Lista de Exercícios 4 - Plato

Instituto de Física da Universidade de São Paulo
FEP2196 - Física para Engenharia II
Lista de exercícios 4 - Relatividade ∗
Exercícios de Cinemática Relativística
1. Um feixe de mésons, que se move com velocidade v = √ 3
2
c em relação ao laboratório, passa diante de dois
contadores separados por uma distância de 9 m no laboratório. As partículas não sofrem perda alguma, seja
em velocidade ou em energia, ao passarem diante dos contadores. Observa-se que o primeiro contador registra
1000 mésons e o segundo assinala somente 250. Admitindo-se que a diminuição no número dos mésons resulta
da desintegração destes em vôo, pergunta-se: qual é a vida média dessas partículas no seu sistema próprio?
Admita que os mésons se desintegram segundo a lei N(t) = N 0 × 2 −t /T , onde N 0 é o número de partículas
no instante t = 0 e T é a vida média dos mésons (não confundir com a meia-vida, que é T/ log 2!)
R: T 0 = 0, 87 × 10 −8 s.
2. Uma régua tem o comprimento próprio de 1 m e se move ao longo do próprio eixo com uma velocidade V em
relação a um observador. O comprimento da régua medido por esse observador é 0, 914 m. Qual a velocidade
V ?
R: 0, 406 c.
3. Considere um universo em que a velocidade da luz é c = 120 km/h. Um Honda Civic correndo a uma
velocidade v relativa à estrada ultrapassa um Gol se movendo a uma velocidade de c 2
em relação à estrada.
A velocidade do Civic é tal que seu comprimento é medido por um observador fixo na estrada como sendo
o mesmo que o do Gol. Sabe-se que o comprimento próprio do Civic é o dobro do comprimento próprio do
Gol. Qual é a velocidade do Honda Civic?
R: v = 108, 2 km/h.
4. Um estudante vai realizar uma prova que deve durar 1 hora. Seu professor está em viagem e passará (sem
parar) pela Terra com velocidade constante v = 0, 6 c. O aluno propõe que a prova inicie quando o professor
passar pela Terra e, quando o professor, em seu próprio relógio, verificar que se passou 1 hora do início da
prova, ele deverá enviar um sinal luminoso à Terra. O aluno terminaria a prova quando recebesse o sinal
luminoso.
(a) Quanto tempo o aluno teria para realizar a prova, de acordo com seu relógio?
(b) E quanto tempo o aluno teve para fazer a prova, de acordo com o relógio do professor?
(c) Qual desses intervalos de tempo realmente importa?
R: (a) 2 horas; (b) 2,5 horas; (c) O horário medido pelo aluno, claro!
5. Um evento ocorre no sistema de referência S em x = 40 m, y = z = 0, t = 10 −8 s. S ′ é um sistema de
referência com uma velocidade de 0, 8 c ao longo do eixo x positivo de S. Ache as coordenadas espaço-tempo
do acontecimento em S ′ se os eixos x, y, z de ambos os sistemas forem paralelos.
R: x ′ = 61, 7 m, y ′ = z ′ = 0 e t ′ = −1, 6 × 10 −7 s.
∗ Nota: exercícios especialmente desafiantes estão marcados com um “(*)”.
1

6. Uma barra de comprimento próprio l 0 move-se com velocidade constante v relativamente a um sistema S.
Chame o referencial da barra (que está parado com respeito à barra, e para o qual a barra tem comprimento
l 0 ) de S ′ . Suponha que a extremidade da frente da barra, A ′ , passa pelo ponto A de S no instante de tempo
t = t ′ = 0, e que naquele instante é emitido de A ′ um sinal de luz que viaja de A ′ para B ′ (a extremidade de
trás da barra).
(a) Em qual instante de tempo t 0 , medido em S ′ (o referencial em repouso com relação à barra), o sinal
chega em B ′ ?
(b) Em qual instante de tempo t 1 , medido em S, o sinal alcança B ′ ?
(c) Em qual instante de tempo t 2 , medido em S, a extremidade B ′ da barra passa pelo ponto A?
√ ( )
R: (a) t 0 = l0 c . (b) t 1 = l0 1− v
c
c 1+
. (c) t v 2 = l0
c
γv
7. Quando visto de um sistema inercial S, um evento ocorre no ponto x A sobre o eixo x, e 10 −6 s mais tarde
um outro evento ocorre no ponto x B , tal que x A − x B = 600 m, quando visto de S.
