微積分第三次作業

微 積 分 第 三 次 作 業
一 、 計 算 題 (60%):
3- 9+x
1. 求 lim =?
x→ 0 x
|x|
2. 求 lim =?
x→ 0 x
⎧4x-3 ,x ≥ 1
3. 已 知 f(x)= ⎨
,lim f(x)=?
2
2-x ,x

二 、 利 用 Pinching law( 三 明 治 法 則 ) 試 證 下 列 極 限 成 立 (40%)
(1).
(2).
(3).
(4).
limsin x=0
x→0
lim cos x=1
x→0
sinx
lim =1
x→0
x
2
cosx-1 1-cosx sin x
lim =0 (Hint: = )
x→0
x x x(1+cosx)

第 一 大 題
1.
(3- 9+x)(3+ 9+x) 9-9-x -1 -1
lim = lim = lim =
x→0 x→0 x→0
6
(3+ 9+x) x(3+ 9+x) (3+ 9+x)
-x x
lim =-1 , lim =1
x x
2.
- +
x→0 x→0
極 限 不 存 在
2
3.
- +
x→1 x→1
x→1
lim 2-x =1 , lim 4x-3=1 ,lim f(x)=1
4. 0
-(x-3)
5. lim =-1
-
x→1
x-3
6. 4
7. -5 6
8. 2*1=2
9. 0+3-9=-6
10.
a. 3*12-2*3+4=34
b. 3*9-2*3+4=25
c. 3*6-2*(-3)+4=28
d. 0-2(-1)+4=6
99 98
(x-1)(x +x +.....+1)
11. lim =100
x→1
x-1
12.
lim
1+ x+3- 3 ( 1+ x+3- 3)( 1+ x+3 + 3)
= lim
x-1 x-1( 1+ x+3 + 3)
x→1 x→1
lim
(1+ x+3-3) = lim
( x+3-2)( x+3+2)
x-1( 1+ x+3 + 3) x-1( 1+ x+3 + 3)( x+3+2)
x→
1 x→
1
=
lim
x+3-4 = lim
1
x-1( 1+ x+3 + 3)( x+3+2) ( 1+ x+3 + 3)( x+3+2)
x→
1 x→
1
=
1 1 3
= = = 24
2 3( 4+2) 8 3

13.
3 1
2 2 2
3
2
2 x+x -x x
2
x→∞ x→∞ 3 -1
2
x→∞
2
2
∞
lim x +x -x= lim = lim = = ∞
1+x +1
2
x+x +x
14.
lim
x→∞
2 2
x +x-1- x -x = lim
x→∞
2 2 2 2
( x +x-1- x -x )( x +x-1+ x -x )
2 2
x+x-1+ x-x
15.
2 2
x +x-1-x +x 2x-1 2
2 2 x→∞
x+x-1+ x-x
1 1 1
x( 1+ - + 1- )
2
=lim =lim = =1
x→∞
1+1
x x x
1 1
1+ -
⎛ 1 1 ⎞ |x| |x|
1
|x|
lim 1+ - =lim =lim =lim =0
x→0⎜
|x| |x| ⎟ x→0 1 1
x→0 1 1
x→0
⎝
⎠
|x|+1+1
1+ + 1+ +
|x| |x| |x| |x|
第 二 大 題
1.
由 半 徑 為 1 之 圓 取 θ =x
鄰 邊 對 邊 對 邊
cos x= ,sinx= , tan x=
斜 邊 斜 邊 鄰 邊
又 OAC
鄰 邊 對 邊
cos x= ,sinx= , 故 OAC 之 對 邊
1 1
為 sinx 鄰 邊 為 cosx
又 OBD
對 邊
tan x= , 故 OBD 之 對 邊 為 tanx
1
從 圖 可 知 三 塊 面 積
原 點 O
OAC=1/2 底 * 高
OBD=1/2 底 * 高
扇 型 面 積 1/2rθ
可 得 面 積 比
1 1 1
tanx> x> cos x sin x
2 2 2
tanx>x> cos x sin x
同 乘 2

lim xcosx< limsinx< lim
x→0 x→0 x→0
cos x
x
同 乘 xsinx ,
x
xcosx cos x sin x
2 2 2
tanx>x> cos x sin x
同 除 sinx
1 x
> >cosx
cosx sinx
,
同 乘 2
sinx 1
cos x< <
x cosx
1 1 sinx 1
lim cos x< lim < lim
x→0 cosx x→0 cosx x x→0
cosx
sinx
1< lim x> cos x sin x
2 2 2
同 乘 2
tanx>x> cos x sin x 同 乘 (1+cosx)
2
tanx(1+cosx)>x(1+cosx)> cos x sin x(1+cosx) 同 除 -sin x
tanx(1+cosx) x(1+cosx) cos x sin x(1+cosx)
< <
2 2 2
-sin x -sin x -sin x
2
-sinxcosx -sin x -sinx
< <
(1+cosx) x(1+cosx) cos x(1+cosx)
2
-sinxcosx -sin x -sinx
lim < lim < lim
x→0 (1+cosx) x→0 x(1+cosx) x→0
cos x(1+cosx)
上 下 反

2
-sin x
0