Problemas de Sistemas e Sinais Amostragem

Problemas de Sistemas e Sinais
Amostragem
1. Considere o sinal x contínuo definido por:
x(t) = cos(10πt) + cos(20πt) + cos(30πt)
(a) Determine a frequência fundamental indicando as unidades.
(b) Determine os coeficientes da série de Fourier de x(t).
(c) Sendo y(n) o resultado da amostragem deste sinal a um ritmo de 10Hz, determine a frequência fundamental
de y(n). Indique as unidades.
(d) Determine os coeficientes da série de Fourier de y(n).
(e) Determine o sinal w(t) obtido por reconstrução de y(n) com intervalo entre amostras de T = 0,1s.
(f) Existe distorção de aliasing causada pela amostragem a 10Hz? Em caso afirmativo descreva por palavras
essa distorção.
(g) Indique aual a menor frequência de amostragem que evite a distorção de aliasing.
2. Sabe-s que um sinal real x(t) é univocamente definido pela sua amostragem ao ritmo de 500Hz. Para que
valores de ω é possível garantir que X(ω) = 0?
3. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) O sinal x(t) = u(t +T 0 )−u(t −T 0 ) pode ser amostrado sem aliasing desde que o período de amostragem
T < 2T 0 .
(b) O sinal x(t) com transformada de Fourier X(ω) = u(ω + ω 0 ) − u(ω − ω 0 ) pode ser amostrado sem
aliasing desde que o período de amostragem T < π/ω 0 .
(c) O sinal x(t) com transformada de Fourier X(ω) = u(ω) − u(ω − ω 0 ) pode ser amostrado sem aliasing
desde que o período de amostragem T < 2π/ω 0 .
4. Um sinal em tempo contínuo x c (t), com a transformada de Fourier X c (ω) da figura:
X c( ω )
1
−ω 0
−ω /2
ω /2
0 0 0
é amostrado com um período de T = 2π/ω 0 para formar a sequência x(n) = x c (nT).
(a) Esboce a transformada de Fourier X(ω) para |ω| < π.
(b) O sinal x(n) destina-se a ser transmitido por um canal digital. No receptor, tem de ser possível reconstruir
o sinal original. Desenhe um diagrama de blocos do sistema de reconstrução e especifique as suas
características. Suponha que dispõe de filtros ideais.
(c) Para que gama de valores de T em função de ω 0 pode x c (t) ser recuperado a partir de x(n)?
ω
ω
1

5. Na figura seguinte, assuma que X c (ω) = 0, |ω| ≥ π/T 1 . Para o caso geral em que T 1 T 2 , expresse y c (t) em
termos de x c (t). A relação é diferente para T 1 > T 2 e T 1 < T 2 ?
x (t) c
C/D
x(n)
D/C
y (t) c
T1 T2
6. Sabe-se que um sinal contínuo de banda limitada possuí uma componente de 50 Hz, que se pretende remover
com o sistema da figura seguinte:
x (t) c
C/D
x(n)
Sistema
discreto
y(n)
D/C
y (t) r
em que T = 10 −4 s.
T
T
(a) Qual a maior frequência que o sinal pode conter para não existir aliasing?
(b) O sistema discreto a utilizar possui a seguinte função de transferência:
H(ω) =
Esboce a amplitude e a fase de H(ω).
[1 − e − j(ω−ω 0) ][1 − e − j(ω+ω 0) ]
[1 − 0,9e − j(ω−ω 0)
][1 − 0,9e − j(ω+ω 0)
]
(c) Que valor deverá ser escolhido para ω 0 afim de eliminar a componente de 50 Hz?
7. Considere o sistema da figura seguinte com X c (ω) = 0 para |ω| ≥ 2π(1000) e com o sistema discreto
y(n) = x 2 (n). Qual o maior valor de T para o qual y c (t) = x 2 c (t)?
x (t) c
C/D
x(n)
Sistema
discreto
y(n)
D/C
y (t) c
T
T
2