(a) Existe um outro sistema inercial S ′ , movendo-se com uma velocidade menor do que c e paralela ao eixo
x, para o qual os dois eventos (A e B) são simultâneos? Se assim for, qual é o módulo e o sentido da
velocidade de S ′ com relação a S?
(b) Repita a parte (a) para o caso em que A e B estão separados somente de 100 m quando vistos de S.
Ainda é possível encontrar esse referencial S ′ para o qual os dois eventos são simultâneos?
R: (a) Sim, ⃗v = −0, 5 c î. (b) v → 3 c (???) ⇒ impossível!
8. Um astronauta observa duas espaçonaves viajando em direção a ele em sentidos opostos. Uma das espaçonaves
(S 1 ) se aproxima com uma velocidade escalar v 1 = 0, 6 c, enquanto a segunda (S 2 ) se aproxima com uma
velocidade escalar v 2 = 0, 8 c. Com que velocidade escalar um observador em S 2 vê a espaçonave S 1 se
aproximando?
R: v = 0, 95 c
9. Duas naves espaciais, A e B, viajam na mesma direção em sentidos contrários, com velocidades de magnitude
0, 8 c em relação à Terra (v A = 0, 8 c e v B = −0, 8 c). Cada nave tem comprimento próprio L 0 = 100 m (ou
seja, L 0 é o comprimento medido no referencial em que a nave está em repouso).
(a) Qual o comprimento de cada nave medido por um observador na Terra?
(b) Qual o comprimento e a velocidade da nave B medidos por um observador na nave A?
(c) Qual o comprimento e a velocidade da nave A medidos por um observador na nave B?
(d) No instante de tempo t = 0 (relógio da Terra) as proas das naves estão alinhadas e elas começam a
passar uma pela outra. Em que instante de tempo (no relógio da Terra) estarão as popas alinhadas?
R: (a) L A = L B = 60 m. (b) L ′ B = 19, 90 m e v′ B = −0, 98 c. (c) L′′ A = 19, 90 m e v′′ A = 0, 98 c. (d)
t = 2, 5 × 10 −7 s.
10. Dois eventos, um na posição (x A , y A , z A ), e outro na posição (x B , y B , z B ) ocorrem no mesmo instante t 1
para um observador que está no sistema inercial de referência 1. Esses eventos serão simultâneos para um
observador que está no sistema inercial de referência 2, que se move com velocidade v ao longo do eixo x em
relação a 1? Se não, qual o intervalo de tempo entre a ocorrência destes eventos? Discuta a dependência do
intervalo de tempo com v e com a distância entre os eventos.
R: Os dois eventos não são simultâneos no referencial 2. O intervalo de tempo medido naquele referencial
será t (2)
B
− t(2) A
= γv
c 2 (x A − x B ).
11. Uma nave espacial S é alcançada por uma nave espacial S ′ , com S ′ passando por S com uma velocidade
relativa v = c 2 . O capitão de S saúda o capitão de S′ piscando as luzes da proa e popa, simultaneamente do
ponto de vista de S. Quando medida por S, a distância entre as luzes é de 100 m. Qual a diferença entre os
tempos de emissão dos sinais das luzes, quando medidos por S ′ ?
R: ∆t ′ = 1, 92 × 10 −7 s.
2

12. Um observador em S vê uma estrela com uma elevação angular θ em relação à horizontal Ox. Um segundo
observador S ′ caminha na direção Ox com velocidade v relativa a S.
(a) Calcule o ângulo de elevação θ ′ da estrela, visto por S ′ , em relação a O ′ x ′ , sem utilizar os resultados da
Teoria da Relatividade Restrita (cálculo “clássico”). Esse efeito era conhecido pelos astrônomos desde
o Séc. XVI como “aberração da luz”.
(b) Calcule novamente o ângulo θ ′ , desta vez utilizando a Teoria da Relatividade Restrita.
(c) Compare os resultados dos itens anteriores quando v c ≪ 1.
R: (a) tan(θ ′ ) = sen(θ)
cos(θ)+
. (b) tan(θ ′ ) = 1 sen(θ)
v
c
γ [cos(θ)+ v c ] . (c) Se v c
≪ 1 tem-se que γ ≈ 1 e o resultado relativístico
será quase igual ao clássico.
