
∑ ∑ Q 故 收 斂
n=
1 n=1

n+ 1 n+
1
( − 1) ( n + 1)
∞ n n n n
( − 1) n ( n + 1)!
( n+ 1) ( n+
1)
9. ∑ = lim = lim ( − 1) Q = e > 1( 發 散 )
n n n n
1 ! n ( 1)
n
n n →∞ n
→∞
=
−
n n
n!
10.
∞
∑
n=
1
( n + 1)!
n+
1
n! ( −2)
n+
1
= lim = lim > 1故 發 散
n
( −2) n→∞
n!
n→∞
−2
n
( −2)
1.
∞
1 1
n
= = ∑( −1)
x
+ x
2
1 1-(-x )
2
=> <
n=
0
n+ 1 2n+
2
( −1)
x
lim < 1
n→∞
n 2n
( −1)
x
x
1
2n
2.
∞
x 1
= x* = x∑( − 1) x = ∑( −1)
x
1+ x 1+
x
x
x
∞
n n n n+
1
n= 0 n=
0
2n+
2
2
lim < 1 => x < 1, 即 x < 1
n→∞
2n
即
x
< 1
3.
2
2 1
= 2( ) = 2
2 2
1−x
1−x
x
x
n=
1
2n
2n+
2
2
lim < 1 => x < 1即
x < 1
n→∞
2n
∞
∑
x
2 3
∞ n
x x ( −1)
ln(1 + x) = x− + + .... = ∑ x
2 3 n + 1
n+
1
4. ( −1)
n+
2
x
lim n + 2 < 1, => x < 1
n→∞
n
( −1)
n+
1
x
n + 1
5. 6.
3 5
∞ n
− 1 x x ( −1)
2n+
1
tan x = x− + + ..... = ∑ x
1
3 5 n=
0 2n
+ 1
1 1 1 1
2
2
x+ 1 = (1 + x) = 1 + x+ ( )( − 1) x + ..
2n+
3
x
2 2! 2 2
2
2 3 (2n
1) x
lim n + +
1 1 2 1 3 5 4
= lim = 1 + x− x + x − x + ...
n→∞
2n+
1
x
n→∞
(2 n + 3)
2 8 16 128
2n
+ 1
x < 1
x
7.
< 1, 即 x < 1
z
xsin 2 x令 Z = x,
x=
2
∞ n
z z ( −1) 1 ( −1)
sin Z = ∑ Z = ∑ Z
2 2 (2n+ 1)! 2 (2n+
1)!
n= 0 n=
0
∞ n
2n+ 1 2n+
2
1 2n+
4
Z
(2n
+ 5)!
1
1
Z
(2n+ 3)(2n+
2)
(2n
+ 1)!
2
lim = lim * < 1
n→∞
2n+
2 n→∞
收 斂 半 徑 −∞< Z

1
x= − x
2
2 4 6
x x x
而 cos x = 1 − + − + ...
2! 4! 6!
以 2 x代 替 x
2
sin (1 cos 2 )
2 4 6
(2 x) (2 x) (2 x)
cos 2x
= 1 − + − + ...
2! 4! 6
2 4 6
2 2 2 4 2 6
= 1 − x + x − x + ...
2! 4! 6!
1
x= − x
2
2 4 6
1 2 2 2 4 2
= (1 − 1 + x − x + −...)
2 2! 4! 6!
2 4 6
1 2 2 2 4 2 6
= ( x − x + x −...)
2 2! 4! 6!
3 5
2 2 2 4 2 6
= x − x + x −...
2! 4! 6!
收 斂 半 徑 為 −∞< z