13. O maior comprimento de onda da luz emitida pelo hidrogênio (na chamada série de Balmer), tem o comprimento
de onda λ 0 = 656 nm. Na luz emitida por uma certa galáxia distante, este comprimento de onda é
medido na Terra como λ ′ = 1458 nm. Ache a velocidade de recessão (afastamento) da galáxia em relação à
Terra.
R: 0, 663 c.
14. Em um referencial S um observador vê duas partículas idênticas (A e B) emergirem da origem do sistema de
referência, com velocidades iguais u = 0, 5 c, formando um ângulo de +30 ◦ e −30 ◦ com o eixo x.
(a) Determine as velocidades de A e B quando observadas no referencial do centro de massa das duas
partículas (ou seja, no referencial que permanece no eixo x, na linha que liga as partículas).
(b) Determine a velocidade da partícula A em relação à partícula B.
R: (a) ⃗v A = √ 13
13 c ĵ e ⃗v B = − √ 13
13 c ĵ. (b) ⃗v′ A = √ 13
7
c ĵ.
15. (*) Num sistema de referência S, uma barra de comprimento L 0 se move na direção y, com velocidade (0, u,
0), mantendo-se sempre paralela ao eixo x. Em t = 0 o centro da barra coincide com a origem do sistema de
referência e eventos 1 e 2 ocorrem nas extremidades direita e esquerda da barra, respectivamente.
(a) Quais são as coordenadas espaço-temporais dos eventos 1 e 2, conforme um observador em S?
(b) Determine as coordenadas espaço-temporais dos eventos 1 e 2 observadas num referencial S ′ , que se
move com velocidade (v, 0, 0) relativamente a S. (Assuma, como de praxe, que em t = t ′ = 0 os dois
sistemas de coordenadas se superpõem.)
(c) Determine a velocidade da barra no sistema S ′ .
(d) Para um observador em S ′ a barra estará inclinada de um ângulo θ ′ em relação ao eixo x ′ . Determine
esse ângulo.
R: (a) x 1 = L0
2 , y 1 = z 1 = 0, t 1 = 0 e x 2 = − L0
2 , y 2 = z 2 = 0, t 2 = 0. (b) x ′ 1 = γL0
2 , y′ 1 = z 1 ′ = 0, t ′ 1 = − γvL0
2c 2
e x ′ 2 = − γL0
2 , y′ 2 = z 2 ′ = 0, t ′ 2 = γvL0
2c
. (c) u ′ 2 x = −v, u ′ y = u γ , u′ z = 0. (d) tan(θ ′ ) = γuv
c
. 2
16. Duas espaçonaves, cada uma com comprimento próprio L 0 , passam uma pela outra viajando em direções
opostas. Um astronauta na frente de uma das naves mede um intervalo de tempo T para que a outra passe
totalmente por ele.
(a) Expresse a velocidade relativa entre as naves em termos de L 0 , c e T .
R: (a) v = L0
T
r 1
.
1+ L2 0
T 2 c 2
17. (Problema da P3 de 2007) Um trem de comprimento próprio L 0 move-se com velocidade v = 0, 8 c em
relação à estrada e dirige-se para uma ponte com extensão d, medido no referencial da estrada (S). No
momento em que a dianteira do trem (A) passa pelo ponto O, no início da ponte, dois flashes de luz são
disparados simultaneamente no referencial do trem (S ′ ), nas extremidades do trem (A e B). Nesse instante,
dois observadores, um em A e outro em O, sincronizam seus cronômetros em t = t ′ = 0 com a origem dos
sistemas de referência S e S ′ coincidentes.
3

(a) No referencial da estrada, qual o intervalo de tempo ∆t entre os flashes de luz emitidos em A e B?
(b) No referencial da estrada, em que instante t 1 o flash emitido em A atinge o ponto B?
(c) No referencial do trem, quanto tempo ele leva para percorrer completamente a ponte?
R: (a) ∆t = − 4 L 0
3 c
. (b) t 1 = 1 L 0
3 c
. (c) δt ′ = 5L0+3d
4c
.
18. (Problema da P3 de 2007) Num referencial S duas espaçonaves A e B movem-se com velocidades de módulo
u = 0, 5 c na mesma direção, mas em sentidos opostos. Cada espaçonave tem comprimento próprio igual a
100 m. Quando a espaçonave A passa pela origem O, um feixe de luz é emitido partindo de O, formando um
ângulo de θ = 60 o em relação ao eixo Ox.
(a) Determine a velocidade da espaçonave A em relação a B.
(b) Qual a inclinação θ ′ do feixe de luz medido pelo observador na espaçonave B?
(c) Os resultados obtidos nos itens anteriores são compatíveis com os postulados da relatividade? Explique.
R: (a) u ′ a = 0, 8 c. (b) θ ′ = arctan 3 4
. (c) Sim, os resultados são compatíveis: a velocidade escalar do raio de
luz permanece sendo c.
19. (**) Encontre a matriz A que realiza a transformação de Lorentz entre os “quadri-vetores” (x, y, z, c t) e
(x ′ , y ′ , z ′ , c t ′ ) dos sistemas S e S ′ , respectivamente, em função da velocidade relativa entre os dois referenciais,
dada por ⃗ V = V (cos θ ˆx + sin θ ŷ).
Dica: comece encontrando a transformação de Lorentz para o quadri-vetor quando a velocidade é ⃗ V = V ˆx,
e depois faça uma rotação pelo ângulo θ no plano x-y.
R: A(θ, V ) = R z (−θ)A(θ = 0, V )R z (θ), onde:
⎛
⎞
cosh α 0 0 − sinh α
A(θ = 0, V ) = ⎜ 0 1 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0 ⎠ , com tanh α = V c
− sinh α 0 0 cosh α
e R z (θ) =
⎛
⎜
⎝
cos θ sin θ 0 0
− sin θ cos θ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ .
4

Exercícios de Dinâmica Relativística
1. Um elétron, cuja energia é 0, 511 MeV quando em repouso, tem uma velocidade u = 0, 8 c quando observado
num referencial S. Achar sua energia total, a sua energia cinética e o seu momento medidos no referencial S.
R: E = 0, 852 MeV , K = 0, 341 MeV e P = 0, 681 MeV/c
2. A vida média de mésons-µ em repouso é T 0 = 2, 2 × 10 −6 s. Uma medida realizada no laboratório forneceu
uma vida média T 0 = 6, 9×10 −6 s. Responda às seguintes perguntas também considerando medidas realizadas
no laboratório.
(a) Qual a velocidade do mésons?
(b) A massa de repouso de um méson-µ é 207 vezes a massa de repouso do elétron (m e = 0, 511 MeV/c 2 ).
Qual é a massa relativística dos mésons criados no laboratório?
(c) Qual é a energia cinética dos mésons?
(d) Qual é o momento linear dos mésons?
R: (a) v = 0, 95 c. (b) m = 332 MeV/c 2 . (c) K = 227 MeV. (d) p = 315 MeV/c.
3. Uma caixa retangular em repouso tem arestas com comprimentos a, b, e c. A massa de repouso da caixa é
m 0 e sua massa de repouso por unidade de volume é ρ 0 = m0
abc .
(a) Qual é o volume da caixa, visto por um observador que se move em relação à caixa com velocidade de
magnitude v na direção da aresta a?
(b) Qual é a massa relativística da caixa medida por este observador?
(c) Qual é a densidade da caixa, em termos de ρ 0 , quando medida pelo observador?
R: (a) V ′
0 = abc
γ , (b) m = γm 0 e (c) ρ ′ 0 = γ 2 ρ 0 .
4. Um núcleo de 12 C é composto de 6 prótons (p) e 6 nêutrons (n), mantidos em estreita associação por forças
nucleares intensas. As massas de repouso do núcleo 12 C, do próton e do nêutron são, respectivamente,
m C = 12, 000000 u, m p = 1, 007825 u e m n = 1, 008665 u, onde u = 931, 4815 MeV/c 2 . Qual é a quantidade
de energia que devemos fornecer a um núcleo de 12 C para separá-lo em seus prótons e nêutrons constituintes?
R: ∆E = 92, 1608 MeV = 1, 48 × 10 −11 J.
5. Para um avião supersônico voando a 2400 km/h, ache o erro percentual feito no cálculo da sua energia
cinética, quando se utiliza a aproximação não relativística.
R: ∆K K = 3, 7 × 10−12 = 3, 7 × 10 −10 %.
6. Um próton com energia cinética E K = 437 MeV colide elasticamente com um próton em repouso e, após
a colisão, os prótons emergem com energias cinéticas iguais. Determine o ângulo entre as direções definidas
pelas trajetórias dos prótons após a colisão.
R: θ = 84 ◦ .
7. Um corpo de massa de repouso m 0 caminhando inicialmente com uma velocidade de magnitude v = 0, 6 c
em relação ao referencial do laboratório, efetua uma colisão perfeitamente inelástica com um corpo idêntico,
inicialmente em repouso no referencial do laboratório.
(a) Qual é a velocidade do corpo resultante?
(b) Qual é a massa de repouso do corpo resultante?
R: (a) v ′ = 0, 33 c. (b) M 0 = 2, 15 m 0 .
8. Uma partícula de massa de repouso m 0 tem uma energia cinética K. Prove que seu momento linear obedece
a equação:
√
p = 2m 0 K + K2
c 2 5

9. Um elétron e um pósitron (anti-elétron) movem-se juntos, formando um sistema ligado conhecido como
positrônio, com velocidade v 0 = 0, 6 c. Num certo instante de tempo o pósitron e o elétron se aniquilam,
criando dois fótons que se movem em direções que formam ângulos θ iguais em relação à direção definida pela
trajetória do positrônio. Fótons são partículas de massa de repouso igual a zero. As energias de repouso do
elétron e do pósitron são iguais e valem 0, 5 MeV/c 2 . Despreze a energia de ligação do positrônio.
(a) Qual a energia do positrônio?
(b) Qual a energia e o momento linear de cada fóton?
(c) Qual o valor do ângulo θ?
R: (a) E p = 1, 25 MeV , (b) E f = 0, 625 MeV e p f = 0, 625 MeV/c e (c) θ = arccos ( 3
5)
.
10. No referencial do laboratório, qual a mínima energia cinética que um próton deve ter para que ao colidir com
outro próton de mesma energia, mas movendo-se em sentido contrário, crie no estado final mais um próton
e um antipróton? (No estado final haverá três prótons e um antipróton e a mínima energia corresponde
à situação em que todas as partículas estão em repouso em relação ao laboratório). Use para a massa de
repouso do próton e do antipróton M 0 = 1 GeV/c 2 .
R: K = 1 GeV.
11. Uma partícula é criada a 20 km acima do nível do mar com energia E = 1, 35 × 10 5 MeV em relação à Terra,
e passa a se deslocar verticalmente para baixo. No seu sistema próprio (sistema que se desloca com a mesma
velocidade da partícula) ela se desintegra no intervalo de tempo ∆t = 2, 0 × 10 −8 s após a sua criação. A
energia de repouso da partícula é E 0 = 140 MeV . Determine, para um observador na Terra:
(a) Quanto tempo demora para a partícula se desintegrar?
(b) A que altura acima do nível do mar se dá a desintegração?
R: (a) T = 1, 93 × 10 −5 s. (b) h = 14, 2 km.
12. Duas partículas de mesma massa de repouso m 0 c 2 = 1 GeV caminham em sentidos opostos com velocidade
de magnitudes v 1 = 0, 6 c e v 2 = 0, 8 c. Num determinado instante de tempo elas colidem formando uma
única partícula de massa de repouso M 0 e velocidade de magnitude v.
(a) Determine o valor de M 0 .
(b) Determine o valor de v.
(c) Qual é a energia cinética da partícula formada na colisão?
R: (a) M 0 = 5, 31 × 10 −27 kg = 2, 9 GeV/c 2 . (b) |v| = 0, 20 c. (c) K = 58 MeV .
13. Em relação a um referencial S uma partícula possui energia de 5 GeV e momento linear de 3 GeV/c.
(a) Qual é a massa de repouso da partícula?
(b) Qual é a energia da partícula em um referencial S ′ onde seu momento linear é igual a 4 GeV/c?
(c) Qual é a velocidade relativa dos dois referenciais S e S ′ (S e S ′ se movem em sentidos opostos)?
R: (a) E ′ = √ 32 GeV . (b) m 0 = 4, 0 GeV/c 2 . (c) u = 0, 19 c.
14. Uma partícula de massa de repouso M 0 estacionária, cinde-se em duas partículas cujas massas de repouso
são m 0 e 2m 0 . A velocidade da partícula de massa m 0 é 0, 8 c.
(a) Determine a velocidade da partícula de massa 2m 0 .
(b) Obtenha a razão M0
m 0
.
R: v 2m0 = 2 √
13
c. (b) M0
m 0
= 5+2√ 13
3
.
15. Uma partícula de massa em repouso 2 MeV/c 2 e energia cinética 3 MeV colide com uma partícula estacionária
de massa de repouso 4 MeV/c 2 . Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas. Encontre:
6

(a) O momento inicial do sistema.
(b) A velocidade final do sistema de duas partículas.
(c) A massa em repouso do sistema de duas partículas.
R: (a) 4, 58 MeV/c. (b) 0, 509 c. (c) 7, 75 MeV/c 2
16. Um elétron move-se livremente na direção x positiva no sistema inercial 1 com velocidade v = 0, 8 c. Qual
o valor de seu momento e de sua energia neste sistema? Considere agora um outro sistema inercial 2 que se
move para a direita com velocidade 0, 6 c em relação ao sistema 1. Ache o momento e a energia do elétron
neste sistema. Deixe suas respostas em termos da massa de repouso do elétron m 0 e da velocidade da luz c.
R: No sistema 1: ⃗p 1 = 4 3 m 0c ˆx e E 1 = 5 3 m 0c 2 . No sistema 2: ⃗p 2 = 5 12 m 0c ˆx e E 2 = 13
12 m 0c 2 .
17. (*) Considere a seguinte colisão elástica observada em um dado referencial S: uma partícula A tem massa
de repouso m 0 e uma partícula B massa de repouso M 0 = 2m 0 . Antes da colisão a partícula A move-se com
velocidade ⃗v = 0, 6 c î e a partícula B está em repouso. Depois da colisão, a partícula A move-se ao longo da
direção y, no sentido positivo, com velocidade de magnitude v A e a partícula B move-se segundo um ângulo
θ em relação à direção x com velocidade de magnitude v B . [Dica: use o fato de que γ 2 v 2 = (γ 2 − 1)c 2 .]
(a) Determine as magnitudes das velocidades v A e v B das partículas A e B.
(b) Determine o ângulo θ.
R: (a) v A = 0, 37 c e v B = 0, 39 c. (b) θ = 28, 1 ◦ .
18. (*) Considere a colisão de um fóton de energia hν com um elétron que está em repouso em um dado referencial.
Após a colisão, parte da energia é transferida ao elétron, e um outro fóton de energia menor hν ′ é gerado,
sendo que sua trajetória forma um ângulo θ com a direção de incidência do fóton original. Utilizando a
conservação de energia e momento relativísticos, determine a relação entre a energia do fóton “espalhado” e o
ângulo de espalhamento hν ′ (θ). Este processo de espalhamento de fótons por elétrons é denominado “Efeito
Compton”. Sugestão: considere a conservação de energia total, e das componentes x e y do momento linear
total no plano do espalhamento (sendo x, por exemplo, a direção de incidência do fóton original).
R: hν ′ (θ) =
hν
1+ hν
mc
2 (1−cosθ),
onde m é a massa de repouso do elétron.
19. (*) Em um acelerador de partículas como o Pelletron do IFUSP é feita uma colisão entre um núcleo-feixe
e um núcleo-alvo. Os dois núcleos se fundem formando um outro núcleo em estado excitado, que emerge
com uma certa velocidade V no laboratório, na direção e sentido do feixe original. Esse núcleo resultante
é instável e, portanto, ele eventualmente decai (o processo de decaimento é uma transição entre estados
quânticos nucleares). Nesse decaimento, um certo raio gama (ou seja, um fóton, ou partícula de luz, de alta
energia) é emitido, de tal modo que, no referencial do núcleo instável, a energia desse raio gama é sempre a
mesma, mas a direção em que ele é emitido é arbitrária. No laboratório esse experimento é repetido muitas
vezes, com detectores dispostos a 0 ◦ e 90 ◦ com relação à direção do feixe. Sabendo que o detector que está a
0 ◦ (ou seja, na linha de frente do feixe) sempre mede a energia do raio-gama como sendo 1010 keV, e que o
detector a 90 ◦ sempre mede uma energia de 1000 keV, determine a velocidade de recuo V do núcleo instável
em termos da velocidade da luz c e a energia do raio gama no referencial de repouso do núcleo instável. Note
que a energia de um fóton é proporcional à sua frequência, E = hν (onde ν é a frequência da radiação, e h é
uma constante, denominada constante de Planck).
R: V ≃ 0.01c; E ≃ 1000 keV
7